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数学家之间流传着一个老笑话，一个乘热气球旅行的人迷了路，对着一位过路人大喊：“请问你能告诉我现在在哪儿吗？”
路人思考许久说：“在热气球上。”
热气球上的人脱口而出：“你肯定是数学家！”
“是，你怎么知道？”
“原因有三，一是你花了很长时间思考，二是你的回答无懈可击，三是……你的回答一点用也没有！”
这个笑话好像要告诉我们：数学给大家的印象是它与生活无关，数学什么用也没有，以至于大家无法感受到何为数学。实际上，这个笑话传递的信息是：数学最重要的特征是推理的准确性和结论的绝对确定性，而不是实际应用。无独有偶，美国数学文化专家怀尔德也曾讲过一个例子：
有一次，代数拓扑学家埃米尔·阿廷（Emil Artin）在美国科学研究协会演讲，内容是关于纽结和辫子的研究，这对大多数听众来说都是很清楚的。但有一个听众站起来说：“你的研究非常有趣，但这样的研究有什么用呢？”阿廷回答道：“我靠它谋生！”他意识到，与其辩护是徒劳的。实际上，对于一个事物的“这有何作用”不仅仅在数学上，其他学科也有类似的问题。比如，在电磁感应现象发现之初，英国财政大臣就问道：“它到底有什么用呢？”法拉第回答说：“也许要不了多久你就可以对它收税了。”确实，现在生产、生活中不可或缺的交变电流就是应用电磁感应现象产生的。
长期以来，数学都隐藏在幕后发挥作用。数学给人的印象往往是枯燥乏味、严肃高冷、脱离实际、大量机械的解题训练、缺乏与现实世界的联系。学生望数学而生畏，对数学“想说爱你不容易！”实际上，“每枚硬币都有两面”，大家看到的往往是数学作为科学的一面，看到的是数学符号、公式、定理等外表“冰冷的美丽”，而没有看到数学作为文化的另一面，没有看到冷冰冰的外表之内蕴藏着生动的、人文的“火热的思考”。著名数学家冯·诺伊曼曾说：“如果人们认为数学很难，那仅仅是因为他们没有意识到生活有多么不易。”将数学思维回归到文化常识，展示数学文化的魅力，将是一件非常有意义的事。
数学不仅是一门科学，也是一种文化。在过去的几十年中，人们从社会文化的视角对数学进行研究。广义“文化”的概念，是与“自然”概念相对应，一般是指人类在社会历史实践过程中所创造的物质与精神财富的总和。按照这样的理解，人们把一切非自然的、由人类所创造的事物或对象都看成文化物。数学对象是人类抽象思维的产物，它是一种人为约定的规则系统。因此，数学就是一种文化。
对于数学对象的“文化”特性，古希腊的亚里士多德在《形而上学》里早已作了十分明确的论述：“数学是它们所研究的量和数，并不是那些我们可以感觉到的、占有空间广延性的、可分的量和数，而是作为某种特殊性质的（抽象的）量和数，是我们在思想中将它们分离开来进行研究的。”苏联数学史家亚历山大洛夫对此作了具体的诠释：“我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表，而不是男孩子的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱。”“同样，在几何中研究的，例如，是直线，而不是拉紧了的绳子。”显然，数学对象的这种抽象性就清楚地表明了数学对象的文化属性。
数学作为一种文化，它具有自己独有的特征。譬如，形式化、符号化的语言特征，逻辑的准确性，自由创造的理性精神（如非欧几何就是这种理性精神的创造结果），等等。这使得数学文化与其他文化领域有着质的区别，成为一种特殊的文化领域。波兰裔美国数学家乌拉姆在其自传《一位数学家的历险》里提到，杨振宁曾讲过一个故事，目的是想说明数学家和物理学家之间思考方式的不同：
一天晚上，一帮人来到一个小镇。他们有许多衣服要洗，于是满街找洗衣房。突然他们见到一扇窗户上有标记：“这里是洗衣房”。一个人高声问道：“我们可以把衣服留在这儿让你洗吗？”窗内的老板回答说：“不，我们不洗衣服。”来人又问道：“你们窗户上不是写着是洗衣房吗？”。老板又回答说：“我们是做洗衣房标记的，不洗衣服。”
“只做标记，不洗衣服”这似乎很像数学家，数学家们只做普遍适合的“标记”，而物理学家却在不断“洗衣服”的过程中创造了大量的数学。
而另一个广为人知的例子，匈牙利著名数学家路沙·彼得曾提出下面一个问题，也说明了数学家们独特的行为“规范”：
“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些水，应当怎样去做？”
人们会说：“在壶中放上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”
