3.5 “数学之神”阿基米德

阿基米德（约公元前287—公元前212）出生于西西里岛上的叙拉古，他的父亲是数学家和天文学家，为他提供了良好的数学教育。阿基米德早年曾在亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，对欧几里得数学的进一步发展做出了一定的贡献。阿基米德有“数学之神”的美誉。数学史专家贝尔（1883—1960）说：“任何一张列出有史以来最伟大的三位数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两位是牛顿和高斯。但要是考虑到这些巨匠各自生活的时代，即当时数学和物理学的发展是处于相对繁荣还是贫瘠的阶段，并依据他们所处的时代背景来评价他们的成就，一些人会将阿基米德排在首位。”这些赞美无不反映人们对阿基米德的崇敬。当然，有人认为阿基米德是一位科学家。然而，据希腊历史学家的说法，阿基米德对自己的机械发明不过是“研究几何学之余的消遣”，根本不值一提。

阿基米德留下的数学著作有10多种，多数为希腊文手稿，其中包括《论球与圆柱》《圆的度量》《论劈锥曲面体与回转椭圆体》《论螺线》《数沙器》《抛物线求积法》《论浮体》等。阿基米德的著作“论述简单、完整，显示出巨大的创造性、计算技巧和严谨的证明。”这些著作的体例深受欧几里得《几何原本》的影响，都是先设计若干定义和假设，再依次证明各个命题，各篇独立成章，论证严谨。阿基米德比中国的刘徽与祖冲之等早几百年算出圆周率π，他通过把圆内接正多边形和外切正多边形的边数逐步增加至96边形，计算出π的值在 与 之间。

阿基米德既长于缜密的推理、严格的证明，又工于开辟新的领域，有着众多的发明创造。他创立了著名的阿基米德浮力原理，并且利用杠杆原理造出了起重机，在物理学领域取得了许多成就。他曾发出这样的豪言壮语：给我一个支点，我能撬动地球。他曾向叙拉古国王子奏称：“有些人认为砂粒是无限的，我的著作中所给出的一些数字不仅超过了地球的砂粒，而且还超过了大小等于宇宙的物体。”

马其顿帝国建立不久，很快就受到了罗马人的威胁。在阿基米德生活的时代，双方争夺领地的战争频频不断。在反对罗马人的战争中，阿基米德制造各种机器和仪器，用于国家的防御。利用阿基米德的创造，叙拉古与罗马人对峙了大约两年时间。叙古拉陷落时，传说阿基米德正在聚精会神地思考几何问题。当罗马士兵跑到他跟前时，他说：“走开，不要动我的图。”恼怒的罗马士兵刺死了阿基米德（见图3-18）。

得知阿基米德死后，罗马军官马塞拉斯痛心疾首，他严肃处理了杀害阿基米德的士兵，亲自在西西里岛为阿基米德举行葬礼、修墓立碑。在阿基米德的墓碑上，马塞拉斯刻上了阿基米德一生最满意的作品——一个球内切于圆柱的图案（见图3-19），聊表敬仰之情。图案上镶嵌着“3∶2”以纪念阿基米德在几何上的伟大发现——圆柱体的表面积：球的表面积=圆柱体的体积：球的体积=3∶2。历史上，阿基米德的墓长期未被人发现，直到1965年，当地的一家旅馆在挖地基时，意外地发现了这个墓碑。

对于阿基米德之死，著名哲学家怀特海（Whitehead，1861—1947）评论道：“阿基米德死在罗马士兵手里，这个事件对世界的变化具有头等的象征意义：热爱科学的古希腊人被现实且实际的罗马人赶下欧洲领袖的位置。古罗马人是伟大的民族，但他们没有增进父辈的知识，他们的成就仅限于工程上的微小技术细节。他们不是梦想家，未能提供一个视角来更加深入地控制自然力量。没有一个罗马人会由于沉迷于对数学图形的思考而丢掉性命。”

阿基米德在生死面前仍然痴迷于数学的故事激励着一代又一代的数学家前行，其中特别需要提到的是女数学家索菲·热尔曼（Sophie Germain，1776—1831）求学的事情。在当时的欧洲国家中，法国对女性的歧视（学术上的）尤为严重。热尔曼当初读过一本讲阿基米德的数学史书，说当初他正专心研究一堆沙子组成的几何图形，以至于一个罗马士兵问他话，他充耳不闻，那个士兵一怒之下把阿基米德杀死了。热尔曼认为：“一个人可以如此地痴迷于一个东西以至于置生死于不顾，那么这个东西一定是世界上最美的、最迷人的。”于是她选择了数学。热尔曼后来又在物理学，尤其是在弹性力学理论方面取得了卓越的成就，并最终荣获了法国科学院的金质奖章。在生命的最后几年，高斯说服了哥廷根大学，授予热尔曼名誉博士学位。在那个时代，这是极大的荣誉。

