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公元前4世纪，希腊的哲学思想研究主要集中在雅典的柏拉图学园和亚里士多德的吕园。这两个学派，发展了毕达哥拉斯学派的思想，为演绎几何体系的形成奠定了方法论基础。
柏拉图（公元前427—公元前347）出生于雅典的一个贵族家庭，从小受到良好的教育。20岁时，柏拉图开始师从古希腊著名哲学家苏格拉底（公元前469—公元前399）。苏格拉底后来因被指控犯有“不敬神”和“腐蚀青年”的罪名而受审并被处死。为此柏拉图离开雅典，先后去过埃及、昔兰尼（现在的利比亚东部地中海沿岸）、意大利南部和西西里等地。在意大利塔伦图姆（今塔兰托），他结识了在数学和力学上颇有造诣的毕达哥拉斯学派的代表人物阿尔希塔斯。公元前387年，柏拉图在雅典阿卡德米圣殿附近开办了一所学校，史称“柏拉图学园”，他在此执教40年。
柏拉图提倡唯心主义的理念论，认为精神是第一性的，物质是第二性的。例如，在拉斐尔名画《雅典学院》中，柏拉图的手指向天空，而他的弟子亚里士多德则手指向下，这表达了两人不同的哲学观（见图3-8）。柏拉图的数学哲学思想和他的理念论密切相关，他认为数学的研究对象应是超越感观的抽象形式——如理想化的数理概念和几何图形。柏拉图及其学派把数学概念和现实中相应的实体分开，譬如他将算术和实用计算严格区分开来，他所说的“算术”其实是指数论。柏拉图受到了毕达哥拉斯学派的影响，但柏拉图更强调几何学的基础地位，他认为宇宙本质是几何化的理念世界投影。在数学中，柏拉图笃信几何学的真理性。在他的学校里，有“不懂几何者，不得入内”的校训。他本人的贡献在于哲学方法论，具体几何定理多由学园成员（如泰阿泰德）完成。
图3-8 柏拉图（左）与亚里士多德（右）
柏拉图是第一位清晰阐述从公理出发建立数学命题的哲学家。他把世界分为理念世界和现实世界，即客观存在和对它的理性认识。他在谈到人类认识客观世界的过程时说，第一步是由假定到结论，第二步则是完全依据理念进行的推理研究。为了更清楚地说明这个认识过程，柏拉图列举了数学中的推理证明过程：“你知道研究几何学、数学以及这一类学问的人在开始的时候要假定偶数与奇数、各种图形、三种角等概念，将这些视为已知且无须额外阐释的自明假设。他们就是从这些假设出发，通过一系列的逻辑推理，最终抵达他们所追求的结论。”这就是从假设出发进行推理论证的方法。在柏拉图的理论体系中，公理等同于数学的这些假设，是数学家论证某一结论的出发点，它们都被认为是自明的，不需要去证明。
雅典另一个哲学学派是吕园学派，它的创始人和领导者是哲学家亚里士多德（公元前384—公元前322）。他出身于马其顿的一个医生家庭，曾就学于柏拉图学园，是柏拉图的学生和挚友，柏拉图称他是“学园的智者”。公元前343年，亚里士多德被马其顿国王聘为亚历山大王子的教师。数年后他回雅典的吕园开办学校，形成吕园学派（亦称逍遥派，这是因为亚里士多德喜欢在林荫道上边散步边讲学）。他在这里讲学达13年之久，开设的学科包括哲学、政治学、修辞学、辩证术、物理学等。随着马其顿民族的壮大，雅典与马其顿民族的矛盾日趋恶化，作为马其顿国王亚历山大老师的亚里士多德只得逃离雅典。
亚里士多德有一句名言：“吾爱吾师，吾更爱真理。”这句话鲜明地表达出他与柏拉图“精神第一，物质第二”哲学观的不同。亚里士多德将现实世界的客观存在作为他的整个哲学的出发点，注意数学与现实世界的联系，构建描述物理现象的理论。亚里士多德从日常的观察中得出地球是球形的，并用推理的方法得出了一个科学的结论。
亚里士多德发展和完善了演绎推理的思想和方法，并开始考虑如何建立公理化方法和公理体系的问题。在他的著作《后分析篇》中，亚里士多德认为：“一切学说和一切依据于推理的科学都是从以往的知识中产生的。我坚决主张，并非一切知识都可以证明，直接的知识（命题）就无法证明。”在其《形而上学》中还指出：“在几何学上，有些命题不证而明，而其他一切命题的证明却有赖于这些命题，我们称这些命题为几何的要素。”在《后分析篇》里，他将证明所依赖的基础命题分为三类，即论题、公理和公设。论题里包括假设和定义（定义确定的是某物究竟是什么，而假设确定的是某物是否存在），公理是一种无法论证的命题，公设是不经证明就被采用的命题。公理具有普遍的意义，而公设是只为某一门科学接受的原理。
在理性论证的数学中，定义是不可或缺的，亚里士多德将它列为“出发命题”。例如，亚里士多德对几何上的点、线、面、体给出了如下定义：“当我们观察那些在量上不可分的元素（且这些元素本身具有量）时，若某元素在一切方向上都不可分且没有（确定）位置，则称之为单位；若某元素在一切方向上都不可分但占有位置，则称之为点；若某元素仅在一个方向上可分，则称它为线；而在两个方向上可分的元素称为面；在量上，在一切方向（即三个方向上）都可分的元素称为体。如果我们按照相反的次序来看，那么在两个方向上可分的元素是面，在一个方向上可分的元素是线，在量上根本不可分的元素是点和单位；单位没有位置，而点有位置。”亚里士多德关注的是量的各种可分性，即所能占据的空间范围。亚里士多德不但关注到了位置和大小，而且还涉及了空间维度的思想。
逻辑论证规则是理性论证的必要工具。在毕达哥拉斯时代，人们不自觉地在实际中运用了一些逻辑方法。此后，古希腊学者在哲学、自然科学的研究中逐步积累了逻辑方法。亚里士多德在此基础上创立了三段论，总结了前人积累起来的逻辑知识，系统阐述了形式逻辑规则，创立了人类历史上第一门逻辑学。逻辑学是关于思维形式及其规律的科学。亚里士多德的这一工作，使逻辑学从哲学、自然科学中分离出来，成为独立的科学分支。此外，他将数学的演绎推理作为形式逻辑的一个重要应用领域，为此后欧几里得几何体系的建立奠定了方法论的基础。