3.1 毕达哥拉斯与勾股定理

3.1.1 毕达哥拉斯的“万物皆数”

毕达哥拉斯（约公元前580—约公元前500）出生在爱琴海萨摩斯岛上一个富裕的宝石雕刻工匠家庭，从小他就爱好数学和音乐。青年时代在埃及、巴比伦多年，曾就学于爱奥尼亚学派，学习了东方文明古国的数学、天文学和宗教知识。在经历了近20年“苦行僧”的游学生涯后，毕达哥拉斯返回国内，他创立了集政治、学术、宗教于一体的团体，被人称为“毕达哥拉斯学派”。毕达哥拉斯学派是以贵族式的观念形态为基础的，与当时萨摩斯岛的古希腊民主制的观念形态形成尖锐的对立，是具有神秘主义宗教色彩的组织。这个学派的主张和观念曾引起萨摩斯岛公民的不满情绪，毕达哥拉斯为了避开舆论风波，只好离开故乡，逃往希腊移民聚居的亚平宁半岛，并定居在克罗托内城，重新建立学派。由于毕达哥拉斯与贵族党结盟，参与政治活动，后来遭到民主党势力的反对，最终不幸被杀害。他死后，其门徒散居到希腊其他学术中心，继续传承他的学说达200年之久。

毕达哥拉斯学派发现，物质世界中各种各样的现象都显示出相同的数学特征，他们在数与数量关系的研究中发现了各种现象的本质。于是，毕达哥拉斯学派提出了他们的哲学观点“万物皆数”，即世界上的一切事物都可以表现为数，把抽象的数作为万物的本原。

例如，毕达哥拉斯学派将1，1+2，1+2+3，…称为三角形数，并给出了正方形数，五边形数等数的概念（见图3-1），这样他们就巧妙地将形与数联系在了一起。如果将三角形数的图形补画成菱形，那么图中的点数之和便是高斯使用的等差级数公式 。还有许多关于多边形数的有趣结论，可以很容易通过相应数的图形表示来得到证明。例如，任何正方形数都是两个相继的三角形数之和；第 n 个五边形数等于 n 加上第（ n -1）个三角形数的三倍；从1开始的任意多个相继的奇数之和都等于一个正方形数；等等。这些多边形数，借助于形的直观形象，找到了自然数序列构成的级数公式或规律。它是人类早期用形来认识数的成功范例。

除了图形表示数以外，毕达哥拉斯学派还赋予单个属性值以十分有趣的类比和解释。例如，“1”代表理性，因为理性只能产生于一个连续的整体；“2”代表观点；“4”代表正义；“5”是婚姻的象征，因为它是第一个奇数与偶数之和（他们认为，偶数代表女性，奇数代表男性）；“7”代表健康；“8”代表爱情和友谊；“10”是一个理想数，因为它是连续4个整数1、2、3、4的和。此外，他们还定义了“完全数”，即等于它的真因子之和的数。例如，6的真因子为1、2、3，而1+2+3=6；常被用于占卜的完全数是28，当时人们认为月亮绕地球一周为28天，而28=1+2+4+7+14，这样的发现带来了许多的神秘色彩。还有“亲和数”，图3-2所示的亲和数为220和284。220的真因子之和：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284；而284的真因子之和：1+2+4+71+142=220。他们认为这两个数充满着爱情的味道，你中有我，我中有你，宛如一对恋人，两者彼此“含情脉脉”！据说有人问毕达哥拉斯结交朋友时是否有数的作用，毕达哥拉斯回答说：“朋友是你的灵魂的倩影，要像220和284一样亲密，什么叫朋友？就像这两个数，一个是你，另一个是我。”

有一部名为《牵牛花开的日子》的电视剧，它讲述了一个男孩的成长历程。剧中的男女主角分别被称为“284男孩”和“220女孩”。他们之间那感性而凄美的爱情故事，竟然与古希腊的毕达哥拉斯有着不解之缘，源于220和284这两个数字之间的特殊关系。