下一个问题是：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”
这时，人们会说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”
但是，这一回答并不能使数学家感到满意，因为他们认为，只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已把后一问题化归为原先的问题了，所以问题就可用前面问题的方法加以解决。这个幽默的例子形象地说明了数学研究的一个重要思想方法——化归。化归指的是在解决新的问题时，数学家往往不直接求解，而是不断地对问题进行变形，直至把它转化成某个（或某些）已经得到解决的问题。
数学文化不但是人类文化中的特殊领域，同时也是一个具有高度开放性的领域，其主要表现为：它的发展不仅可以由内部的矛盾运动推进，而且还受到社会、文化因素的制约。前者称为推动数学发展的“遗传力量”，后者则是“环境力量”。对此，希尔伯特在1900年的著名演讲“数学问题”中就指出：“在每个数学分支中，那些最初、最老的问题肯定是起源于经验，是由外部现象世界所提出……。但是，随着一个数学分支的进一步发展，人类的智力，受成功的鼓舞，开始意识到自己的独立性。它自身独立地发展着，通常并不受外部的明显影响，而只是借助于逻辑组合、一般化、特殊化，巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的富有成果的问题。……其间，当纯思维的创造力工作时，外部世界又重新开始起作用，通过实际现象向我们提出新的问题，开辟新的数学分支。……据我看，数学家在他们这门科学各分支的问题提法、方法和概念中所经常感受到的那种令人惊讶的相似性和仿佛事先有所安排的协调性，其根源就在于思维与经验之间反复出现的相互作用。”
在“遗传力量”的推动下，数学家们自由创造会产生一些“超前”的成果，有时这些成果在数学共同体（数学家构成的特殊群体）内也无法得到认可，往往需要借助“权威”的推举得到认可。非欧几何学就经历了这样的接受过程，一方面，这是“环境力量”——数学共同体中传统观念及数学共同体内权威层次格局的必然结果；另一方面，人类存在着各种不同文化群体的文化体系，而造成数学成果超前现象的一个重要原因是不同文化群体间的交流困难，这也应归于数学发展的“环境力量”的因素在起作用。只有通过适当的途径，打破不同的亚文化体系间的交流障碍，才是实现数学创造成果向社会效果转化的最好出路。例如，作为超前成果的黎曼几何、整体微分几何，是在被物理学家爱因斯坦、杨振宁获取后，才使抽象的数学原理变为物理学的工具，使“超前”变成“实在”。
关于“环境力量”对数学发展影响的研究，已经形成一门专门的数学社会学。数学社会学的基本观点是：在承认数学自身的独立性具有决定作用的前提下，充分意识到数学的进展是人类文化各个领域相互作用、相互促进的过程，并进而研究彼此之间的关系。
对于“什么是数学”，历来是数学家、哲学家、科学家等争论的热门话题。它涉及对数学本质的认识，也就是数学观的问题。一个比较经典的定义是，恩格斯在19世纪中叶对数学本质的概括：“纯粹数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”进入21世纪，这个定义已经不能概括现代数学的全貌了。
历史上，对数学的认识有着两种截然不同的观点。法国数学家波莱尔认为：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”与此相对，英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素提出：“数学是所有形如 p 蕴含 q 的命题的类，而最前面的命题 p 是否正确，却无法判断。因此，数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门科学。”而作为对形式化数学的反击，美国数学家理查德·柯朗（Richard Courant）在其著作《什么是数学》中提出：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是逻辑与直观、分析与构作、一般性与个别性，……正是这些互相对立的力量的相互作用以及将它们综合起来的努力才构成数学科学的生命、用途和崇高价值。”
20世纪60年代，《苏联哲学百科全书》从本体论的角度揭示了数学的本质：数学是一门撇开内容只研究形式和关系的科学。数学研究的首要对象是数量的和空间的关系及形式，……除此之外，数学还研究其他关系和形式。
