2.3 数值型数据编码

2.3.1 机器数与真值

1.机器数

一个数在机器内的表示形式称为“机器数”。机器数是有符号的，通常把这个符号放在二进制数的最高位。计算机内部只有“0”和“1”两种形式，因此在最高位用“0”表示正，“1”表示负，称为“数符”，其余位表示数值。例如，十进制负数-6，其二进制数为-110，在计算机中表示为 10000110，如图 2-1 所示。

2.真值

把直接用正号“+”和负号“-”来表示其正负的二进制数叫作机器数的“真值”，即带符号的机器数真正表示的值。例如，机器数“01001”的真值为“+1001”，机器数“11001”的真值为“-1001”。

2.3.2 原码、反码、补码

在计算机中，整数通常使用原码、反码和补码表示。这三种表示方式都是用二进制位表示数字，用 0 表示正，用 1 表示负，其余位表示数值大小，但数值位采用不同的规则来表示。下面，以字长为 8 的整数为例进行介绍。

1.原码

数值型整数的最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数。 X 的原码可以表示成[ X ] _原 ，例如：

[+1] _原 =00000001 [+127] _原 =01111111

[-1] _原 =10000001 [-127] _原 =11111111

原码在数据计算过程中存在两点不足：

①0 的原码不唯一。0 既可以表示为[+ 0] _原 =0000000，也可以表示为[-0] _原 =1000000。这种情况下，计算机在进行运算时还需要特殊处理。

②符号需要单独处理。加减法需要分别考虑符号位和数值部分，这样计算起来比较烦琐。比如，对于两个符号相同的数据进行相加，数据直接相加，符号不变；两个符号不同的数据进行相加，需要先对它们的绝对值进行比较，才能决定运算结果的符号，否则就会出错。

例如，（-7）+5 的结果应该为-2，但在计算机中，若不考虑符号问题，符号位与数值同时参与运算，则结果为-12，运算过程如下：

结果显然是错误的。由此，出现了反码和补码的编码方式，已解决以上问题。

2.反码

正数的反码和原码相同；负数的反码补码是符号位为 1，数值位按位取反。通常用[ X ] _反 表示反码，例如：

[+1] _反 =00000001 [+127] _反 =01111111

[-1] _反 =11111110 [-127] _反 =10000000

反码运算并不方便，且仍然存在 0 的原码不唯一的情况。0 既可以表示为[+0] _反 =0000000，也可以表示为[-0] _反 =11111111。因此，反码只作为求补码的中间步骤。

3.补码

正数的补码和原码相同；负数的补码是符号位为 1，数值位按位取反后加 1。通常用[ X ] _补 表示补码，例如，

[+1] _补 =00000001 [+127] _补 =01111111

[-1] _补 =11111111 [-127] _补 =10000001

在补码表示中，0 的补码表示是唯一的，即：

[+0] _补 =00000000 [-0] _补 =[-0] _反 +1=11111111+1=00000000

采用补码表示，在保证 0 唯一的同时，多出的一个编码 10000000，可以用来表示-128，这样的话，数据的表示范围就扩充为 127~-128。而原码和反码的最小值为-127。

补码表示法是计算机中最常用的表示带符号整数的方式，其优势在于可以用同一种方式进行加减运算，且减法可以转换成加法。下面通过几个实例加以说明：

【 例 1.17 】求（-8）的补码。

[-8] _补 =[-8] _反 +1=11110111+1=11111000

【 例 1.18 】求补码 11110101 对应的原码。

其高位为 1，即为负数，因此高位“1”保持不变，其余位按位取反后为 0001010，然后加 1，结果为 10001011。

【 例 1.19 】完成 7-5 的运算。

7-5 可以表示为 7+（-5）：

【 例 1.20 】完成（-7）+（-4）的运算。

高位 1 丢弃（允许产生最高位的进位被丢弃），余下部分 11110101 按照例 1.18 补码求原码的方法进行，求得原码为 10001011，即为-11。

【 例 1.21 】完成 67+84 的运算。

运算结果为负，显然是错误的。原因在于，机器数的表示范围受字长和数据类型的限制，字长和数据类型决定了机器数能表示的数值范围。例如，表示一个整数，字长为 8 位，最高位为符号位，则最大的正数为0111111，即最大值为 127，若数值超出 127，就要“溢出”。因此，要表示一个超过表示范围的数时，通常用浮点数表示。

2.3.3 数的定点和浮点表示

在计算机中，数值型数据有两种表示方法：一种是定点数，另一种是浮点数。

1.定点数的表示法

定点数就是指在计算机中所有数的小数点位置固定不变，分为定点小数和定点整数。

定点小数一般是把小数点固定在最高位（最左）的左边，小数点前边再设一位符号位，因此，它只能表示小于 1 的纯小数；定点整数将小数点固定在最低数据位（最右）的右边，因此，整数所表示的数据的最小单位为 1，表示的也只是纯整数。由此可见，定点数的表示范围很小。

2.浮点数的表示法

浮点表示法对应于科学（指数）记数法，用以近似表示任意某个实数。具体地说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以基数 R （计算机中通常是 2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为 10 的科学记数法。

例如，二进制数 1010.011B可表示为

1010.011=1.010011×2 ³ =0.1010011×2 ⁴ =10100.11×2 ^-1

实数的范围和精度分别用阶码和尾数来表示，其存储格式如图 2-2 所示。

其中：

①阶码是指数，在机器中表示一个浮点数时需要给出指数，这个指数用整数形式表示，这个整数叫作阶码，用来指示尾数中的小数点应当向左或向右移动的位数。阶码的位数随数值的表示范围而定。

②尾数是纯小数，表示数值的有效数字，其本身的小数点约定在数符和尾数之间。尾数的位数依据数据的精度要求而定。

③阶符和数符各占一位，分别表示阶码和尾数的符号。尾数的数符决定了浮点数的正、负，阶码的阶符决定了小数点的位置。 Ho7k2PLlVcUFo0z8rx6hMRzBLRYEerGvvrfybcr/Ppoh+G2uOP8BpTFhdnECsMJ/