2.3 神秘的数字

早期人类对自然的认识是有限的，缺乏可靠的经验来认识和改造自然，他们怀着对世界万物的敬畏感和神秘感，往往借助数字——这个思维的抽象物，来解释世界上无法理解或控制的各种现象。在古巴比伦文化早期，数字7有着神秘的力量：一周7天、7阵风、7个神、7个魔鬼、7颗行星、地球有7个区域、神庙有7级台阶等。古希腊的毕达哥拉斯学派最早赋予了数字神秘特性，他们用“万物皆数”的哲学观来解释自然现象。在古代，很多国家和民族都利用数字的神秘特性来预测事物的未来。于是神秘数就被不断用于占卜、祈祷或其他宗教活动中，通过宗教、神话来影响人类的生活，甚至一度成为治国的工具。

2.3.1 中华文化的源头——河图与洛书

在中国古代，与数字相关的两幅神秘图案——河图与洛书，历来被认为是中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”。相传，上古伏羲氏时代，洛阳东北孟津县境内的黄河中浮出龙马，它背负“河图”，并将其献给伏羲。伏羲依此而演成八卦，后为《周易》来源。又相传，大禹治水时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，它背驮“洛书”，并将其献给大禹。大禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依此定九章大法，治理社会。《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之。”这暗示河图、洛书同属天生神物，其兆象可以预示天地变化和吉凶利害，是圣人治世的准则。《算法统宗》中的河图与洛书如图2-17所示。

河图（见图2-18a）是由十个黑白圆点排列而成的数字方阵，其形态常常让人想到古代的八卦图。有人提出，河图乃是上古星图，河图之中藏有宇宙的奥秘，河图之河，乃是宇宙银河！河图最初的原型是一条白色旋转的龙，它将银河画成白龙，围着中心点——北极星旋转，后来演变为一黑一白的两条龙，最终成为大家都非常熟悉的阴阳太极图。河图本是星象，故在天为象，在地成形。有天为象也就是二十八星宿，在地成形则是青龙、白虎、朱雀、玄武四象。河图四象、二十八宿俱全，其布置形意，上合天星，下合地理，且埋葬时已知必被发掘。1987年，河南濮阳西水坡发掘出一座形意墓，它距今已有约6500多年。墓中用贝壳摆绘的青龙、白虎图像栩栩如生，与近代几无差别。这可说明“河图乃上古星图”其言不虚。

洛书（见图2-18b）是由9个数字组成的方阵，其特点是纵、横、斜三条线上的三个数字之和都等于15。明代程大位（1533—1606）的《算法统宗》中，洛书被表示为图2-17中的形式。有人认为洛书其实是脉络图，是表述天地空间变化脉络的图案，其实洛书表达的内容是空间，包括整个水平空间、二维空间以及东南西北方向。无独有偶，也许是机缘巧合，或者冥冥之中自有天意。在1987年出土的安徽含山龟腹玉片上，又发现了洛书图像，距今约5000多年。自此，神话传说中的河图洛书竟然真的出现在了世间。这表明，那时人们已精通天地物理、河图洛书之数了。

洛书上的数字常常用九宫图表示（见图2-19a），有时又称为数字幻方，或幻方，自古以来也是人们娱乐或研究的游戏。古人曾用诗歌描述九宫的数字规律：“四海三山八洞仙，九龙五子一枝莲；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。”而在金庸小说《射雕英雄传》中也有一段情节：

那女子（瑛姑）沮丧失色，身子摇了几摇，突然一跤跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，突然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你，将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫图。

黄蓉又笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇。就说四四图吧，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。这般横直上下斜角相加，皆是三十四。”那女子依法而画，果然丝毫不差。

显然，古人常将河图、洛书与数字联系在一起。实际上，九宫格除了大家常知道的一些性质外，它还有一个少为人知的特性，我们称之为“平方回文特性”。如果把各行与各列的三个数字分别看作三位数，然后求平方和，就会发现有趣的现象：

492 ² +357 ² +816 ² =294 ² +753 ² +618 ²

438 ² +951 ² +276 ² =834 ² +159 ² +672 ²

而某些“对角线”也具有类似的现象，如456 ² +312 ² +897 ² =654 ² +213 ² +798 ² ，是不是很神奇！而四阶幻方也有一些有趣的特点，在图2-19b的四阶幻方中，所有行、列的和以及对角线的和都是34，同时幻方中所有的2×2正方形、中间四格、幻方的四个角中的4个数字之和也是34。

如果传说中的河图与洛书就是八卦图与九宫格，那么其中的数字组合就更为巧妙。我们知道，古典名著《易经》是利用爻卦的变化来预测吉凶的，“爻”字包含交错变动的意思，是卦的基本符号，分别用“——”与“--”表示阳爻和阴爻，合称“两仪”。每次取两个排列，就有四种组合，称作“四象”。每次取三个排列，就有八种不同的组合，就是“八卦”，如图2-20所示。八卦中的每一个卦面相应的名称叫乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，依次象征天、地、雷、风、水、火、山、泽。将八卦中每两个卦叠合，又组成六十四别卦。《易经》就是针对这些别卦进行“卦辞”解释的。由八卦演变而成的六十四别卦也各有象征意义，并逐一解说，预卜吉凶。

在太极八卦图（见图2-21）中，按照中国经典的“九六”说——每个阳爻代表数字9，每个阴爻代表数字6，那么在相对称的两个卦象中，如乾与坤，其象数之和均为45，这是一种十分均衡的数字配置，而它与洛书中1至9的数字之和又恰恰相等。这种巧妙的配置不可能只是巧合，而是一种精细设计的结果。洛书中组成中间十字交叉的5个数字都是奇数，奇数代表“阳”；而四个角上的数都是偶数，偶数代表“阴”，这幅图也预示着宇宙的阴阳和谐和平衡。

