大学计算机基础教程（WPS版）最新章节_桂洁著

2.1 计算机中的数制转换和运算

通过计算机，人们可以获得和处理各式各样的数据信息，比如文字、声音、视频、图片等，而这些精彩纷呈的信息在计算机中是如何存放的呢？无论是数值信息还是非数值信息（字符、文字、图形、声音等），在计算机中都是采用二进制进行存储和处理的。本节主要介绍计算机中的常用数制、数制之间的转换以及常用的编码。

2.1.1 计算机的数制

数制就是表示数的方法，指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值。在计数的过程中采用进位的方法称为进位计数制。在日常生活中，最常用到的就是十进制，其实，除了十进制数制以外，还有很多进位计数制，比如，以 12 个月计为一年的十二进制；以 60 分钟计为 1 小时的六十进制；以 24 小时计为 1 天的二十四进制；计算机中的二进制，等等。

为什么计算机中要采用二进制，而不采用人类在实际生活中使用的十进制呢？主要有以下原因：

①二进制只包含 0 和 1 两个数值，计算机中的电子组件一般都只有两种稳定的工作状态，用高、低两个电位表示“1”和“0”在物理上最容易实现。

②两个二进制数的和、积运算组合各有三种，运算规则简单，有利于简化计算机内部结构，提高运算速度。

③二进制只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假”相吻合。

④二进制与十进制数易于互相转换。

⑤用二进制表示数据具有抗干扰能力强，可靠性高。

这样，输入计算机的十进制会被转换成二进制进行计算，计算后所得的结果由操作系统再次转换成十进制输出。

1.数制的基本概念

对于任意的进位计数制 R 都包括数码、基数、位权三个要素。

（1）数码

数码是数制中用来表示基本数值大小的不同数字符号。例如，十进制有 10 个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；二进制有两个数码：0、1；八进制有八个数码：0、1、2、3、4、5、6、7；十六进制有 16 个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。

（2）基数

基数表示任何一个进位计数制中所包含的数码的个数，用 R 表示。例如：

十进制：基数为 R =10。

二进制：基数为 R =2。

八进制：基数为 R =8。

十六进制：基数为 R =16。

（3）位权

位权表示数制中每一位上的数码所代表的实际值的大小。数字的大小除了与其本身的大小有关外，还与其所处的位置有关，即一个数的每个位置的基准值就称为位权，用 R ⁱ 表示。例如，十进制的千分位的位权是 1000（10 ³ ），百分位的位权是 100（10 ² ），十分位的位权是 10（10 ¹ ），个位的位权是 1（10 ⁰ ）；二进制数 1111，从左向右的位权值分别是，第一个 1 的位权是 8（2 ³ ），第二个 1 的位权是 4（2 ² ），第三个 1 的位权是 2（2 ¹ ），第四个 1 的位权是 1（2 ⁰ ）。

（4）按位展开求和

任何一个数 R 都可以表示成数码本身的值与其所在位置的位权的乘积之和。例如：

十进制：（349.48） ₁₀ =3×10 ² +4×10 ¹ +9×10 ⁰ +4×10 ^-1 +8×10 ^-2

二进制：（100101.01） ₂ =1×2 ⁵ +0×2 ⁴ +0×2 ³ +1×2 ² +0×2 ¹ +1×2 ⁰ +0×2 ^-1 +1×2 ^-2

由此，可得数 R 按位权展开求和的通式为：

N 代表任意一个数值； D 代表每一位上的数码； R 代表位权； m 代表整数位数； n 代表小数位数。

2.常用的进位计数制

在生产实践和日常生活中有很多表示数的方法，下面对常见的十进制数、二进制数、八进制数、十六进制数进行详细的介绍。

（1）十进制数

十进制数（decimal）逢十进一，表示方法为：如（234.56） ₁₀ 或 234.56D，也可直接写成 234.56。

按位权展开为：（234.56） ₁₀ =2×10 ² +3×10 ¹ +4×10 ⁰ +5×10 ^-1 +6×10 ^-2 。

（2）二进制数

二进制数（binary）逢二进一，表示方法为：如（110.01） ₂ 或 110.01B。

按位权展开为：（110.01） ₂ =1×2 ² +1×2 ¹ +0×2 ⁰ +0×2 ^-1 +1×2 ^-2 。

（3）八进制数

八进制数（octal）逢八进一，表示方法为：如（437.26） ₈ 或 437.26O。

按位权展开为：（437.26） ₈ =4×8 ² +3×8 ¹ +7×8 ⁰ +2×8 ^-1 +6×8 ^-2 。

（4）十六进制数

十六进制数（hexadecimal），逢十六进一，表示方法为：如（A3201.24） ₁₆ 或A3201.24H。

按位权展开为：（A3201.24） ₁₆ =10×16 ⁴ +3×16 ³ +2×16 ² +0×16 ¹ +1×16 ⁰ +2×16 ^-1 +4×16 ^-2 。

