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在一个排列中，若一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
n 阶行列式：
在 n 阶行列式中，去掉元素 a ij 所在的行与列，剩下元素按照原来位置构成的 n −1阶行列式称为 a ij 的余子式，记为 M ij ，而（−1） i + j M ij 称为 a ij 的代数余子式，记为 A ij 。
（1）行列式与其转置行列式相等，即 D = D ′（或 D T ）。
（2）用一个数乘行列式等于用这个数乘行列式某一行（列）的所有元素；行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
（3）若行列式中有两行（列）元素对应相等，则行列式为零；若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式为零；若行列式中有一行（列）元素都为零，则行列式为零。
（4）交换行列式中任意两行（列），则行列式反号。
（5）将行列式中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列），则行列式不变。
（6）
。
（7）（按行按列展开定理）行列式 D n 等于行列式某一行（列）元素与其代数余子式的乘积的代数和，但行列式的某一行（列）元素与另一行（列）的代数余子式的代数和为零，即：
（8）（拉普拉斯定理）设在行列式 D n 中，任取 k （1≤ k ≤ n −1）个行（列），由这行（列）元素所组成的一切 k 阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D n 。
本章的重点内容是行列式的计算方法，核心是通过观察、分析行列式的元素特点，探索、寻找最佳的解题思路，常见的计算方法有以下几种。
定义法适用于计算低阶或非零元素较少（稀疏行列式）的行列式。
利用性质化为上（下）三角行列式。
若行列式中两行元素的值比较接近，可用相邻两行中的一行加上（减去）另一行的若干倍。
利用按行按列展开定理将高阶行列式化为较低阶的行列式，再进行计算。
给行列式 D n 添加一行一列得到 D n +1 ，使得 D n +1 = D n 。此方法添加的行与列通常为第一行一列或最后一行一列，添加行列的交叉位置的元素为 1，剩下的行元素（或列元素）均为零，列元素（或行元素）根据行列式的元素适当添加。
若行列式的第 i 行（列）由 k 个数码的和，则行列式按此行（列）可以拆分为 k 个行列式，其余位置的元素不变。
行列式的阶数为自然数。先求出 A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ，…，通过观察元素与幂的关系猜测出 A n ，再用数学归纳法加以证明。
（1）若 n 阶行列式 D n 满足 aD n + bD n −1 + c =0，再找一个这样的等式，二式联立消去 D n −1 即可得 D n 。
（2）若 n 阶行列式 D n 满足 aD n + bD n −1 + cD n −2 =0，则特征方程为 ax 2 + b x + c =0。
①若∆≠ 0，则特征方程有两个复根
x
1
，
x
2
，
x
1
≠
x
2
，令
D
n
=
，其中
A
，
B
为待定系数，令
n
=1,2可求出
A
，
B
。
②若∆=0，则特征方程有重根
x
1
=
x
2
，令
D
n
=（
A
+
nB
）
，其中
A
，
B
为待定系数，令
n
=1,2可求得
A
，
B
。
特别地，三对角行列式的求解经常采用此方法。
（1）对角、三角行列式。
（2）范德蒙德行列式。
（3）
a
，
b
行列式公式
=
[
a
+（
n
− 1）
b
]。
（4）箭形行列式。