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数学与人类的语言、宗教、艺术一起构成最古老的人类文化，而研究数学发展规律的科学就构成了数学史的内容。在五千余年的数学历史发展过程中，重要的数学概念、数学方法、数学思想的诞生和发展，构成了数学史乃至人类文化史最富魅力的题材。
人类在认识自然的过程中逐渐认识到形和数，形成了最早的数学概念。随着人类社会的发展，不同的民族和地区逐渐出现了最早的数学思想、方法和相应的数学知识体系。其中最具代表性的有两类：
● 古希腊数学以演绎思想为核心，采用朴素公理化方法构建几何学。它将数学从现实中抽象出来，形成了最早的几何学理论。
● 中国古代数学以实用思想为指导，创立了以算法化为主要特征的数学方法和数学理论体系。
在此后的几千年里，随着数学思想、方法的不断丰富与发展，数学经历了从常量数学到变量数学，再到近、现代数学的发展阶段。数学研究以其更为严谨的姿态出现在世人面前：它以公理化方法为主要研究方法，成为一门纯粹的演绎科学。最终确立了数学的基本特征：高度的抽象化和形式化，逻辑的严密性与结论的确定性，内在的统一性，应用的广泛性。
数学是运用逻辑展开的科学，那么，从哪些最为普遍的概念、原理或定义出发去构造数学的大厦呢？在数学史上，古希腊哲学家柏拉图明确提出了关于“理念世界”与“现实世界”的区分：前者是真实的、完美的、永恒的、不变的；后者则是不真实的、有缺陷的、暂时的、变动的。而数学对象就是理念世界中的存在，是一种不依赖于人类思维的独立存在。此后亚里士多德又对数学对象进行了系统的哲学分析和概括，他在《形而上学》一书中认为，数学家在开始研究之前，先剥去一切可感的质，而留下量性和连续性，他认为研究数及其属性的学科叫算术；研究数量及其属性的学科叫几何学，所以，他把当时的数学定义为研究数量的科学。
由于“不可公度线段”无法表示成整数的比，因此，古希腊数学家认为应当以几何学为基础来从事全部数学的研究。正是基于这样的认识，欧几里得在《几何原本》中用几何方法表示代数恒等式和解代数方程；阿基米德在用力学方法求出弓形面积之后，立即又用几何和穷竭法加以证明。由于此后古希腊的数学传统得到了广泛的传播，致使上述这种以几何作为全部数学基础的做法也产生了十分深远的影响。著名数学史家莫里斯·克莱因则对此评述道：“在欧多克索斯最早解决了如何用几何来从事无理数研究的问题以后的两千年间，几何学便成了几乎全部严密数学的基础。”
迟至15世纪，仍有很多数学家认为研究三次以上的方程是“荒唐可笑”的，原因就在于它们并不具有明显的几何意义。16世纪，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）在发表代数一元三次方程的一般解法的同时，又立即用几何方法证明这种解法的正确性。17世纪的牛顿偏爱且擅长几何，他正是用几何方法来创立微积分的。在《自然哲学的数学原理》中，他用几何方法说明和论证自己的力学概念、定律和定理。18世纪，创立不久的微积分受到英国主教贝克莱的猛烈攻击。这时，英国数学家麦克劳林（Maclaurin）主张根据古希腊的几何和穷竭法来建立微积分，用严谨的几何方法证明牛顿微积分方法的有效性。
显然，数学家认为，几何是获得严密性的唯一方法，所以他们感到有必要用几何证明来为代数方法辩护。而且很多人确实说过绝对相信几何的话。牛顿的老师巴罗指出几何有八大优点：概念清晰、定义明确、公理直观可靠且普遍成立、公设清楚可信且易于想象、公理数目少、引出量的方式易于接受、证明顺其自然、避免未知事物。牛顿自己不仅经常表示对古希腊数学家的崇敬，还为自己不能紧密地追随他们而自责。他说：“方程是算术计算的表达式，它在几何里，除了表示真正几何量（线、面、立体、比例）间的相等关系以外，是没有地位的。近来把乘、除和同类的计算法引入几何，是轻率的而且是违反这一科学的基本原则的。”