毕达哥拉斯学派还把音乐归结为“数”，他们发现了如下事实：一根拉紧的弦发出的声音取决于弦的长度；每根长度成整数比的弦，则会发出和谐的声音。例如，当长度比例为1∶1时，产生的是同音；当长度比例为2∶1时，产生的是八度和音；当长度比例为2∶3时，产生的是纯五度和音；当长度比例为3∶4时，产生的是四度和音。这种以数学方式研究音乐的行为看上去似乎无足轻重，但它一直被视为人类第一次利用数字推出某些科学法则的尝试，因此是科学发展史上的一个重要里程碑。从此以后，定量研究登上了历史舞台。

此外，毕达哥拉斯学派将行星的运动也简化为数量的关系。他们认为物体在空间中运动会产生声音。运动较快的物体比运动较慢的物体发出的音调要高，行星与地球的距离越大，则行星的运行速度也越快。然而由于宇宙本身蕴含着和谐之美，这种“天体音乐”实际上是一种“和谐之音”，虽然我们无法听到，但它就像琴弦的和声一样，是数量关系的一种简化体现，因此行星的运动也可以归结为“数”。

这样，毕达哥拉斯学派就把算术（作为数的理论）、音乐（作为数的应用）、几何学、天文学称为“四艺”，将其作为学派的研究领域。这一“毕达哥拉斯四艺”传统一直持续到中世纪，还通行于欧洲教育体制里。

3.1.2 勾股定理

勾股定理是人类认识最早、关注最多、应用最广的一个定理，享有“千古第一定理”的美誉。虽然迄今尚无证据可以直接表明第一个给出勾股定理证明的是毕达哥拉斯，但西方各种文献都把这一定理称为毕达哥拉斯定理。

据说毕达哥拉斯是在参加一次朋友的宴会上发现这个定理的（见图3-3）。相传在2500年前的一天，毕达哥拉斯应邀参加一位富有政要的餐会。这位主人宫殿般豪华的餐厅铺着令人赏心悦目的正方形大理石地砖。由于丰盛的餐宴迟迟未能上桌，一些饥肠辘辘的贵宾在一旁颇有微词，但唯有毕达哥拉斯略显得与众不同。这位善于观察和探索的数学家正在专心致志、若有所思地凝视着脚下这些排列规整、华丽肃穆的方形瓷砖。然而，吸引毕达哥拉斯的不只是欣赏美丽瓷砖所产生的愉悦感，各块瓷砖的组合与“数”之间的奇妙关系更吸引了他的注意。只见毕达哥拉斯迅速拿起画笔，蹲在地上，选了一块瓷砖，以它的对角线为边画出一个正方形，他发现这个正方形的面积恰好等于两块瓷砖的面积之和。这一发现令他更加好奇……于是当他再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形时，他发现这个新正方形的面积恰好等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形的面积之和。至此，经过认真求证的毕达哥拉斯给出了一个大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边的平方和。

当然，我们现在不能确认这个定理是毕达哥拉斯证明的，还是这个学派后来的学者证明的。但据传，毕达哥拉斯找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛来祭神。由此，这个定理又有“百牛定理”之称。事实上，在中国古代的《周髀算经》一书中，就记载了勾股定理，“……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”在书中另一处叙述了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”而在公元3世纪初，我国数学家赵爽在《周髀算经注》中给出了勾股定理的一般形式和几何证明。

此外，毕达哥拉斯三元数组在古巴比伦楔形文字泥板上就已经出现了，该泥板文书现存于美国哥伦比亚大学。这块名为“普林斯顿322号”的泥板文书（见图3-4）的历史大约可追溯到公元前1900年至公元前1600年。除此之外，在古印度建造祭坛时也应用了毕达哥拉斯定理。总之，有了勾股定理，毕达哥拉斯学派能够从细节上更深入地研究数与形之间的联系，并发现更多创造性的结果，无理数的发现就是其中之一。

