3.4 向量组的线性相关性

向量组的线性相关性在数学专业中有非常重要的作用，它与行列式、矩阵、线性方程组的解、二次型、线性变换和欧氏空间都有非常密切的联系；同时在空间解析几何、高等几何、复变函数及常微分方程中都有广泛的应用，因而需要准确掌握其基本概念，灵活运用有关定理、结论，然而向量组的线性相关性的判定与证明比较抽象和难理解。实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，只要掌握了线性相关的判定与证明，求解与线性无关相关的问题就变得容易了。下面从一个向量组向量间的线性相关性和两个向量组间的线性相关性出发，总结出了判定与证明向量组线性相关性的几种方法。

3.4.1 一个向量组向量间线性相关性的判定与证明

3.4.1.1 定义法

定义法是判定或证明向量组的线性相关性的基本方法，对于分量给出的具体向量组和分量没有给出的抽象向量组均适应。

定义 1：设向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s （ s ≥1），若数域 P 中存在不全为零的数 k ₁ ， k ₂ ，…, k _s ，使得 k ₁ α ₁ + k ₂ α ₂ +…+ k _s α _s = 0 ，则称向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性相关，否则，称向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性无关。

3.4.1.2 利用向量组的线性相关性的相关结论

定理 1：设 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性相关，则至少有一个向量可由其余 s −1个向量线性表示。反之亦然。由定义可知，此方法为（1）的等价变形。

定理 2：设 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性无关， α ₁ ， α ₂ ，…, α _s ， β 线性相关，则 β 可由 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性表示且表法唯一。

定理 3：线性无关的向量组的任意部分也线性无关。

定理 4：若一个向量组中有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。

定理 5：设 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s ∈ R ⁿ ，若 s > n ，则 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性相关。

特别地， n +1个 n 维向量必线性相关。

定理 6：若 m 维向量 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性无关，将 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 加长成 n 维向量 β ₁ ， β ₂ ，…, β _s ，则 β ₁ ， β ₂ ，…, β _s 线性无关。若 β ₁ ， β ₂ ，…, β _s 线性相关，则 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 也线性相关。

定理 7：一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。

定理 8：含有零向量的向量组线性相关。

3.4.1.3 利用方程组的解

此方法是将向量组的线性相关性问题转化为线性方程组的解的问题，利用线性方程组是否有非零解来判断。适合各分量给出的向量组。

定理 9：向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性相关的充要条件为以 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 的列向量为系数的齐次线性方程组 x ₁ α ₁ + x ₂ α ₂ +…+ x _s α _s = 0 有非零解。

定理 10：向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 线性无关的充要条件为以 α ₁ ， α ₂ ，…, α _s 的列向量为系数的齐次线性方程组 x ₁ α ₁ + x ₂ α ₂ +…+ x _s α _s = 0 只有零解。

3.4.1.4 利用矩阵的秩与向量组的秩的关系

此方法就是将向量组按行（列）向量构成矩阵，然后利用初等变换将矩阵化为阶梯形，确定矩阵的秩，此时向量组的秩等于矩阵的秩。此法大多适合分量给定的向量组。

定理 11： m 维列（行）向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _n 线性相关的充要条件是以 α ₁ ， α ₂ ，…, α _n 为列（行）向量的矩阵的秩小于向量的个数 n 。

此定理也可理解为以 α ₁ ， α ₂ ，…, α _n 为列（行）向量的矩阵经初等变换化为阶梯形矩阵，若阶梯形矩阵有零行（列），则 α ₁ ， α ₂ ，…, α _n 线性相关，否则线性无关。

3.4.1.5 利用行列式的值

定理 12：若 α ₁ ， α ₂ ，…, α _n 是 n 维向量组，其构成的矩阵 A =（ α ₁ ， α ₂ ，…, α _n ）为 n 阶方阵，则当 =0 时，向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _n 线性相关；当 ≠ 0 时，向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _n 线性无关。

3.4.1.6 反证法

在有些题目中，直接判定或证明结论比较困难，可以从结论的反面出发，推出与已知条件、已知定义、定理、公理等相矛盾的结果，从而证明结论的反面不成立，结论成立。反证法是一种常用的方法。此方法对于分量给出的具体向量组和分量没有给出的抽象向量组均适用。

3.4.1.7 数学归纳法

此方法为数学中常用的方法，主要用于线性相关性的证明。

3.4.1.8 利用向量组的正交性

定理 13：若 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 为 n 维两两正交非零向量组，则 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性无关。

3.4.1.9 利用向量组在线性空间中像的线性关系

定理 14：线性空间 V 中向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性相关的充分必要条件是其像 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性相关。

3.4.1.10 利用矩阵的特征值与特征向量

定理 15：设 σ 是线性空间 V 的一个线性变换，若 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 为 σ 的不同特征值 λ ₁ ， λ ₂ ，…, λ _m 的特征向量，则 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性无关。

3.4.2 两个向量组线性相关性的判定与证明

3.4.2.1 一个向量 b 与一个向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 的判定与证明

此类问题主要判定与证明 b 能否被向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性表示，通常转化为非齐次线性方程组 Ax = b 有无解的判定。

定理 16：向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m ， b 线性相关的充要条件为以 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 的列向量为系数的非齐次线性方程组 x ₁ α ₁ + x ₂ α ₂ +…+ x _m α _m = b 有非零解。

定理 17：设 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性无关， α ₁ ， α ₂ ，…, α _m ， β 线性相关，则 β 可由 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性表示且表法唯一。

定理 18：向量 b 可由向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性表示的充要条件是向量组构成的矩阵 A =（ α ₁ ， α ₂ ，…, α _m ）的秩等于矩阵 B =（ α ₁ ， α ₂ ，…, α _m ， b ）的秩。

3.4.2.2 两个向量组是否等价或其线性相关性的判定与证明

此类问题主要判定与证明两个向量组是否等价，或两个向量组的线性相关性，通常转化为两个向量组的极大无关组间的关系。

定理 19：设 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 与 β ₁ ， β ₂ ，…, β _n 为两个向量组，如果向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 可以经向量组 β ₁ ， β ₂ ，…, β _n 线性表出，且 m > n ，那么 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 必线性相关；若 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性无关，则 m ≤ n 。

定理 20：任意一个极大无关组都与向量组本身等价。

定理 21：所含向量个数相等的两个等价的向量组具有相同的线性相关性。

以上归纳了向量组线性相关性的判定与证明的几种常用的方法，在判定与证明向量组线性相关和线性无关时，需要根据条件灵活运用。 I8kXwAVS9Ozo5nojzeWlfSyr5TI07diz6v7d5WDLPwrQeAn93hRS/a4JoYjEAb60