3.3 反求方程组

3.3.1 齐次线性方程组

求以 n 维列向量组 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 为解的齐次线性方程组：

设 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 线性无关（若线性相关，取其极大无关组），令 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 为行向量构成矩阵 A ，设 Ax = 0 的基础解系为 β ₁ ， β ₂ ，…, β _{n ⁻ m} ，其按行向量构成矩阵 B ，则方程组 Bx = 0 （所求方程组）的一个基础解系为 α ₁ ， α ₂ ，…, α _m 。

3.3.2 非齐次线性方程组

与齐次线性方程组不同，以任意向量组为解的非齐次线性方程组不一定存在。

命题：设 α _i =（ a _{i 1} ， a _{i 2} ，…, a _in ） ^T ， i =1, 2,…， t 线性无关，以 α ₁ − α _t ， α ₂ − α _t ，…, α _{t −1} − α _t 为基础解系的齐次线性方程组为 Bx = 0 ， B 为（ n −（ t −1））× n 矩阵，则 Bx = B α ₁ 的全部解以 α _1, …， α _t 为极大无关组。

例 1 求以 β ₁ =（1,−1,0,0） ^T ， β ₂ =（1,1,0, 1） ^T ， β ₃ =（2,0,1,1） ^T 为解向量的齐次线性方程组。

解：易知 的极大无关组为 ，构造矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组，其基础解系为 ， ，所求齐次线性方程组为：

即：

例 2 设 α ₁ =（1, 2,−1,0,4）， α ₂ =（−1,3,2,4,1）， α ₃ =（2,9,−1,4,13）， W = L （ α ₁ ， α ₂ ， α ₃ ）是由这三个向量生成的线性空间 P ⁵ 的子空间；（1）求以 W 为其解空间的齐次线性方程组；（2）求以 V ={ η + α | α ∈ W }为解集的非齐次线性方程组，其中 η =（1,2,1,2,1）。

解：（1）对矩阵做初等行变换，得：

由此可得 α ₁ ， α ₂ 为 α ₁ ， α ₂ ， α ₃ 的一个极大无关组，即 W = L （ α ₁ ， α ₂ ）。（1）以 α ₁ ， α ₂ 为行向量作矩阵 A ，解线性方程组 Ax = 0 可得基础解系：

取：

则所求方程组为：

（2）由（1）中所得 B ，做线性方程组 Bx = B η ，则该线性方程组是以 V 为解集的非齐次线性方程组：事实上，对 V 中任意向量 η + α ， α ∈ V 有：

即 η + α 为 Bx = B η 的解；又若 ξ 是 Bx = B η 的解，则 ξ − η 是齐次线性方程组 Bx = 0 的解，则存在数看 k ₁ ， k ₂ ，使得 ξ − η = k ₁ α ₁ + k ₂ α ₂ ，即 ξ = η + k ₁ α ₁ + k ₂ α ₂ ，说明 ξ ∈ V ，则所求方程组为：

例 3 （西安电子科技大学，2005）设四元齐次线性方程组 1 为 ，另一四元齐次线性方程组 2 的基础解系为 α ₁ =（2,−1, a +2,1） ^T ， α ₂ =（−1, 2, 4, a +8） ^T ；

（1）求方程组 1 的一个基础解系；

（2）当 a 为何值时，方程组 1、2 有非零公共解，并求出全部非零公共解。

解：（1）对方程组 1 的系数矩阵做初等变换，得：

得 1 的一个基础解系为 β ₁ =（5,− 3,1,0） ^T ， β ₂ =（− 3,2,0,1） ^T 。

（2）令 B =（ β ₁ ， β ₂ ， α ₁ ， α ₂ ），做初等变换，得：

注意当 a ≠−1时， 与 做任何非零的线性组合都不可能使之为零，而要方程组（1）（2）有非零公共解，则 a =−1，此时有：

即 β ₁ ， β ₂ 与 α ₁ ， α ₂ 相互线性表出，则方程组（1）（2）的所有非零公共解为 k ₁ β ₁ + k ₂ β ₂ ， k ₁ ， k ₂ 为任意常数。 Si1im+kqhCuDlmKmrWsiI+7azzZE7xPVR0OPMQi4PcxVJwFH2VCqigk5tESbIfVr