3.4 古希腊三大作图问题与圆锥曲线

3.4.1 古希腊三大作图问题

《几何原本》的前3条公设，都是关于直线与圆的存在性的命题。而这些图形的存在性，是由古希腊人特有的作图工具——无度量单位的直尺和圆规予以保证的。古希腊人利用这两种作图工具成功地解决了许多作图问题，如正三角形、正方形、正五边形、正六边形等，在《几何原本》中就呈现了许多这样的命题。然而，有些问题是古希腊人不能用尺规解决的，例如，以下三个作图问题：倍立方，即作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的体积的两倍；三等分角，即将一个给定的角分为三个相等的部分；化圆为方，即作一正方形，使其面积与一个给定的圆的面积相等。

1.一个囚徒的冥想与“化圆为方”

公元前5世纪，古希腊数学家、哲学家安纳萨格拉斯（Anaxagoras，约公元前500—公元前428）在研究天体过程中发现，太阳是个大火球，而不是所谓的阿波罗神。由于这一发现有悖宗教教义，安纳萨格拉斯被控犯下“亵渎神灵罪”而被投入监狱，并判处死刑。在监狱里，安纳萨格拉斯对自己的遭遇感到愤愤不平，夜不能眠。夜深了，月光透过正方形的铁窗照进牢房，安纳萨格拉斯不断地变换观察圆月的方位，一会儿看见圆月比方窗大，一会儿看见方窗比圆月大。最后他说：“算了，就算两个图形的面积一样大好了。”

于是，他把“作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积”作为一个问题进行研究（见图3-12）。化圆为方的问题解除了安纳萨格拉斯的烦恼，使他在苦闷的牢狱生活中找到了精神上的寄托。不过，安纳萨格拉斯终其一生也没有解决这个问题。

在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人都曾被化圆为方的问题吸引过，包括一些数学爱好者也为之神魂颠倒，连欧洲最著名的艺术大师达·芬奇也拿起过直尺和圆规，试图解决这个问题。它看起来是如此简单，却使无数的数学家束手无策。该问题直到1882年才被德国数学家林德曼（Lindemann，1852—1939）证明为不可能。

2.祭坛与“倍立方问题”

约公元前429年，希腊首府雅典发生了一场大瘟疫，导致四分之一的居民不幸丧生，连希腊的统治者裴里克里斯也未能幸免。雅典人派代表到第罗（Delos）的太阳神庙祈求阿波罗神，询问如何才能免除这场灾难。一位术士转达了阿波罗神的谕示：由于阿波罗神神殿前的祭坛太小，阿波罗神觉得人们对他不够虔诚，才降下这场瘟疫，只有将这个祭坛体积放大两倍，才能免除这场灾难。居民们觉得神的要求并不难做到，因为他们认为，祭坛是立方体形状的，只要将原祭坛的每条边长延长一倍，新的祭坛体积就是原祭坛体积的两倍了。于是，人们按照这个方案建造了一个大祭坛放在阿波罗神的神殿前。但是，这样一来，瘟疫不但没有停止，反而更加流行。居民们再次来到神庙，讲明缘由，术士说道：“他要求你们做一个体积是原来祭坛两倍的祭坛，你们却造出了一个体积为原祭坛8倍的祭坛，分明是在抗拒他的旨意，阿波罗神发怒了。”居民们明白了问题所在，但是他们绞尽脑汁也始终找不到建造的方法。他们请教当时最有名的数学家柏拉图，可是这位宣称“不懂几何者，不得入内”的专家和他的徒儿们用圆规和直尺在地上画来画去，无论如何也画不出一个不改变原有形状却能使原有体积增大到两倍的立方体来，这个问题就作为一个几何难题流传了下来。

这就是著名的“倍立方问题”（见图3-13），该问题直到1837年才由皮埃尔·旺策尔（Pierre Wantzel，1814—1848）给出否定的答案。

3.公主的别墅与“三等分角问题”

公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。亚历山大城郊有一片圆形的别墅区，圆心处是一位美丽的公主的居室（见图3-14）。别墅区中间有一条东西方向的河流将别墅区一分为二，河流上建有一座小桥，别墅区的南北围墙各修建了一个大门。这栋别墅建造得非常特别，两个大门与小桥恰好在一条直线上，巧的是，从北门到小桥的距离与从北门到公主的居室的距离正好相等。

过了几年，公主的妹妹（小公主）长大了，国王也要为小公主修建一座别墅，小公主提出她的别墅要与姐姐的相似，有河流、有小桥、有南门、有北门，国王答应了。小公主的别墅很快就动工了，但是，当建好南门，确定北门和小桥的位置时，工匠们却犯了难。如何才能保证北门、小桥、南门在一条直线上，并且北门到小公主的居室和北门到小桥的距离相等呢？要确定北门和小桥的位置，关键是算出夹角∠ NSH 。记α为南门 S 与居室 H 连线 SH 与河流之间的夹角，则通过几何知识可以算出 。这相当于求作一个角，使其等于已知角的三分之一，这就是著名的“三等分角问题”。工匠们试图用尺规作图法确定出北门的位置，却始终未能成功。

