1.1 函数的概念

定义: 若对任意x∈D,按照一定的对应法则f,总存在唯一确定的y与之对应,则称y是x的函数,记作y=f(x).其中,x为自变量;y为因变量;数集D为函数的定义域; f(D)为函数的值域.

因此,构成函数的基本要素为定义域D和对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么两个函数即为同一函数.

表示函数的记号除了常用的f外,还可用其他英文字母或希腊字母,如g、φ、F等,即函数可记作y=g(x),y=φ(x),y=F(x)等.下面列举几个函数的例子.

① 绝对值函数: y= = 其定义域为(-∞ ,+∞ ),值域为[0,+∞ ).绝对值函数的图像如图1-1 所示.

② 取整函数: 设x为任一实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作y=[x].其定义域为(-∞,+∞),值域为整数集 .例如, =0,[π]=3,[-2]=-2.[-3,4]=-4,即向下取整.其中,x-1 < [x]≤x < [x]+1.取整函数的图像如图1-2 所示.

③ 符号函数: y=sgn x= 其定义域为(-∞ ,+∞ ),值域为{-1,0,1}.其中,x=sgn x ·|x| .符号函数的图像如图1-3 所示.

④ 狄利克雷数: D(x)=

其以y轴为对称轴,是一个以任意有理数为周期的偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,是不可黎曼积分的可测函数.其定义域为(-∞ ,+∞ ),值域为{0,1}.