2.3 矩阵及其在机器学习中的作用

有时，仅仅将一组数字组合成一个向量还不够，我们需要将多个向量进一步组合成一个更大的组。例如，在训练机器学习模型时，我们有多个输入实例，每个实例都由一系列数字组成。如2.1节所述，属于单个输入实例的数字序列可以构成一个向量。那么，我们应该如何表示所有输入实例的集合呢？这就涉及了数学中的矩阵概念。矩阵可以被视为一个由固定数量的行和列组成的矩形数字数组，其中每一行和每一列都可以看作一个向量。因此，矩阵可以被视为所有行向量或列向量的集合。在此基础上，我们可以用矩阵来表示构成机器学习模型训练输入的所有数字集合，其中每个行向量对应一个训练样本。

我们同样以熟悉的猫脑问题为例。如前所述，机器接收的单个输入实例是一个向量 ，其中 x ₀ 描述了猫面前物体的硬度。现在，考虑一个包含许多此类输入实例的训练数据集，每个实例都有一个已知的威胁评分输出。在1.1节中我们提到，机器学习的目标是构建一个函数，在尽可能小的总体误差下，将这些输入映射到它们相应的输出结果。我们的训练数据可能如表2.2所示。请注意，在实际问题中，训练数据集通常很大，可能包含数百万个输入/输出对。但在这个示例问题中，我们只有8个训练数据实例。

从表2.2中，我们可以将对应于硬度和锋利度的列组合到一个矩阵中，如式（2.1）所示。这是对该问题训练数据集的一种紧凑表示 。

矩阵 X 中的每一行代表一个特定的输入实例。不同的行对应不同的输入实例。另外，不同的列代表不同的特征元素。例如，矩阵 X 的第0行表示第0个输入实例的向量 。其中，元素 x ₀₀ 和 x ₀₁ 分别代表该输入实例的两个不同的特征元素，即硬度和锋利度。

数字图像的矩阵表示

数字图像也通常使用矩阵来表示，矩阵中的每个元素代表图像中特定像素位置（ x ， y 坐标）的亮度。通常，这些亮度值被归一化为0到255之间的整数，其中，0表示黑色，255表示白色，而128则表示灰色 。以下展示了一个宽度为9像素、高度为4像素的小图像的矩阵示例：

观察该矩阵，我们可以发现图像的亮度从左到右逐渐增强，从上到下也是如此。 I ₀₀ 代表左上角的黑色像素， I ₃₈ 代表右下角的白色像素，中间区域的像素则是介于黑白之间的各种灰度。实际的图像如图2.3所示。