然而，就几何本身来说，古希腊的几何具有逻辑性强、严谨性高的优点，但它也有致命的弱点。美国数学史家莫里斯·克莱因说：“由于坚持要把古希腊几何学搞得统一、完整和简单，把抽象思维同实用分开，所以古希腊几何成为一门成就有限的学科。它限制了人们的视野，阻碍了人们采纳新思想和新方法，内含自我毁灭的种子。”
在古人探索自然的过程中，为了能够应对实践中提出问题的要求，就需要讨论各种类型的应用问题，以及对这些问题的解法。在积累了大量的、关于各种数量问题的解法后，这就启发人们去寻求系统性的、更普遍的一般方法，以解决各种数量关系的问题。于是，就产生了以字母表示数，以解方程为中心问题的初等代数。
方程求解是初等代数乃至高等代数研究的主要问题。比如四大文明古国，都已经涉及求解方程的问题。我国古代著名的数学著作《九章算术》，就是由246个数学应用问题组成，其中“盈不足术”“方程术”就是有关解方程问题的讨论。虽然古希腊文明前期的一些数学家注重几何学，但古希腊文明后期的丢番图却是个例外。他的著作《算术》是人类最早的代数学巨著，在历史上可与欧几里得的《几何原本》齐名。在这本著作中，丢番图研究了多种类型的方程，特别是对不定方程做了广泛而深入的研究。古希腊最后一位数学家希帕蒂娅，也是数学史上第一位女数学家，也曾为丢番图的《算术》做过评注。
在古希腊文明之后，下一个数学文化中心转移到东方的巴格达，数学家花拉子米（约780—850）就是在这里的“智慧宫”完成了他最著名的著作《代数学》。这部书以其逻辑严密、系统性强、通俗易懂和联系实际等特点成为代数教科书的典范。在这部书中，花拉子米基本建立了解方程的方法，并指出了这门科学的方向是解方程，因此，方程的解法作为代数的基本特征，被长期保存下来。如果把丢番图的《算术》看作是从算术向代数学的过渡，那么花拉子米的著作标志着代数学的诞生。
在这之后，11世纪的波斯数学家海亚姆（1047—1123）的著作《代数学》，比花拉子米的代数著作有明显的进步，他的方法是中世纪数学的最大成就之一，也是对古希腊圆锥曲线论的发展。其中详尽地研究了一元三次方程，并指出了用圆锥曲线解一元三次方程的方法。到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺发表了他的著作《大术》，书中记载了代数一元三次方程的一般解法，以及一元四次方程的解法。因此，直到16世纪，代数学研究的中心内容依然是探究各种代数方程的解法。随着研究的深入，各种特殊形式的代数方程也随之迅速增长，例如，卡尔达诺《大术》一书中方程就有66种之多。然而方程的表示方法仍然是使用自然语言表述求解的过程，缺乏抽象的符号表示。用自然文字语言表示代数的研究对象，难以揭示代数对象之间的关系结构，不便于代数学的发展。因此，与几何学相比，代数学迟迟未能成为独立的数学分支，而且发展相当缓慢。
自16世纪中期开始，法国著名数学家韦达推动了符号代数学的发展，使代数得以摆脱几何学的束缚而获得新生。韦达认真研究了前人的著作，他认识到：要使方程具有一般的形式，关键的一步就是用字母来表示数和未知量。因此在他的著作《分析方法入门》一书中，第一次有意识地、系统地使用了字母。在这部著作中，韦达不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用字母来表示方程的系数。通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知量。现今我们常用字母表的后面几个字母 x，y，z 表示未知数，用前面几个字母 a，b，c 表示已知量，这种做法是数学家笛卡儿于1637年引进的。从此之后，代数逐渐形成了初等代数的理论体系，并且在方程求解的研究中创立了后来的抽象代数。
1.解析几何
文艺复兴时期，代数开始摆脱几何学的束缚而获得了独立的发展。例如，尽管一元三次以上的方程无法被赋予直观的几何解释，数学家们仍然开始了高次方程的研究。到了笛卡儿时代，原本将几何视为数学全部基础的做法更被彻底改变了。笛卡儿明确指出：“代数居于数学其他各分支的前列，它是逻辑的延伸，是一门处理量的有用学科。因此，从这个意义上来说，它甚至比几何还具有根本的意义。”这样，笛卡儿成为“第一个把代数放在学术系统的基本地位上”的人。也正是基于这样的认识，笛卡儿创立了坐标几何这样一门用代数方法来从事几何学研究的新兴学科，而坐标几何的成功则又进一步强化了代数学的基础地位。正如数学史家莫里斯·克莱因所指出的：“从古希腊时代直至1600年，几何在数学领域中占据主导地位，而代数则处于从属地位。然而，自1600年以后，代数逐渐成为数学的基本分支。”
