2.2 试题解析

例 1 （中国人民大学，2024）计算行列式 。

解：行列式阶数较低，零元素主要集中在右上角，容易求解。

（方法一）按第一行展开，即：

（方法二）利用拉普拉斯定理。

例 2 （南京师范大学，西南大学，2024）计算行列式

解：先采用加边法，再利用拆分法。

例 3 （集美大学，2024）计算行列式 D _n = 。

解：将所有行元素加到第一行。

例 4 （陕西科技大学，2019）计算行列式 D _n = ，其中 a ≠0, ρ ≠1。

解：先提取公因子，再利用行列式性质将该行列式化为三角行列式。

例 5 （湘潭大学，2024）计算行列式
D _n = 。

解：三对角行列式可以采用递推法计算。

（1）将行列式按第一行展开，可得：

设 α ， β 为特征值方程 m ² −（ x + y ） m + x y =0 的根，则 α + β = x + y ， αβ = xy ，于是有 α = x ， β = y ；可设 D _n = Ax ^{n −1} + By ^{n −1} ，又 D ₁ = x + y ， D ₂ = x ² + y ² + xy ，则（ x − y ） A = x ² ，（ x − y ） B =− y ² ；

若 x ≠ y ，则 A = ， B = ，从而得 D _n = ；

若 x = y ，则 D _n =（ A + nB ） x ^{n −1} ，同理得 A = B = x ，从而得 D _n =（ n +1） x ⁿ 。

（2）由（1） D _n =（ x + y ） D _{n −1} − x yD _{n −2} ，则：

若 x ≠ y ，则：

从而得：

若 x = y ，则 D _n =（ n +1） x ⁿ 。

例 6 （北京交通大学，2024；西安电子科技大学，2023）计算行列式

解：此题可以用拆分法。

若 z ≠ y ，将两式联立消去 D _{n −1} 可得 D _n = 。

若 z = y ，可得 D _n =（ x − y ） ^{n −1} [ x +（ n − 1） y ]。

例 7 （浙江大学，2020）设 s （ x ）= ，已知 A =（ a _ij ）， a _ij = s （ i − j ），求 。

解：由题可知，当 i = j 时， a _ii =0， a _ij = ，从而有：

即 D ⁿ =1+（−1） D _{n -1} ， D ⁿ =1· D _n -1+（−1） ⁿ ，解 D _n = 。

当 n 为奇数时，有 D _n =0；当 n 为偶数时，有 D _n =1。

例 8 （陕西师范大学，2024）已知 n ≥2阶行列式

A _ij 为 D 的第 i 行 j 列元素 a _ij 的代数余子式，求 A ₁₁ + A ₁₂ +…+ A _{1 n} 。

解：此行列式属于三线型行列式。由题可知：

将所有列加到最后一列，有：

例 9 （云南大学，2020）计算行列式
D _n = 。

解：按第一列展开：

例 10 （北京科技大学，2024）计算行列式 D = 。

解：从最后一行开始每行减去前一行，再每列加上第一列：

例 11 （长安大学，2024）设 x ₁ x ₂ … x _n ≠0，计算行列式 D = 。

解：此行列式为缺少一行一列的范德蒙德行列式，给此行列式添加第二行和最后一列构成范德蒙德行列式，而添加行列交叉位置元素的系数与所求行列式有关。

设：

令 f （ z ）= D ₁ ，则（−1） ^{n +3} D 是 f （ z ）中 z 的系数；由等式右边知 z 的系数为 ，得：

例 12 （新疆大学，2024）计算行列式 D _n = 。

解：行列式元素除主对角线元素以外的元素都相同，此类行列式多采用加边法计算。

例 13 （首都师范大学，2024）计算行列式 D _n = 。

解：此题通常采用加边法计算，也可以将所有行加到第一行，提取公因子。

例 14 （南开大学，2024）计算行列式 D = 。

解：根据元素特点，本题先提取公因子，再利用多项式性质计算或按行列展开。

例 15 （河北工业大学，2024）计算 D ₂₀₂₄ = 。

解：按最后一列展开：

例 16 （云南大学，2024）计算行列式 D _n = 。

解：最后一列提取公因子，再用最后一列乘− i ，加到第 i 列（ i =1, 2,…， n −1）。

例 17 （中南大学，2024）计算行列式 D _n = 。

解：行列式中元素可以分解为：

根据行列式中元素特点可知，原行列式为两个范德蒙德行列式的乘积。

例 18 （西安交通大学，2023）计算行列式 D _n = 。

解：根据元素特点，将最后一行的−3倍加到上面所有行，得箭形行列式。

例 19 （长安大学，2023）给定数域 P 上 n 个数 x ₁ ， x ₂ ，…, x _n ，令 S _k = +…+ ， k =0,1,2,3,…，其中约定 =1，计算行列式 D _n = 。

解：根据行列式元素特点，本题采用行列式乘法规则。

例 20 （首都师范大学，2023）计算行列式 D _n =

解：第一行提取公因子 ，再将第一列的− （ j =2,3,…， n ）倍加到其余各列，降阶并提取公因子，以此类推。

例 21 （北京邮电大学，2020）计算行列式 D _{n −1} = 。

解：本题先采用加边法，再进行拆分，通过变形得到范德蒙德行列式。

上式中第一个式子适当变形就是缺一行一列的范德蒙德行列式，通过添加一行一列构成范德蒙行列式，由此可得第一个行列式的值为：

第二个行列式按第一列展开后调整列位置得到范德蒙德行列式，由此可得第二个行列式的值为：

所以原行列式的值为：

例 22 （太原理工大学，2020）设 D _n = ，求 A ₁₁ + A ₁₂ +…+ A _{1 n} ，其中 A _ij 为 D _n 中第 i 行第 j 列的代数余子式。

解：由题可知：

例 23 （长安大学，西南财经大学，2023）计算行列式 D = 。

解：（方法一）

（方法二）由于

而

故 D =（ a + b + c + d ）（ a − b + d − c ）（ a + b − c − d ）（ a − b + c − d ）。

例 24 （西安电子科技大学、东北师范大学，2024）计算 n 阶行列式

例 25 （暨南大学，2023）计算行列式 D _n = ， a ₁ a ₂ … a _{n −1} ≠ 0。

解：本行列式是箭形行列式。从第二列开始，每列乘− ，加到第一列。

例 26 （华南师范大学，2023）计算行列式 D = 。

解：本题采用降级公式求得矩阵的特征值，再利用特征值的性质：所有特征值的乘积等于矩阵行列式的值。记：

则：

从而矩阵的特征值为 0（三重）， x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ + x ₃ y ₃ + x ₄ y ₄ ，故 D =0。

例 27 （安徽大学，2023）设 A =（ a _ij ） _{n × n} 为 n 阶实方阵， n ≥2，其中：

求 。

解：由题可知矩阵的元素，行列式求解先提取公因子，再利用加边法。

例 28 （华中科技大学 2023，陕西科技大学）计算行列式

解：利用加边法计算。

例 29 （兰州交通大学，2020）设 A =（ a _ij ） _{n × n} ， a _ij = ，1≤ i ， j ≤ n ，求 。

解：从倒数第二行开始，前一行的−1倍加到下一行，则：

例 30 （中南大学，2023）计算行列式 D _{n +1} = 。

解：从第 2 列开始，每列乘− x 加到前一列，则： JPY8PRx+LLEteKOB1aNkjOvrF5EStw6PWTPMyaH80lVRdTYpVRb8LxDNKay9NK0/