1.3 反函数

设函数y=f(x)的定义域是D,值域是f(D).如果对于值域f(D)中的每一个y,在D中有唯一的x与之对应,记作x=f ^-1 (y)或x=φ(y),称为y=f(x)的反函数.由于习惯上自变量用x表示,因变量用y表示,故x=f ^-1 (y)通常也写作y=f ^-1 (x).根据反函数的定义与函数的定义,可以发现反函数具有以下几个特点:

①一一对应的函数才有反函数;

②反函数与原函数关于y=x对称;

③反函数与原函数的定义域与值域互换;

④x=f ^-1 (y),y=f(x)⇒x=f ^-1 [f(x)];

⑤反函数与原来函数单调性相同.

求反函数的解题步骤:

①将y=f(x)看成方程,解出x=f ^-1 (y),也可写作y=f ^-1 (x);

②原函数的值域作为反函数的定义域.

例 1-1 求函数y= +1(x≥0)的反函数.

解 y= +1⇒ =y-1⇒x=(y-1) ² ,故x=(y-1) ² 为y= +1 的反函数,

也可写作y=(x-1) ² ,定义域x∈[1,+∞ ).

例 1-2 求函数y= (x≠1)的反函数.

解 y= ⇒yx-y=2x+3⇒(y-2 )x=3+y⇒x= ,

故x= 为y= 的反函数,也可写作y= ,定义域x≠2.

例 1-3 求函数y=ln(x+1)的反函数.

解 y=ln(x+1)⇒e ^y =x+1⇒x=e ^y -1,故x=e ^y -1 为y=ln(x+1)的反函数,也可写作y=e ^x -1,定义域x∈(-∞ ,+∞ ).

例 1-4 求函数y= 的反函数.

解 y= ⇒y= ⇒y=1- ⇒1-y= ⇒x= -2.

故x= -2 为y= 的反函数,也可写作y= -2,定义域x≠1.

例 1-5 求函数y= 的反函数.

解 当x < 0 时,y=e ^x +1⇒y-1=e ^x ⇒x=ln(y-1),1 < y < 2;

当x≥0 时,y=x ² +2⇒x= ,y≥2;

综上,反函数为x= ,也可写作y= .

例 1-6 求函数y=ln(x+ )的反函数.

解 e ^y =x+ ⇒e ^y -x= ⇒(e ^y -x) ² =1+x ²

⇒ - + =1+ ⇒ -1= ⇒x= , 也可写作y= = .

例 1-7 求函数y= 的反函数.

解 e ^x -e ^-x =2y⇒e ^{2 x} -1=2ye ^x ⇒e ^{2 x} -2ye ^x =1

⇒e ^{2 x} -2ye ^x +y ² =1+y ² ⇒(e ^x -y) ² =1+y ² ⇒e ^x -y=

⇒e ^x = +y⇒x=ln( +y),也可写作y=ln( +x). 7CKeFytKNfmhteBmhNTaHj5C3NTWCHkBkqd3pb87hORs+1L3fzwqs3AfSNTxeSUY