这个问题流传下来，直到1837年才由皮埃尔·旺策尔给出否定的答案。这才结束了无数人徒劳无功的尝试。

4.三大作图问题的反思

看完这三大作图问题，可能大多数人会有一个疑问：希腊人为什么非要要求用没有刻度的尺规进行作图呢？对作图工具的限制，表明了古希腊人对待数学的态度。第一，保持几何学的简单、和谐以及由此产生的美学上的魅力。我们知道，直尺与圆规是直线与圆的实物对应物。因此，希腊人在研究几何时，都是仅仅限于直线与圆这两种图形，以及由此直接导出的图形。这种对于直线与圆的自我约束、非理性的限制，是为了保持几何学的简单、和谐与美，也是希腊人追求真理、追求美的标志；第二，培养和锻炼人的逻辑思维能力，提高智力。对于希腊学者来说，引入更复杂的工具来解决这些作图问题，对于手工绘图是可取的，但是对于一个思想家来说则是不足为道的。柏拉图认为：利用复杂的或有刻度的工具，“几何学的优点”就会荡然无存，因为这样就又重新使几何学倒退回了感性世界，而不是利用思想中永恒的、超越物质的思维想象力去提高、充实它。

虽然三大作图问题均以失败告终，但也并非没有意义。这就启示我们：首先，对于历史长、影响深并且经过一些著名数学家钻研而尚未得到解决的那些著名问题，往往需要超越传统思维模式和方法才能解决；其次，问题本身的意义不仅在于这个问题的解决，更在于解决问题的过程中可能得到不少新的成果和发现新的方法；最后，对几何三大作图问题的研究，不仅开创了对圆锥曲线的研究，还发现了一些有价值的特殊曲线，并提出了尺规作图的判别准则等重要理论。这些都比解决几何三大作图问题本身的意义深远得多。

3.4.2 圆锥曲线

对三大作图问题的深入探索，对希腊几何学产生了巨大的影响，并引发了大量的发现。例如，古希腊数学家希波克拉底（约公元前4世纪）虽然没有解决化圆为方问题，但解决了下述相关的问题：设△ ABC 是一个等腰三角形，并设它内接于中心为 O 的半圆（见图3-15）。设 AEB 是以 AB 为直径的半圆，则有 。

因此， OADB 的面积等于半圆 AEB 的面积。现在把两者公共部分 ADB 的面积去掉，则有月牙形 AEBD 的面积等于△ AOB 的面积。这样，一个以曲线弧为边的月牙形面积等于一个直边图形的面积，而直边形的面积是能计算的。在这个证明里，应用了圆面积之比等于其直径平方之比这一事实。

另一位古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus，约公元前4世纪）在研究三大作图问题的过程中最先发现了圆锥曲线：他通过用一个不过顶点且垂直一条母线的平面去截割三种不同的直圆锥（其顶角分别为直角、锐角和钝角），从而分别在这三种圆锥曲面上得到了抛物线、椭圆和双曲线的一支，如图3-16所示。

200多年之后，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262—公元前190）又建立起系统的圆锥曲线理论。与梅内克缪斯不同的是，阿波罗尼奥斯通过截同一个圆锥，就可以得到圆、椭圆、双曲线、抛物线四种图形，如图3-17所示。

阿波罗尼奥斯的主要数学著作是《圆锥曲线论》，一共8卷，现仍保存的有第1卷到第4卷，第5卷到第7卷只保留了阿拉伯语译本，第8卷失传。这部著作借鉴了欧几里得的研究方法，以《几何原本》的10条公理（设）为基础，从圆锥曲面的定义开始证明了487个命题，其逻辑结构浑然成为一体，几乎囊括了圆锥曲线的所有性质。

阿波罗尼奥斯在其著作中通过纯几何方法系统推导了圆锥曲线的核心性质，涵盖了现代中学数学课程中关于圆锥曲线的主体框架。可以说，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》是古希腊时代演绎几何发展的理论巅峰。美国数学史家莫里斯·克莱因认为：这确实可以看成古希腊几何的登峰造极之作，它是一个巍然屹立的丰碑，以至于后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。我国数学史家李文林认为：阿波罗尼奥斯用纯几何的手段得到了今日解析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。但同时这种纯几何的形式也制约了其后数千年的几何学发展，直到17世纪笛卡儿坐标几何的出现才得以打破这一希腊式的演绎传统。