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设 α 1 ， α 2 ，…, α n 为一组向量， k 1 ， k 2 ，…, k n 为一组数，且：
则称向量 β 为向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 的一个线性组合，也称 β 可由 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性表出。
设向量组① α 1 ， α 2 ，…, α n ，② β 1 ， β 2 ，…, β m ，若向量组①中每个向量都可由向量组②线性表出，且向量组②中的每个向量都可由向量组①线性表出，则称两组向量等价，即两组向量相互线性表出。
设 α 1 ， α 2 ，…, α n 为一组向量，若存在不全为零的数 k 1 ， k 2 ，…, k n ，使得：
则称向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性相关。
当且仅当 k 1 = k 2 =…= k n =0 时， k 1 α 1 + k 2 α 2 +…+ k n α n =0，则称向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性无关。
设向量组 α i 1 ， α i 2 ，…, α i m （ m ≤ n ）是向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 的部分组，且满足
（1） α i 1 ， α i 2 ，…, α i m 线性无关；
（2） α 1 ， α 2 ，…, α n 中任一向量 α j （ j =1, 2,…， n ）可由 α i 1 ， α i 2 ，…, α i m 线性表出。则称向量组 α i 1 ， α i 2 ，…, α i m 为向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 的一个极大线性无关组。
向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。
矩阵的行构成的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列构成的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩或列秩称为矩阵的秩，矩阵的行秩与列秩相等。
设 η 1 ， η 2 ，…, η r 为齐次线性方程组 AX = 0 的一组解，若
（1） η 1 ， η 2 ，…, η r 线性无关；
（2） AX = 0 的任一解均可由 η 1 ， η 2 ，…, η r 线性表出。
则称 η 1 ， η 2 ，…, η r 为齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系。
判定向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性相关性时，往往采用以下结论：
（1）向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性相关的充分必要条件为存在不全为零的数 k 1 ， k 2 ，…, k n ，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 +…+ k n α n = 0 ；
向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性无关的充分必要条件为 k 1 α 1 + k 2 α 2 +…+ k n α n = 0 ，当且仅当 k 1 = k 2 =…= k n =0。
（2）向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性相关的充分必要条件为 α 1 ， α 2 ，…, α n 中至少一个向量是其余向量的线性组合。
（3）向量组 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性相关的充分必要条件为 R （ A ）= R （ α 1 ， α 2 ，…, α n ）< n 。
（4） m > n ， m 个 n 维向量必线性相关。
（5） α 1 ， α 2 ，…, α s 可由 β 1 ， β 2 ，…, β t 线性表出，且 s > t ，则 α 1 ， α 2 ，…, α s 必线性相关。
（6） α 1 ， α 2 ，…, α s 线性无关，若 α 1 ， α 2 ，…, α s ， β i （ i =1, 2,…， m ）线性相关，则 α 1 ， α 2 ，…, α s ， β 1 ，…, β m 线性相关。
（7）设 β 1 ， β 2 ，…, β t 为 n 维向量组 α 1 ， α 2 ，…, α t 添加分量后的 m （ m > n ）维向量组，若 α 1 ， α 2 ，…, α t 线性无关，则 β 1 ， β 2 ，…, β t 线性无关；若 β 1 ， β 2 ，…, β t 线性相关，则 α 1 ， α 2 ，…, α t 线性相关。
（8）设 α 1 ， α 2 ，…, α s 为 α 1 ， α 2 ，…, α n 的部分组，若 α 1 ， α 2 ，…, α s 线性相关，则 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性相关；若 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性无关，则 α 1 ， α 2 ，…, α s 线性无关。
（9） β 1 ， β 2 ，…, β n 线性无关，且 β 1 ， β 2 ，…, β n 可由 α 1 ， α 2 ，…, α n ，则 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性无关。
（10）若 α 1 ， α 2 ，…, α n 两两正交，则 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性无关。
（11）矩阵（线性变换）属于不同特征值的特征向量线性无关。
（12）设 A =（ α 1 ， α 2 ，…, α n ），则 Ax = 0 只有零解的充分必要条件为 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性无关； Ax = 0 有非零解的充分必要条件为 α 1 ， α 2 ，…, α n 线性相关。
（13）若
A
=（
α
1
，
α
2
，…,
α
n
），则
≠ 0的充分必要条件为
α
1
，
α
2
，…,
α
n
线性无关；
=0的充分必要条件为
α
1
，
α
2
，…,
α
n
线性相关。
令 A =（ a ij ） n × n ， x =（ x 1 ，…, x n ） T ， b =（ x 1 ，…, x n ） T ，则线性方程组 Ax = b 利用向量组表示为 α 1 x 1 + α 2 x 2 +…+ α n n x = b 。
（1）若 R （ A ）= r ，则 Ax = 0 只有零解的充分必要条件为 R （ A ）= r=n 。
（2）齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件为 R （ A ）= r < n 。
（3）线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件为 R （ A ）= R （ Ab ）；
当 R （ A ）= R （ Ab ）= n ，则 Ax = b 有唯一解；
当 R （ A ）= R （ Ab ）< n ，则 Ax = b 有无穷多解。
（4）克莱姆法则：当
≠
0
时，则
Ax
=
b
有唯一解
x
i
=
，（
i
=1, 2,…，
n
）。
（5）齐次线性方程组 Ax = 0 的解的线性组合仍为其解。 Ax = 0 的解向量构成一个向量空间。 Ax = 0 的基础解系为其解向量所构成的向量空间的基，基础解系中解向量的个数等于解空间的维数，也等于未知量的个数减去系数矩阵的秩。
（6）线性方程组通解（全部解）：设 η 1 ， η 2 ，…, η n − r 为齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则其通解为 η = k 1 η 1 + k 2 η 2 +…+ k n − r η n − r ，其中 n 是未知量的个数， R （ A ）= r ；若 η 0 是 Ax = b 的任一个解，则 Ax = b 的通解为：
其中 k 1 ， k 2 ，…, k n − r 为常数。