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欧几里得（活跃于公元前330年前后）出生于雅典，是亚历山大学派早期核心学者。关于欧几里得的生平，目前并没有可靠史料记载。根据普罗克洛斯在《几何原本注释》中的记载，他可能年轻时曾受教于雅典的柏拉图学园。由于雅典是古希腊文明的中心，很多人慕名前来柏拉图学园学习，欧几里得也是其中一个。但柏拉图学园大门紧闭，门口挂着一块木牌“不懂几何者，不得入内！”这是当年柏拉图立下的规矩，以让学生们知道他对数学的重视。这一规矩令前来求教的年轻人困惑了：正是因为我不懂数学，才来这儿求教，如果懂了还来这儿做什么？据说欧几里得对自己的数学能力非常自信，果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。
在公元前300年左右，欧几里得在托勒密国王的邀请下来到亚历山大里亚从事数学教学。据普罗克洛斯（约412—485）记载，托勒密国王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的皇家大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。
欧几里得
有这样一个故事，有很多人拜欧几里得为师学习几何，但也有来凑热闹的，其中一位学生曾这样问欧几里得：“学习几何会让我得到什么好处？”欧几里得请仆人拿1块钱给这位学生，讽刺道：“看来你想从学习中获得好处！”由此可见，欧几里得治学严谨，是一个温良敦厚的数学教育家，他提倡学生刻苦钻研，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想。
欧几里得的《几何原本》运用先人开创的公理化方法，选择5条公理和5条公设，推出了465个命题，将前人的几何研究成果整理成一个完整系统。以《几何原本》为标志，数学科学从哲学学科中分离出来，成为一门严谨的、独立的学科。《几何原本》手稿早已失传，我们现在能看到的是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的。据统计，《几何原本》至今已出版了1000多个版本，在西方发行量仅次于《圣经》，没有任何一本教科书可以与其相提并论，《几何原本》因此也被称作“数学家的圣经”。
徐光启
中国最早的汉译本是1607年意大利传教士利玛窦（1552—1610）和徐光启（1562—1633）合译出版的（见图3-9）。徐光启本人在谈到自己学习《几何原本》时的感悟说：“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改；有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。”“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思。”他更预言：“此书为用至广……窃意百年之后必人人习之！”
约公元前300年，古希腊数学家欧几里得的《几何原本》问世，这标志着人类历史上第一个数学理论体系的建立。在古希腊“原本”与“字母”是用一个词表示的。古希腊人用“原本”来指在一门学科中具有广泛应用的那些最重要的命题，其作用如同“字母”，是语言构成的基本单位。欧几里得把他认为最重要的定理选入了《几何原本》，而将不值得收入《几何原本》的其他定理写在了自己的其他著作中。《几何原本》的内容几乎包括欧几里得之前的所有数学成果，是他之前数学成果的整理和总结。全书共13卷，其中第1、3、4、6、11、12和13卷，是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书证明了465个命题。
图3-9 几何原本（徐光启汉译本）
演绎推理的方法最早由公元前6世纪的泰勒斯（约公元前625—公元前547）使用，他常被认为是希腊科学和哲学的始祖。他给出了不少平面几何定理的论证，如直径平分圆、直径所对的圆周角是直角、对顶角相等。泰勒斯把命题证明的思想引入数学中，标志着人们对客观世界的认识从经验开始上升到理论，这是数学史上的一次飞跃。可以说，他改变了数学的发展轨迹，为后来的毕达哥拉斯学派奠定了理性数学的基础。
在柏拉图和亚里士多德的演绎方法论的基础上，欧几里得通过对过去三百多年的几何发展成果进行总结和整理，形成了《几何原本》的公理化体系。在这部著作中，许多命题及其证明并非欧几里得的成果，然而全书的陈述方式却是他独创的：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理。