解析几何的出现改变了数学的面貌。过去，人们用线段来表示数，用面积来表示两个数的乘积。现在，人们用数来表示几何上的点，用方程来表示几何中的曲线。过去，人们用几何方法来解代数方程，现在，人们用代数方法来处理几何问题，并最终将几何问题归结为数的关系和计算。所以，解析几何使几何算术化了。
2.微积分
历史上，彻底改变数学的面貌，使几何与代数的地位完全颠倒过来的决定性因素是微积分。微积分与解析几何不同，解析几何的对象仍然是几何图形，而微积分的研究对象是函数。函数概念是研究运动和变化的重要工具，微积分则提供了计算变速运动的速度、非匀速运动的路程以及曲边形物体的面积或体积等一系列问题的通用方法，解决了几何、算术、代数根本不能解决的问题。
微分方程的出现，显示出使用新方法的更大威力。微分方程所具有的意义在于，可以把许多物理问题和技术问题的研究化为这类方程求解，使微分方程成为研究自然现象的有力工具。力学、天文学、物理学和技术科学借助微分方程取得了巨大成就。除了微分方程之外，还出现了微分几何、变分法、复变函数等。微积分学的蓬勃发展，不仅成为数学学科的研究中心和主要部分，而且还渗透到了数学中较古老的领域，像代数、几何乃至数论。人们开始把代数理解为用多项式来表示的单变量或多变量函数的理论。将微积分方法引入几何促进了微分几何的诞生，使得解析几何和微分几何开始在几何学领域中占统治地位。最后，欧拉把微积分方法引入数论，从而奠定了解析数论的基础。正是因为有了微积分，数学才在自然科学和技术的发展中成为精确表述它们的规律和解决它们的问题的方法。
由于微积分广泛的应用，自18世纪中期以后，几何方法逐渐被分析方法所替代，分析方法从此成为数学研究的主要方法。拉格朗日对此评论道：“当一个人沉湎在分析运算中时，他就被这个方法的普遍性和它的不可估量的优越性引导着，这种优越性体现在它能把力学推理转变成通过几何往往无法得到的一些结果。分析是如此地多产，只需把一些特殊的真理译成这个普遍的语言，就会看到从它们本身的表达中又出现众多新的出乎预料的真理。”
但是，应该指出，微积分所占据的中心和主导地位是很不牢固的，因为微积分刚建立时很不完善，其根本问题在于它自身没有一个牢固的基础。从19世纪上半叶开始，出现了分析的严格化运动，而其直接目标就是为微积分理论奠定一个可靠的理论基础，于是，大多数数学家把目光转向了算术理论。分析的严格化经历了三个阶段：
其一，以极限理论为基础建立起严格的微积分理论。这一工作是由波尔查诺、柯西和魏尔斯特拉斯等人完成的。其直接结果就是严格的极限理论完全取代了原来的无穷小分析。
其二，以算术理论为基础建立起严格的实数理论。1872年，魏尔斯特拉斯、康托尔和戴德金几乎同时完成了建立严格的实数理论的工作，他们以有理数理论为基础建立起了实数理论，由于后者又可划归为自然数理论，这样，微积分理论就被“算术化”了。
其三，算术理论的公理化。这一工作的最终成果就是所谓的“皮亚诺算术公理系统”。由于自然数理论可以从这一公理系统得以构建，因此，在当时的数学家看来，皮亚诺的算术公理系统事实上就构成了整个数学的基础。
但是，从基础研究的角度出发，人们会问：算术理论的基础应该是什么？或者说，什么是数学的最终基础？这个问题成为19世纪末关于数学基础研究的核心问题。由于不同的数学群体在这一问题上的观点分歧，直接导致了逻辑主义、直觉主义和形式主义三大学派的形成。现代数学基础研究的结果表明，集合论事实上构成了整个数学的逻辑基础。然而，集合论悖论的发现却清楚地表明集合论本身并不是完全可靠的。这在过去的一个世纪中，依然是数学基础研究未能解决的问题。
