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1665年，牛顿在疫情期间完成了他的微积分理论，从而在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第一次系统地阐述了宇宙运行的规律。
1866年，麦克斯韦创立了电磁场理论的4个偏微分方程组，明确提出“光是一种电磁波”的预言，这是牛顿之后人类认识自然的又一次大综合。
1915年，爱因斯坦借助黎曼几何提出广义相对论，这是人类认识自然的又一次飞跃。
1925年，海森堡凭借矩阵代数，薛定谔依靠波动方程，开启了量子力学的新篇章。
1932年，狄拉克凭借电子波的方程式预言了正电子的存在。
……
1995年3月14日，1990年菲尔兹奖获得者爱德华·威腾（Edward Witten）提出了“M理论”，这是一个有望把描述自然世界的广义相对论和量子力学理论统一起来的弦理论。当然，这个理论完全是数学描述的，如果未来的物理实验能够证实这个弦理论，那将是21世纪物理学的新突破。
几百年来的科学发展表明，每一次重大的科学发现都与数学息息相关。为什么看上去与自然世界没有明显关联的数学却能够这么精确地描述这个世界，目前为止依旧是个谜。大约400年前，伽利略在《试金者》（ The Assayer ）中写道：
哲学（当时人们习惯把科学称作自然哲学）写在这本宇宙宏大的书中，但只有在学会并掌握书写它的语言和符号之后，我们才能读懂这本书。这本书是用数学语言写成的，符号是三角形、圆以及其他几何图形，没有它们的帮助，我们连一个字也读不懂；没有它们，我们就只能在黑暗的迷宫中徒劳地摸索。
物理学家杨振宁与米尔斯在1954年提出了非交换规范场论，之后物理学家惊奇地发现，早在几十年前，数学家在没有参考任何物理知识的前提下，就提出了构建这些理论所必需的数学表现形式。杨振宁在获得诺贝尔物理学奖之前，用下面这段话表达了他的敬畏之心：
这不仅是令人欢欣鼓舞的成功，其背后还蕴藏更多、更深层次的意义。物理世界的架构竟然与深奥的数学概念有着如此密切的联系，而数学界在探讨这些概念时考虑的主要内容竟然只是其逻辑与外在形式之美。还有什么事会比这更神秘莫测、令人敬畏的呢？
著名的科学家爱因斯坦曾感叹：“这个世界最不可理解的事情就是，这个世界竟然是可以理解的！”爱因斯坦通过他建立的质能方程、相对论方程来理解宇宙的运行规律和本质。诺贝尔物理学奖获得者尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902—1995）也困惑于此，在1959年纽约大学的一场报告中，他开场讲了一个故事：
两位昔日的中学同学碰在一起谈论着各自的工作。其中一位已成为统计学家，正在做有关人口变化趋势的工作，他于是就自豪地介绍起自己的工作。他给他的老同学看了一份复印资料，这份资料和通常资料一样，从高斯分布谈起，然后可以预测人口将发生哪些变化。在这个讲解过程中，统计学家不可避免地为他的同学讲解各种数学符号的意义：实际人口数，平均人口，等等。他的老同学有点怀疑，不能肯定这位统计学家是不是在取笑他的无知。怎么能用一些图来预测一群活生生的、有独立想法的人呢？但是他发现这些数学符号中还隐藏着更加令人难以置信的东西。他指着资料中的一个符号，问道：“这个符号是什么意思？”统计学家答：“这是π。你应该知道π的含义，就是圆的周长与其直径之比。”他的同学摇了摇头说：“够了，你的玩笑开得太离谱了，”然后接着解释道，“π我懂，但人口怎么能与圆的周长有关呢？”
维格纳讲这个故事的目的是解释“数学在自然科学中不合理的有效性”，这也是他本次报告的题目。他认为数学可以出人意料地出现在某些看似不相关的领域，比如故事中π的出现令人感到奇怪。他还谈到数学在物理中很多不可思议的应用，并表示“数学语言在表述自然规律方面的适当性是一个奇迹，它是我们既不理解又不该得到的一种奇妙的天赋之物。我们应当感激它，希望它在未来的研究中仍然有效；并且不论是福还是祸，也不论是使我们高兴还是使我们困惑，它都将扩展到更广的学术领域中去。”维格纳将数学的成功归为“奇迹”或“天赋之物”，就仿佛数学背后深刻的原因超越了我们理解世界的极限。