阿基米德成功地开创了数学与力学研究相结合的先河。他用公理化的方法建立了杠杆平衡理论、重心理论及静止流体浮力理论，成为力学的创始人。反之，他又利用力学原理（杠杆原理和重心理论）去发现几何的结论，如球体积、抛物线弓形的面积等。在阿基米德的论著《方法》的序言中，阿基米德总结了这种思想方法。他写道：“用这种方法可能使你获得借助于力学方法来研究某些数学问题的出发点。我相信这种处理方法是不会没有用的，甚至对于定理证明本身也会有用，因为对我来说最初搞清某些事情用的就是力学方法。虽然，用这种方法所进行的研究不能作为真正的证明，而且还需要用几何方法对它们进行证明，但是在我们事先用这种方法得到问题的某些知识后再去提供证明，就要比预先没有任何知识去寻找证明容易得多。”

在现存的阿基米德的著作中，《方法》发现的历史最为有趣，这部书差一点就被遗失在历史中，有人无意中在一份抄写祈祷文的羊皮纸书里发现了它（见图3-20）。

1899年，一位希腊学者公布了他在土耳其的一家图书馆发现的一部数学的羊皮纸书。羊皮纸书中原来的内容已被洗去，上面写的是一些祈祷文。幸运的是，原稿上的字迹并没有完全被彻底地洗尽，后人还能依稀看见原来文字中的一些淡淡的数学痕迹。正是这份公布手稿中的那几行希腊文，引起了丹麦学者海伯格（Heiberg，1854—1928）的关注。从那几行文字独有的特点，他猜测这份手稿一定是阿基米德的著作。1906年，海伯格亲自前往伊斯坦布尔，亲自考察了这份羊皮纸书，赫然发现这本祈祷书就是阿基米德的著作，其中最重要的就是早已失传的《方法》，它的开头是“阿基米德向厄拉多塞致意。”而羊皮纸上的其他著作也证明了作者的身份。

受限于当时的环境与科技条件，海伯格无法对阿基米德羊皮纸书进行更完整的解读。为抢救这本书，海伯格把能辨认出来的大约三分之二内容重新抄录了一遍，并以《阿基米德方法》为名刊行于世。当后来的其他学者想继续研究剩余的“三分之一”时，这部弥足珍贵的羊皮纸书竟因战乱而不知所踪。直到1998年，这部古籍才出现在纽约的一个拍卖场，一位匿名富翁用200万美元买下了它，并委托美国巴尔的摩的“华特斯美术馆”典藏并加以复原。

2005年，借助现代技术，阿基米德这部曾经失传八百多年的作品，终于以更为完整的面貌重见天日。《阿基米德方法》的完整现身，不仅使人们对科学巨匠阿基米德的认识更加“完整”，还改写了数学发展历史，并丰富了古希腊文化的内容。华特斯美术馆善本书籍部主任诺尔说：“这犹如从公元前3世纪（阿基米德的时代）收到一份传真，真是令人兴奋不已。”

阿基米德在继承前人工作的基础上完成了圆面积、球表面面积和球体积的计算等一些重要命题的论证。例如，在《抛物线求积》中，记载着阿基米德如何求弓形面积的方法。

如图3-21所示，抛物线有内接△ PQq ，抛物线上点 P ₁ 、 P ₁ ′与 QP 、 Pq 中点 V ₁ 、 V ₁ ′的连线平行于抛物线的轴。阿基米德通过物理方法发现：抛物线被 Qq 截得的抛物线弓形的面积与△ QPq 的面积之比是4∶3。阿基米德然后使用穷竭法计算：对于抛物线弓形 PQq ，阿基米德认为它可以被一系列三角形“穷竭”。易知△ PQq 面积大于抛物线弓形 PQq 的一半。在弦 PQ 和 Pq 上进行类似的分割，同样有△ PP ₁ Q 面积大于抛物线弓形 PP ₁ Q 的一半；△ PP ₁ ′ q 面积大于抛物线弓形 PP ₁ ′ q 的一半。阿基米德利用已知几何命题证明了

重复这一过程，对其后的三角形，也有同样的面积关系。因此，抛物线的弓形 PQq 的面积可以用所有这些内接三角形的面积和来“穷竭”，也就是说，可以用几何级数 的有限项之和来逼近（这里以 S 记△ PQq 的面积）。

最后，阿基米德用间接证法来完成他的穷竭法证明。首先他证明抛物线弓形的面积 A 不能大于 ，同理可证 A 不能小于 ，那么 A 只能等于 。这个结果与现代微积分中用等比级数求和算出的结果是完全一样的。

英国数学史家希思评述道，希腊几何学家对他们发现定理所用的方法并没有提供任何线索或暗示，这种鲜明的特色既令后人惊叹不已，又使其百思不解。这些定理作为完美的杰作流传下来，却没有留下任何形成时期的痕迹，也没有线索暗示推断它们所用的方法……。《方法》却是个例外，从中我们可以撇开事物的表面洞察到阿基米德探求本质的思想。在《方法》中，他告诉我们他是如何发现关于求面积和体积的定理，同时他特别强调下述两者之间的差别：其一，发现定理所用的方法虽然不能作为定理的严格证明，但足以说明定理的真实性；其二，这些定理在最后被确认之前，必须经过无懈可击的几何方法的论证。用阿基米德本人的话说，前者使定理得以被研究，但不能用来证明之。该书中明确指出，书中所用的、对于发现定理极为有效的力学方法并不能提供定理的证明。 7Yz2YheE7T36goUDe241blzQihzWjzeb0IGMBZI54Gsq9l9yVklmWKbiBIs740tE