1.7 函数极限的概念

1.描述性定义

设函数f(x)在点x ₀ 的某一去心邻域内有定义,当自变量x在该去心邻域内无限接近于x ₀ 时(x→x ₀ ),相应的函数值f(x)无限接近于某个确定的常数A[f(x)→A],则称常数A为x→x ₀ 时函数f(x)的极限,记作 (x)=A[或f(x)→A(x→x ₀ )].

如果不存在这样的常数A,就称函数f(x)在点x ₀ 处没有极限,习惯上也称极限 不存在.

^* 2.精确定义

设函数f(x)在点x ₀ 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,∀ε > 0(无论ε多么小),∃δ > 0,使得当自变量x满足不等式 0 < < δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式 < ε,则称常数A为x→x ₀ 时函数f(x)的极限.

因定义中 0 < 表示为x≠x ₀ ,故x→x ₀ 时函数f(x)极限存不存在与函数f(x)在点x ₀ 处是否有定义无关.

3.函数极限的性质

以 (x)为例.

①唯一性:若 (x)=A,则极限A唯一.

②局部有界性:若 =A,则∃M, δ > 0,使得当 0 < < δ时,总有 ≤M.

③局部保号性:若 =A > 0(或< 0),则∃δ > 0,使得当 0 < < δ时,总有f(x) > 0(或f(x) < 0). QG+2LyqJKWIkaBsRLaSsszy8ZTUqBHLozJtX6hTrljxtdmYMyImpP46FzglZgRbE