《几何原本》共有23个基本定义、5条公理、5条公设和465个命题，其中公理是适用于一切科学的真理，而公设则只适用于几何学。由于公理和公设都是不证自明的真理，只是适用范围有所区分，后统称为公理。欧几里得的高明之处就在于精心选定了10条公理，作为全书逻辑推理的起点。《几何原本》给出的公理和公设如下：
公理：
（1）跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
（2）等量加等量，总量仍相等。
（3）等量减等量，余量仍相等。
（4）彼此重合的东西是相等的。
（5）整体大于部分。
公设：
（1）在任意两点之间可作一直线。
（2）线段（有限直线）可任意延长。
（3）以任意点为中心及任意距离为半径可作一圆。
（4）所有直角彼此相等。
（5）若一条直线与两条直线相交，且同侧的内角之和小于两直角，则那两条直线任意延长后会在内角之和小于两直角的一侧相交（现今称为平行公理）。
欧几里得对第五公设的设置是十分精细的，这个公设是在他已经证明了第47个命题之后才列入书中的。这表明他认识到第五公设在建立几何命题链时是不可或缺的。其次，第五公设的陈述方式不如前四条公设那样具有自明性，它涉及无限远空间的概念。这在人们囿于经验认识，尚不能对无限远空间有清晰认识的时代，无疑是一种勇敢的设定。
欧几里得利用上述10条公理，推导出了全书的465个命题，这不仅使得整个几何学知识形成了一个演绎体系，而且是欧几里得在几何学领域的重大贡献。因此，现今人们将《几何原本》中的几何学称为欧氏几何学。
在《几何原本》里，欧几里得给出了勾股定理的严格证明，这是现存有文字资料记载的最早证明方法。
《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形的面积之和。”在众多的证明方法中，欧几里得的证明方法是非常独特而奇妙的。《几何原本》中勾股定理的证明如图3-10所示。
图3-10 《几何原本》中勾股定理的证明
欧几里得首先证明△ ABF ≌△ CAD ，可得矩形 ADLK 的面积=正方形 ACGF 的面积。同理可得，矩形 KLEB 的面积=正方形 CBIH 的面积。定理由此得证。
除了欧几里得的方法之外，有资料表明，古今中外关于勾股定理的证明方法已有500多种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。我国古代数学家赵爽的弦图、刘徽的出入相补法都是比较经典的证法。在国外，知名画家达·芬奇与美国第20任总统加菲尔德的证法也尤为著名，在数学史上被传颂为佳话。
在一些科技馆或科普平台，你也可以亲自参与勾股定理的现场演示，如沙漏或注水模型的勾股定理，如图3-11所示。通过旋转，斜边上的正方形里的水流连续移动到两个直角边上的正方形里面。这种“两个容器中的水恰好可以注满第三个容器”的实验演示，不仅给人身临其境之感，极具吸引力，还可以让人获得对勾股定理的直观验证，加深记忆。
图3-11 勾股定理的水流展示（见彩插）
1.逻辑严谨数学体系的最早典范
在公元前3世纪，最著名的数学中心是亚历山大城，亚历山大城最著名的数学家是欧几里得。像伟大的古希腊几何学家欧几里得这样千古流传的人物在历史中寥寥无几，虽然他没有像凯撒大帝那样建功立业、没有像柏拉图那样创立自己的学说，但他凭借一本教科书声名显赫。而在人类众多的书籍中，像《几何原本》这样影响巨大的书也是非常少见的。
《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理方法建立起演绎的数学体系的最早典范。由区区5条公理和5条公设，竟能推导出那么多的数学定理来，这是一个奇迹！2000多年后，大科学家爱因斯坦仍然怀着深深的敬意称赞道：这是“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹”。而且，这些公理和公设，多一个显得累赘，少一个则基础不牢固，其中自有很深的奥秘。
16世纪英国哲学家托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）与几何结缘的故事非常传奇。从未学习过数学的他，40岁的时候偶然在一个图书馆的书桌上，看到一本摊开的《几何原本》，书上的内容正是第47个定理——勾股定理。对于勾股定理的结论，霍布斯当时非常惊讶。于是他仔细观看了证明过程，这使得他又去参考了书中之前的一个类似的定理，然后又参考了更之前的一个定理，就像俄罗斯套娃一样，一直追溯到了五大公理。就这样，他被严格的证明过程彻底征服，最终相信了这个定理。
霍布斯