从20世纪80年代开始，将数学概括为“模式”的科学得到普遍的认同。美国数学家斯蒂恩在“模式的科学”一文中提出：“数学是模式的科学。数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式。数学理论阐明了模式间的关系；函数和映射、算子和映射把一类模式与另一类模式联系起来从而产生稳定的数学结构。”
可见，要准确地给“什么是数学”一个恰当的回答绝非易事，关键是看问题的角度。数学，作为一个多元化的产物。对“数学”的认识，也应当从一元论走向多元论。菲尔兹奖得主高尔斯在他的《数学》一书中，反复强调并解释他的一个基本观点：对于数学，不要问它是什么，而只是问它能做什么。著名数学家柯朗也说道：“……无论对于专家，还是对于普通人来说，唯一能回答‘什么是数学’这个问题的，不是哲学，而是数学本身活生生的经验。”正是基于这种认识，本书无意给“什么是数学”下定义，而是从文化的角度来理解数学。正如著名数学家、数学史家莫里斯·克莱因（Morris Kline）所说：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量，数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至可能以难以察觉到的方式但毋庸置疑地影响着现代历史的进程。”下面主要从数学的文化价值方面来理解数学的内涵。
1.数学是科学的语言
德国数学家和哲学家莱布尼茨曾指出，数学之所以有如此成就，之所以发展极为迅速，就是因为数学有特定的符号语言。在数学中，各种量、量的关系、量的变化以及量与量之间的变化关系，都是用数学特有的符号语言来表示的。数量、重量、长度、体积、速度、频率……，是我们生活中时刻都会遇到的，我们总是用各种各样的量去测试、比较、分析和演算。数不仅是量的表现形式之一，而且是量的最主要的表现形式。
在科学研究中，运用数学语言有许多好处。首先，数学语言摆脱了自然用语的多义性，用符号来表示科学概念具有单义性、确定性，在推理过程中容易保持首尾一致，不至于因发生歧义而造成逻辑混乱。其次，符号语言简洁明确，便于人们进行量的比较，对事物的某种数量级做出直接的判断，对所研究问题能做出比较清晰的数量分析。有一个有趣的“醉鬼走路”例子，可以说明数学语言的有效性：
在一个硕大无比的广场中间有一个灯柱，一个喝得烂醉的人靠在灯柱上，呆若木鸡。突然，他想走几步。大家可以想象，他的行走轨迹必然是折线，我们不妨把组成折线的每一段直线段称为路径。该如何描述这种行为呢？
如果要求对这种行为进行描述，我觉得作家不会有兴趣，因为醉鬼脑子一片空白，没有思想活动，没有太多可描述的东西。但是，有了数学语言以后，这个行为会变得非常深刻，比如说可以将这个现象叙述为一个无序定律：醉鬼走一会儿后停下来，他距离灯柱最可能的距离为折线路径的平均长度乘以路径段数的平方根。多么深刻而又生动的描述啊！如果没有这些数学语言，这个定律是无法描述的，这就是数学语言的神奇之处。实际上，这是统计学中的一个重要定律，把这个定律运用到物理学中可以研究热分子的布朗运动。
数学作为一种科学语言，还表现在它能以其特有的数学语言（概念、公式、法则、定理、方程、模型、理论等）对科学真理进行精确和简洁的表述，如牛顿的万有引力定律。历史上，牛顿是少数幸运地被苹果砸中头部，从而悟出了万有引力定律的科学家。实际上，古希腊时期就有科学家思考为什么向空中扔的物体会落到地上、水为什么会有浮力等问题，但没有人给出明确的答案。伽利略注意到了这个问题，他说：“让我们来看看这些变量之间的数学关系吧！”事实上，牛顿受到了伽利略的这句话的启发。而科学史的发展也表明，伽利略的方法是最有效的科学方法，开创了现代科学的先河，他也因此被称为“现代科学之父”。而后来的麦克斯韦通过其建立的麦克斯韦方程组，预见了电磁波的存在。他把光、电和磁统一起来，创立了系统的电磁理论，实现了物理学上一次重大的理论整合和飞跃。此外，黎曼几何也为爱因斯坦发现相对论提供了绝妙的描述工具。对此，爱因斯坦体验到了数学语言的特异性。他写道：“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像，……理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中处于什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”