诚然，所有揭示宇宙运行规律的物理研究，归根结底都是用特定的数学方程式来表达——整个宇宙都在用数学说话。事实上，数学的每一次发展也决定了科学的发展进程。古希腊学者阿波罗尼奥斯提出的圆锥曲线成了2000年后开普勒描述行星运动的轨迹。而哈雷彗星、海王星和电磁波的发现则得益于微积分的创立。1831年伽罗瓦提出的群论变成了20世纪物理学的一个中心课题，成为理解基本粒子的思维工具。1928年，英国物理学家狄拉克建立了一组有关电子波的方程式，这一方程的解很特别，既包括正能态，也包括负能态。狄拉克由此做出了存在正电子的预言。1932年，美国物理学家安德森在研究宇宙射线中高能电子轨迹的时候，发现了狄拉克预言的正电子——正电子似乎就是从方程式中跳出来的。
数学不仅在力学和天文学上发挥了巨大作用，对其他学科也有很大的贡献。在生物学上，描述生物种群增长的规律、计算人口增长速度与人口密度的关系等都离不开数学。在分子水平上，对于器官机能的研究、实验遗传学密码的破译、基因序列的研究都是典型的用数学方法研究问题的案例。此外，DNA的双螺旋结构与数学拓扑学的纽结理论密切相关。在医学上，医院里经常使用的扫描仪——CT扫描、PET扫描、超声波等，它们的共同之处是：通过分析专门设备探测到的信号，用数学方法计算得到被扫描物的形状。在经济学领域，市场预测、经济信息分析、金融信贷、价格体系、企业管理等无一不与数学有关。很多诺贝尔经济学奖获得者都有深厚的数学功底，甚至半数以上的人有直接从事数学研究的背景，例如，1994年诺贝尔经济学奖获得者之一的数学家纳什，除对博弈论有巨大贡献外，更是在核心数学的研究中有不少贡献。
数学除了在自然科学和社会科学中发挥重大作用之外，更重要的——它还是一种普遍的思维方式，这对每个人都起作用。我们日常在做每件事的时候，都要考虑自己的言行是否合理合规，这就是数学理性思维的体现。比如，20世纪初德国著名的哥廷根大学，当时在为是否聘用伟大的女数学家艾米·诺特（Emmy Noether）一事犹豫不决，原因是他们认为不能让学生跟随一名女性教师学习数学。数学大师希尔伯特说：“候选人的性别竟然成为不被聘用的理由。我觉得这是没有道理的。我们办的是大学，而不是澡堂。”后来有人曾问当时哥廷根大学数学系系主任埃德蒙·兰道（Edmund Landau），他的同事艾米·诺特是否真是一个伟大的女数学家，他回答道：“我可以作证她是一个伟大的数学家，但是对她是一个女人这点，我不能发誓。”关于数学的理性思维，伊恩·斯图尔特在《现代数学的概念》中的一个笑话也可以给出充分的说明：
天文学家、物理学家和数学家坐着火车在苏格兰的大地上奔驰。他们往外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。
天文学家说：“多么有趣，所有的苏格兰羊都是黑色的。”
物理学家反驳道：“不！某些苏格兰羊是黑色的。”
数学家慢条斯理地说：“在苏格兰至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。”
我国数学家张恭庆院士将数学在现代社会中的作用分为三个层次
：第一个层次是为其他学科提供语言、概念、思想、理论和方法，自然科学以及经济学、管理学等社会科学离开了数学便无从产生和发展；第二个层次是直接应用于工程技术、生产活动，这类例子有很多；第三个层次是作为一种文化，对全社会的成员起着潜移默化的作用。今天，数学已成为人类文化中最基础的学科，它几乎渗透到人类智力活动的各个领域，成为信息社会中不可或缺的构成要件。数学教育家张奠宙说：“数学是人类文明的火车头。”重大人类文明的先兆，往往是数学。同样，数学也是整个世界的幕后推手。没有数学，我们将永远无法揭开世界的奥秘，也无法发展现代科技。因此，我们可以说——是数学，改变了世界。
诚然，数学在改变世界的同时，也在改变着人们的生活，特别是数学家的生活正在悄然发生改变。2009年1月6日出版的《华尔街日报》上发表了一篇题为“学数学以找到好的工作”（Doing the Math to Find the Good Jobs）的文章。该文称数学家列在美国最好职业榜第一位，保险精算师和统计学家分列第二位和第三位。这个排行榜是由CareerCast.com制作的，主要参考了工作环境、收入、就业前景、体力要求和工作强度。数学家在美国的地位之高，不仅得益于现代科技行业的迅速发展和数学在各个领域的广泛应用，更是因为数学家深厚的学术功底和开拓创新的精神使他们成为现代社会非常重要的人才。