在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学大师希尔伯特提出的23个数学问题将数学带入了20世纪。同时它也给数学披上了现代意义下纯粹数学的外衣。数学是那些充满创造力的数学家利用纯粹思辨方法解决问题的成果，这些成果共同构建了一个可以完全形式化的数学体系。在这一时期，利用康托尔的集合理论，可以把数学中长期存在的问题用集合论的丰富语言重新描述或重新解决。在抽象意义下形成的拓扑学、近世代数、抽象分析，构成了现代数学的基础。也正是以这三门学科为基础，在过去的百年间萌生并发展了众多的数学分支。波兰逻辑学家塔尔斯基在描述现代数学发展情况时说：“当前，在科学研究领域中，数学正经历着罕见的迅猛发展阶段。这种发展不仅速度惊人，而且极其多样。数学在高度上不断攀升，数百年乃至数千年积累的传统理论不断孕育出新问题，而这些问题的解决又带来了愈发全面而深入的结果。在宽度上，数学的方法正广泛渗透到其他科学分支中，而其研究范畴日益囊括了越来越广泛的现象，并且越来越多的新理论被包括在数学学科的庞大体系之中。此外，在深度上，数学的基础日益坚实，它的方法日益完备，基本原则也日益稳固。”
随着数学变得越来越抽象，它与普通大众之间的距离也越来越远，多少显得有些曲高和寡。19世纪以前，数学是一门易于被数学家乃至普通人所熟练掌握的科学，但到了20世纪，就算是科学领域的大师爱因斯坦，也会感到数学变得颇具挑战性，难以轻松驾驭。爱因斯坦在研究广义相对论时，需要数学家同学来帮他解决数学问题。这一点也不奇怪，因为数学本身已经非常难了，超出了爱因斯坦的能力范围。另外，19世纪以前，数学都是为科学服务的，但到了19世纪以后，数学逐渐占据了主导地位。随着这一变化，人们日益减少了对技术术语的依赖，这一过程却无意中构筑了专业壁垒，把外行人拒之门外。比如，人们从麦克斯韦偏微分方程组来理解电磁波，利用矩阵力学来解释量子行为，从广义相对论方程预测黑洞的存在。而这些对普通人来说，都是非常陌生的内容，给人的印象只是一堆数字和运算法则。举个例子：
在20世纪90年代，美国政府面临一个艰难的抉择：到底是支持国际空间站（ISS）项目还是资助超导超级对撞机（SSC）项目。SSC是一种大型粒子加速器，其研究成果将有助于进一步了解宇宙的基本规律，而ISS的研究则可以帮助我们进一步探索太空和太空旅行的秘密。结果ISS获得了资金支持，SSC被迫取消，原因也许是政府认为ISS在未来会更有实用价值，负责拨款的政客可以听懂这些内容，知道这个项目是干什么的，即便它可能对科学研究没有太多贡献。而SSC项目太复杂了，让那些政客理解相关的内容实在太难了。
这当然不是数学的错，有些深奥的问题如果不借助数学方法，就很难讲清楚；但问题是，一旦使用了数学用语，听众就会兴趣全无，再也不想听下去。如果普通人不了解你所研究的科学，他们就不会轻易同意政府将纳税人的钱投入这个领域，尽管他们都知道数学在现代社会、现代科技的发展中所起的基础性作用。这也凸显出数学普及的重要性，如何让大众关注数学、了解数学是本书的一个主要目标。
随着数学在纯粹数学和应用数学两个方向上的发展，现代社会也越来越重视数学。在20世纪初，希尔伯特提出了23个问题，把数学研究的问题定位于数学内部或一些与数学相关的少数科学领域。而到了20世纪末，数学研究更多地聚焦于社会经济、科学理论、科学技术等与人类的社会生存和发展息息相关的领域。科学史家萨顿说：“根据我的历史知识，我完全相信25世纪的数学将不同于今天的数学，就像今天的数学不同于16世纪的数学那样。”
今天，数学研究的范围空前广阔，数学应用的场合无处不在，而数学家的队伍也空前壮大，数学正处在一个新的黄金时代。21世纪已经过去了20多年，数学与信息通信、先进制造、人工智能、航空航天、生物医药等许多科学技术和工业领域深度融合，数学的引领支撑作用日益凸显，愈发受到社会关注和重视。除了上述领域，数学几乎从所有科学领域的研究中获得了推动。无论你从事哪一个领域的研究，都能发现数学紧密相随。有理由相信，数学在未来的科学发展中会绽放出更加耀眼的光芒。