2.数学是思维的工具
1914年诺贝尔物理学奖得主马克斯·冯·劳厄（Max von Laue）说：数学是思维的工具。数学思维具有逻辑的严谨性、高度的抽象性和概括性、丰富的直觉与想象等特征。这些特征使得数学思维在寻求事物本质属性、探究事物间联系、把握事物结构、对事物发展趋势做出预测等方面显示出惊人的优势。数学作为一种思维工具，是人们分析问题和解决问题的重要思想方法。
事实上，在现代数学中，数学研究的基本对象是集合、结构等，这些概念本身就是一种思维的创造物。因此，数学概念是以极度抽象的形式表现的。与此同时，数学的研究方法也是抽象的。数学命题的真理性不可能建立在经验之上，必须依赖于演绎证明。运用数学方法从已知的关系推求未知的关系，所得的结论就是逻辑上的确定性和可靠性，非欧几何的产生就充分说明了这一点。因此，数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性。
由数学公理化方法发展起来的科学公理化方法，是使认识从感性阶段发展到理性阶段，并使理性认识进一步深化的重要手段。当数学被应用于实际问题的研究时，人们常常使用数学模型方法，而建立数学模型的过程是一个科学抽象的过程，要能够找出所要研究问题与某种数学结构的对应关系，最终把实际问题转化为数学问题，进而在数学模型上展开数学推导和计算，最后形成对问题的认识、判断和预测。这些都是运用数学思想方法把握现实的力量所在。
大家知道，爱因斯坦在人类历史上首次提出了狭义相对论。在狭义相对论提出之后，爱因斯坦的大学老师、德国数学家闵可夫斯基就用四维空间的演算来解释狭义相对论，很快受到爱因斯坦的重视。爱因斯坦开始研读闵可夫斯基的工作，并在此基础上推演出广义相对论。爱因斯坦借助数学实现了从狭义相对论到广义相对论思维上的飞跃，这是最典型的数学思维。对此，爱因斯坦深有体会地说：“迄今为止，我们的经验已经足以使我们相信，自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现。我坚信，我们能够用纯数学的构造来发展概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然界的钥匙。经验可以提示合适的数学概念，但是数学概念无论如何都不能从经验中推导出来。当然，经验始终是数学构造的物理效用的唯一判据。但是这种创造的原理都存在于数学之中。”
现代数学哲学的“数学活动观”强调了数学创造过程中各种思维方法的重要作用，从而使数学的思维方法可以成为“锻炼人的思维的体操”，进而为人类进行创造性活动提供强大的方法论武器。恩格斯就曾指出，数学是辩证的辅助工具和表现方式。意思是说，在数学中充满着辩证法，而且有着特殊的表现方式。就数学的研究成果而言，数学家用数学的符号语言、简明的数学公式明确地表达出各种辩证关系及其转化。比如，牛顿-莱布尼茨公式描述了微分和积分两种运算之间的联系和相互转化，概率论和数理统计表现了事物的必然性与偶然性的内在关系，等等。在数学的探索过程中，除了数学中严谨的推理方法，还使用了许多人类思维的通用方法，如归纳、类比、一般化、特殊化等。更为重要的是，数学研究方法也呈现出明显的辩证关系。
3.数学是理性的艺术
在大众心目中，数学殿堂是深不可测、高不可攀的，它那冰冷的逻辑外表丝毫没有艺术的魅力。然而，从数学的历史发展历程中，我们可以发现数学是一种充满理性艺术的科学。美国现代数学家哈尔莫斯则说：“数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性的艺术，因为数学家的生活、言行如艺术家一样；数学是创造性的艺术，因为数学家就是这样认为的。”有人把数学家视为古时候的铁匠，铁匠的任务是为社会其他行业提供必需的生产工具，但同时他们也是艺术家，有时他们会打造出一些精美的、用途不太明确的物品。
事实上，数学理论虽然以逻辑的严密性为特征，但是提出新概念、创立新理论需要借助于直觉、想象或幻想。数学史上的众多成就都证实了这种规律性，费马猜想及其证明就是很好的例证。著名数学家庞加莱说：“没有直觉，数学家便会像这样一个作家——他只是按语法写诗，但是却毫无思想。”
古希腊著名数学家普罗克洛斯（Proclus）的名言：“哪里有数，哪里就有美。”数学总是美的，数学的魅力是诱人的。但数学艺术的美感不同于一般艺术的“情感美”。数学上的美学标准在很大程度上从属于数学共同体（即数学家构成的一个特殊群体）的“数学标准”，因此数学的艺术被称为理性艺术。尽管不同的数学家关于数学美的感受带有强烈的个人色彩，但是，数学的和谐性、简单性与奇异性可以作为数学美的重要表现。
