2.6 向量的正交性及其物理意义

当尝试将一个物体以垂直于推力方向的角度移动时，我们会发现这根本无法做到。角度越大，力向量的效果越差（最终在90°角时彻底失效）。这就解释了为什么在平面上行走相对容易（沿着重力方向的垂直方向移动，因此重力向量不起作用），而上坡则较为困难（重力向量在一定程度上产生了影响）。

这些物理概念在点积的数学表述中得到了体现。两个向量 a （比如，推力向量）和 b （比如，被推物体位移向量）之间的点积是 ，其中 θ 是两个向量之间的夹角。当 θ 为0（两个向量对齐）时，cos θ =1，这是cos θ 的最大可能值，因此推力最为有效。随着 θ 的增大，cos θ 逐渐减小，推力逐渐失效。最终在 θ 为90°时，cos θ =0，推力完全失效。

如果两个向量的点积为零，则称这两个向量是正交的。从几何学的角度来看，这意味着它们互相垂直。从物理学的角度来看，这意味着它们互相独立：一个向量不能影响另一个向量。这意味着正交向量之间没有任何共同点。例如，在表2.1中，文档5的特征向量为 ，而文档6的特征向量为 。它们是正交的（点积为零），可以很容易地看出，它们之间没有任何相同的特征词（如 gun ， violence ）。 aCDKwcRzBdJ8wmMmvFpnzwncx7wvwDr6MEuzMJmAHXdk4/GJVxIgQQ5UwuVj/1J9