2.1.2 各数制之间的转换

人们日常生活中采用的是十进制，而计算机中采用的是二进制，而一个数如果用二进制表示的话会比较长，且容易出错。因此，在计算机中除了二进制外，为了便于书写，还常常用到八进制和十六进制。这些进制之间存在一定的联系，即各进制之间可以相互进行转换。了解不同进制数之间的转换是必要的。

1. R 进制数（二进制、八进制、十六进制）转换为十进制

计算方法是按位权展开求和，即将每位数码乘以相应的权值并累加。

【例 1.1 】将二进制数（110.11） ₂ 转换成十进制数。

【解】（110.01） ₂ =1×2 ² +1×2 ¹ +0×2 ⁰ +0×2 ^-1 +1×2 ^-2 =4 +2 +0 +0 +0.25=6.25

【例 1.2 】将八进制数（437.2） ₈ 转换成十进制数。

【解】（437.2） ₈ =4×8 ² +3×8 ¹ +7×8 ⁰ +2×8 ^-1 =256 +24 +7 +0.25=287.25

【例 1.3 】将十六进制数（A41.5） ₁₆ 转换成十进制数。

【解】（A41.5） ₁₆ =10×16 ² +4×16 ¹ +1×16 ⁰ +5×16 ^-1 =2 560 +64 +1 +0.312 5=2 625.312 5

2.十进制转换为 R 进制数（二进制、八进制、十六进制）

通常，一个十进制数包括了整数部分和小数部分。而整数部分和小数部分在转换为 R 进制数时分别遵守不同的转换规则。下面以一个十进制小数转换成二进制数为例，分别介绍整数和小数部分的转换方法。

（1）整数部分

采用“除以 R 取余法”。具体方法是：用十进制数的整数部分除以 2，然后将余数取出，作为二进制的数码，用所得的商继续除以 2，直到商为 0 为止。每次所得的余数即为二进制整数部分的各个数码，最先求得的余数为最低位，最后求得的余数为最高位，口诀为“除以 R 取余、倒读”（倒读是自下而上读）。

（2）小数部分

采用“乘以 R 取整法”。具体方法是：用十进制数的小数部分乘以 2，然后将所得的积的整数部分取出，作为二进制的数码，用所得的积的小数部分继续乘以 2，直到积为 0 或达到有效精度为止。最先求得的整数为最高位（最靠近小数点），最后求得的整数为最低位，口诀为“乘以 R 取整、正读”（正读是自上而下读）。

【例 1.4 】将（59.67） ₁₀ 转换成二进制数（取 4 位小数）。

【解】先求整数部分：

所以（59） ₁₀ =（111011） ₂

再求小数部分：

所以（0.67） ₁₀ =（0.527） ₈

由此可得：（59.67） ₁₀ =（111011.1010） ₂

提示：

1.小数部分每次乘 2 后，取得的整数部分可能是 0 或 1。如果整数部分是 0，也应将其取出作为一位二进制数码。

2.并不是每一个十进制小数都能完全精确地转换成二进制小数，也就是说，不能用有限个二进制数字来精确地表示一个十进制小数。如果无法转换为精确小数，就根据精度要求截取到某一位小数即可。所以，将一个十进制小数转换成二进制小数通常只能得到近似表示。

【例 1.5 】将（159.67） ₁₀ 转换成八进制数（取 3 位小数）。

【解】先求整数部分：

所以（159） ₁₀ =（237） ₈

再求小数部分：

所以（0.67） ₁₀ =（0.527） ₈

通过以上例题可以看出，对于一个十进制小数转换成任意的 R 进制数，需要将整数部分和小数部分分别转换，然后将两部分所得结果用小数点连起来即可。

3.二进制与八进制、十六进制的转换

用二进制编码存在这样的规律： n 位二进制最多可以表示 2 ⁿ 种状态。因为，2 ³ =8,2 ⁴ =16，所以 3位二进制数对应 1 位八进制数，4 位二进制数对应 1 位十六进制数。二进制数转换为八进制、十六进制数比转换为十进制数容易得多，因此，常用八进制、十六进制数来表示二进制数。表 2-1 列出了它们之间的对应关系。

表 2-1 十进制、二进制、八进制和十六进制数之间的对应关系