数学的和谐性主要表现在统一、有序、无矛盾以及对称、对偶等方面。庞加莱曾有这样一段名言：“科学家研究自然，是因为他爱自然，他之所以爱自然，是因为自然是美好的。如果自然不美，就不值得理解；不是那种激动感官的美，也不是质地美和表现美；不是我低估那种美，完全不是，但那种美与科学不相干。我说的是各部分之间的有和谐秩序的深刻的美，是人的纯洁心智所能掌握的美。”这种激励数学家、科学家去奋力追求的美，其实就是客观事物所固有的和谐秩序或规律。当我们创造了一种简便的方法，做出一种简化的证明，找到了一种新的成功应用时，就会在内心深处激起强烈的美感。数学系统的无矛盾性就是协调性，历来都是数学家们追求的数学和谐的境界之一。而悖论的产生破坏了协调性，人们又通过各种手段去解决和消除悖论，使数学内部结构达到和谐。数学的和谐性的另一个重要表现是对称性。对称在数学中无处不在，它不仅表现在数的对称性——正数与负数，有理数与无理数，实数与虚数等，也表现在几何图形的对称性上，数和点的对称性上等，还表现在数学理论之间的对称性上，如微分与积分、欧几里得几何与非欧几何、普通集合与模糊集合等，它们都展示出了数学世界的美妙。
简单性是数学美的表现之一。我国数学家王元认为，数学美的本质在于简单。它是一种“简单”的美，而不是华丽的美。被称为“最美数学公式”的欧拉恒等式e iπ +1=0，通过数学的3个最基本的运算（加法、乘法、指数运算），把自然界中5个最重要的常数0，1，i，e，π有机地联系起来，体现了数学的符号美、抽象美、统一美和常数美。据说19世纪美国著名的数学家本杰明·皮尔斯在初次遇到这个公式时，他很风趣地对学生说：“先生们，该公式肯定是真实的，也绝对是充满矛盾的。我们不能理解它，也不知道它的内涵。但我们已经证明了它，所以，我们知道它是一个真理。”
许多著名数学难题的解决最初都是相当复杂的，且使用了特殊的或高深的数学理论，普通人很难看懂，于是数学家会进一步追求简单的初等的解决方法。高斯自1799年在他的博士论文中给出了代数基本定理的证明之后，一生中又数次重新证明它，他对简单性的追求使他为此不遗余力。我国著名数学家陈景润在1973年发表了关于哥德巴赫猜想的研究成果，但在此后几年中，国际上又发表了五篇关于同一命题的论文，而这些论文的共同特点就是证明过程比较简单。数学的简单性还表现在数学公理化方法中公理系统的选择上。最好的公理系统、最优美的公理方法中所选择的公理都要求彼此独立，不能相互推出，这就要求公理数目尽可能少。例如，欧几里得几何公理系统中的平行公理，由于其叙述烦琐且不自明，致使许多后来的数学家都想通过其他公理来证明它，试图把它从公理系统中剔除，但都未能成功。这就说明欧几里得几何公理系统中的平行公理并不多余，因此也说明欧几里得几何体系的完美性。
数学的奇异性就在于其“新”与“奇”。好奇是人的天性，未知的东西往往是神秘的，每个人都想揭开它背后的未解之谜，甚至不由自主地想去探索它。数学的发展历史表明：从有理数到无理数、虚数和四元数的发展，从解一元一次方程、一元二次方程、一元三次到五次以上的方程求根公式的探索，从一维、二维直到多维空间的建立，数学这门学科正是在一步步对未知领域的探索之中才形成了今天的格局。
数学学科中很多新分支的诞生与发展，其实都是人们对奇异美研究的结果。正当有人用数学归纳法证明了世界上所有的人都是秃子时，诞生了数学的一个新分支——模糊数学；当许多数学家都在设法证明欧几里得平行公理而徒劳无功时，罗巴切夫斯基等人却产生了与众不同的想法，将平行公理用一个与之对立的命题进行替换，这样做不但没有导致矛盾，还得到了一系列违背常识的命题。罗巴切夫斯基由奇异想法得到了奇异命题，创立了新的美妙的几何理论体系，这又一次显示了数学奇异性的魅力。人们常说，世界本身是一个未知数，而数学就是探寻这个未解之谜的方程。
总之，数学家对于和谐性、简单性、奇异性的追求，使其在极度无序的对象中展现出清晰的关系和结构；在极度复杂的对象中建立起数学模型；在极度离散的对象中发现奇异的统一性。数学美由此对数学发展起着推波助澜的作用，这正如著名的拉丁语格言所说——美是真理的光辉。
数学是美丽的，曾经在北大未名BBS发帖连载的ukim在“Heroes in My Heart”的结尾写道：
在一次采访当中，数学家Thom同两位古人类学家讨论问题。谈到远古的人们为什么要保存火种时，一位人类学家说，因为保存火种可以取暖御寒；另外一位人类学家说，因为保存火种可以烧出鲜美的肉食。而Thom说，因为夜幕来临之际，火光摇曳妩媚，灿烂多姿，是最美最美的。
美丽是我们的数学家英雄们永恒的追求。