3.1.3 无理数与黄金分割

对勾股数的深入研究，使毕达哥拉斯学派发现了无理数。毕达哥拉斯学派倡导的“万物皆数”主要是指有理数，即可通约的数，但毕达哥拉斯学派的一个门徒希帕索斯发现，正方形对角线与边长之比是一个不可通约的数，即无理数。

从后来亚里士多德的记述中可以了解到，等腰直角三角形的斜边是无理数的证明是毕达哥拉斯学派给出的，运用的是归谬法。对于这一事实，欧几里得在《几何原本》里给出了证明。我们可以这样重新表述：

在单位正方形（见图3-5）中，设其边长为1，并设对角线 ，假定 m 与 n 没有公约数，则 m 与 n 中至少有一个是奇数。根据毕达哥拉斯定理，有 ，所以 m ² =2 n ² 是偶数，从而 m 必为偶数，于是 n 是奇数。设 m =2 p ，则4 p ² =2 n ² ，又有 n ² =2 p ² 。由上述讨论，可知 n 为偶数。这就导致了矛盾。于是古希腊人称这种数为不可通约量，即指今天的无理数。

在古希腊几何学家试图构造正五边形时，也曾遇到过另一个有趣的无理数——黄金分割数。要作出正五边形，只要能构造出36°的角即可，因为这个角的二倍（即72°的角）正好是圆内接正五边形一边所对的圆心角。于是问题转化为构造顶角为36°的等腰三角形。如图3-6所示，设 AC 平分底角∠ OAB 。这时， OC = AC = AB ，且△ BAC 与△ AOB 相似。设 OA =1， AB = x ，于是有 ，即 ，即 x ² + x -1=0，由此得到 。在数学中，无理数 称为“黄金比”。

毕达哥拉斯学派对正五边形有着深入的研究，并把正五角星作为其团体的象征。五角星之所以给人以美感，是因为其各部位比值中多次出现黄金分割数。五角星的边互相分割为黄金比，不论是横向还是竖向看，它都是匀称的，这都反映了五角星中的黄金分割美。所以，毕达哥拉斯学派对这个数肯定也是非常了解的。

黄金分割数在艺术中与美有着不解之缘。在雅典城内至今保存着一座公元前5世纪的神庙，它的宽和高的比是按黄金分割数设计的。以至于艺术家画的人像以及雕塑像，大多数是以这个为比例。古希腊人认为一个拥有完美体型的人，其肚脐位置能把人体从头到脚进行“黄金分割”。如图3-7a所示，这座断臂维纳斯雕像是举世公认的女性人体美的典范，有人认为这是因为她完全符合黄金分割的人体美比例关系。黄金分割的比例关系是1∶0.618，把它用在人体上，就是将人体分为上下两个部分，其分界点正位于肚脐，使得人体上下两部分的比例正好是0.618∶1，展现出匀称之美。在著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》（见图3-7b）里，也巧妙地融入了黄金分割比例，蒙娜丽莎的脸型接近于黄金矩形，头宽和肩宽的比例接近于黄金分割比例。如果我们画一条黄金螺旋，这条黄金螺旋可以经过蒙娜丽莎的鼻孔、下巴、头顶和手等重要部位。这些精妙的设计绝非偶然，而是达·芬奇有意为之的。

无理数的发现极大地挑战了毕达哥拉斯学派“宇宙万物皆依赖于整数”的信条，这一数学领域的逻辑困境，被后人称为“第一次数学危机”。然而，“逻辑上的矛盾”并未改变他们的哲学信条，毕达哥拉斯的信徒们将坚持“无理量”存在的门徒希帕索斯扔入了大海，而在公元前370年左右，欧多克索斯通过重新定义比例的方式，暂时“解决”了这一危机，从而维护了该学派的信条。 dv01WoidByJuKvoh4pI3QsZ73V0iqSlf2835iF1MhxffraQaZk6cxTFiSm3qpKAG