这次经历让霍布斯迷恋上了几何学。因为其中每一个证明都建立在另一个更简单的结果之上，所以人们可以逐步进行逻辑推理，从不证自明的公理出发，一直可以得到更复杂的结果。这在霍布斯看来是非常了不起的成就，终于有一门学科可以真正证明其结果，同时人们又不会对该结果产生任何疑问，进行任何争论了。在随后的几年里，霍布斯努力学习几何学，最终成为当时最受人尊敬的几何学家之一。
美国总统林肯（1809—1865）自任国会议员以来，为了提高自己的逻辑和语言能力，他开始学习《几何原本》。每次出行，他总是随身携带这本书，直到能够轻而易举地证明《几何原本》前六卷中的所有命题。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏，不绝于耳。
欧几里得这种独创的陈述方式被历代数学家广泛沿用。这部著作给后人以极大的启发，不仅由此引出了公理化演绎的结构方法，成为数学乃至其他自然科学的典范，还由于其中第五公设的不可证明性质，激发了非欧几何的诞生与发展。
2.理性精神的诞生
数学史家莫里斯·克莱因认为：“欧几里得几何的创立，对人类的贡献不仅仅在于产生了一系列美妙的定理，更主要的是它孕育了一种理性精神。人类任何其他的创造，都不可能像欧几里得的几百条证明那样，显示出这么多的知识都是仅仅靠推理而推导出来的。这些大量深奥的演绎结果，使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心。”受这一成就的鼓舞，西方人把理性运用于其他领域。
“如果你有一把锤子，所有东西看上去都像是钉子。”《几何原本》中的理性思维方式就是那把“锤子”。凡是学习过《几何原本》的人，无不赞赏这种思维方式，并想把这把“锤子”用在别的地方。例如，牛顿和爱因斯坦都深受这种思维方式的影响，并且恰当地用在了自己关注的领域。牛顿的伟大著作《自然哲学的数学原理》把牛顿力学三定律和万有引力定律作为其论述的公理化基础；在狭义相对论中，爱因斯坦把整个理论建立在相对性原理和光速不变原理这两条公理之上；荷兰哲学家斯宾诺莎的经典名著《伦理学》，结构完全仿照《几何原本》；而美国宪法《独立宣言》采用的也是《几何原本》的方法，首先写道：“我们认为下面这些真理是不言而喻的：人人生而平等。造物主赋予他们若干不可剥夺的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。”
3.作为一门美学的思维艺术
欧几里得几何学的重要性，远远超出了其作为逻辑实践和推理模式本身的价值。随着清楚、明晰、简洁的欧氏几何结构和精美推理的发展，数学变成了一门艺术。希腊人是这样欣赏数学的，他们追求简洁、普遍、确定和永恒的知识，而数学领域的知识恰好最符合他们的这种追求。例如，通过观察太阳、月亮、星星的形状和运动轨迹，他们坚信球是最完美的形状，而这些星球运行的圆形轨道也使他们深信，圆和球具有同样的美学魅力。因此，圆与球在欧氏几何里占据重要的位置。他们感叹宇宙的和谐之美，并努力发现和寻求这些和谐的要素，在其他领域里创造这些美的特征。例如，在古希腊的古典文学创作中，可以看到简练、清晰、求实的希腊风格；在建筑中，可以看到简单、质朴的希腊庙宇，以及没有多余繁杂的服饰、军功勋章、花纹镶边的雕像，等等。这些都体现了古希腊文化的思维方式和世界观。
4.对希腊文化的影响
欧氏几何经常被描绘成是封闭的和有限的。这有几层意思：第一，尺规作图的限制。欧氏几何里的图形都是能用直尺和圆规画出来的，这保证了图形的存在性，比如，不能用尺规作图作出的三等分角在欧氏几何里找不到位置；第二，欧氏几何仅仅用5条公理和5条公设进行推理，没有再引进其他新的公理；第三，避免无穷的概念，所讨论的图形基本上都是封闭的、有限的。他们偏爱圆周运动，讨论直线并不对直线做整体考虑，而是将直线定义为一条可以向两个方向延伸至充分远的线段，他们似乎害怕直线这种永远不会终结的感觉。在处理无穷问题上，亚里士多德说：“无穷是不完美的、未完成的，因而是不可想象的。”于是他倡导潜无穷的观念，这与后来康托尔的实无限观念形成鲜明的对照。古希腊文化推崇的这种封闭、有限的特征，在希腊建筑上也占据了支配地位。希腊神庙的完美比例以及优美的整体结构让人一览无余，给人一种终极、完美而明快的印象，希腊艺术不允许比例不协调或出现混乱。
欧氏几何呈现的另一个特征是静态的。欧氏几何研究的都是能够用尺规作出的图形，在整个图形给定之后才进行研究，并且它不研究变化图形的性质。这一特征反映在思想与精神处于宁静状态的希腊神庙上，并且希腊雕像也具有静态的、冷漠的气质。此外，希腊戏剧也常常表现出静态特征，这不仅仅体现在形式上，还反映在剧情结局上，通常能够让人们预先猜测到。希腊悲剧强调命运、必然性的结果，好像与欧氏几何演绎推理的先天必然性相一致。从前提出发，数学家不能自由地选择结论，只能不得不接受必然的结论。