一个有趣的事是，17世纪的德国数学家莱布尼茨在发明了二进制数之后，曾尝试用二进制数对中国的六十四别卦做出解释。大约在17世纪70年代，莱布尼茨发明了二进制算术，给出了用0，1表示的二进制数，并规定了二进制数改写为十进制数的法则，以及二进制数的加法、乘法与除法运算法则。1701年，在中国传教的法国传教士白晋将宋代邵雍绘制的六十四别卦图送给了莱布尼茨。莱布尼茨惊奇地发现，古老的易图可以解释成0至63的二进制数表。此后，莱布尼茨在1703年完成了论文“关于仅用0与1两个记号的二进制算术的说明，并附其应用以及据此解释中国古代伏羲图”。图2-22是宋代邵雍六十四卦圆图的二进制数译图 。

2021年7月，第十四届国际数学教育大会在上海召开，其会议标志充分彰显了我国传统数学文化特色（见图2-23）。会标的基本设计思想来自河图，会标中位于中心的弦图替代了河图中心的五个点，弦图外的圆圈表示河图中的带十个点的圈。在此圈外侧画了阴、阳两个外切的左旋悬臂，分别代表原来河图上的阴数（偶数）和阳数（奇数），但会标只突出上方的阴数2和阳数7的点列。2和7之积是14，表示大会的届数。弦图是三国时期的数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明，现在是中国数学会的徽标。画面右下方标明“ICME-14”，它下方的“卦”是用中国古代八进制的记数符号写出的八进制数字3745，换算成十进制就是2021，表示开会的年份。螺线的运用巧妙地体现了现代教学理论中的“螺旋式上升”理念。主画面以“S”形呈现，既象征着会议举办地在上海（Shanghai），又展现出一种向前的动感，寓意中国张开双臂，热情欢迎来自世界各地的与会者，同时也代表中国向世界开放的姿态。在这个会标中，数学元素无处不在，画面非常具有几何美感，主画面由圆和螺线组成，中心对称，会标充分展示了中国古代数学的灿烂文化。

2.3.2 来自西方的神秘数字

1.金字塔里的神秘数字—142857

“142857”这串数字出自古埃及的金字塔。有着“世界七大奇迹”之一美称的金字塔，同时也是当今世界上最为神秘的建筑之一，一直给世界带来不少令人惊奇的宝藏。金字塔留给人们很多神奇的未解之谜，比如142857，它又被称为“走马灯数”。如果我们将“142857”分别和1～6的数字相乘，神奇的事情就发生了，如图2-24所示。就像走马灯中“人骑着马的图像反复地出现在人们的视野中”那样，“1，4，2，8，5，7”这六个数字也反复规律地出现，这一发现着实令人惊叹不已。当我们继续进行乘法运算，将这个数字与7相乘时，一件神奇的事情发生了：142857×7=999999。在中国的传统中，我们对“9”这个数字有着非常特殊的解释——人们常说“九九归一”。这一理念与数字142857的乘法规律不谋而合：一个星期有七天，当将142857自我累加（通过与1～7相乘）时，前六天得到的是六个数字的组合，而到了第七天，结果就是999999，即数字142857前六天都“上班”，只有第七天休息，其他的数字“放假”，每个星期一个轮回。如果仔细研究，还会发现很多有趣的事情。例如，369并不在这个神奇的数组之中。如果说，142857是我们三维世界中最神奇的数字，那么369或许是通往更高维度的钥匙！

2.“圣经数”153

如果你问大家自己的幸运数字是什么，答案肯定五花八门，例如，3，6，8，9，5，520，1314，…。要是有人面露微笑报出一个153来，你也不会感到惊讶，只是会在心底想：这位肯定是基督徒。理由很简单，因为153是圣经数。

这个数字的名称出自圣经，因此“153”后来便被称为“圣经数”。颇具数学眼光的科恩立刻对153产生了兴趣。他发现，153具有一些有趣的性质：

（1）153=1+2+3+…+17，153=1!+2!+3!+4!+5!，153=1 ³ +5 ³ +3 ³ 。

（2）153数字游戏：任取一个是3的倍数的自然数，然后进行如下变换。把该自然数所包含的各位数字的立方相加，其和再作为变换后的新数字。反复进行上述变换，经过有限次以后，结果必然达到153。例如，对24进行变换，过程是：24→72→351→153。对123进行变换，过程是：123→36→243→99→1458→702→351→153。

数学人士开始思考如何给科恩的发现以严格的数学证明。最终，英国学者奥皮亚奈（T. H. O’Beirne）圆满完成了这一证明。

3.最有名气的数字黑洞：冰雹猜想

1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事：20世纪70年代中期，美国各大名牌大学的校园内，人们都仿佛陷入了一种狂热之中，夜以继日、废寝忘食地玩一个数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数 N （ N ≠0），并且按照以下的规律进行变换：

（1）如果 N 是奇数，则下一步变成3 N +1。

（2）如果 N 是偶数，则下一步变成 N /2。

不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论 N 是怎样一个非零自然数，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。

这就是著名的“冰雹猜想”，其得名与冰雹的形成过程有着异曲同工之妙。大家知道，小水滴在高空中受到上升气流的推动，在云层中忽上忽下，越积越大并形成冰，最后突然落下来，变成冰雹。“冰雹猜想”就有这样的意思，它算来算去，数字上上下下，最后一下子像冰雹似的掉下来，变成一个数字1（见图2-25）。

冰雹猜想最大的魅力在于其不可预知性，数字 N 的转化过程变幻莫测，有些平缓温和，有些剧烈沉浮，但都无一例外地会坠入4-2-1的谷底，这好比是一个数学黑洞，将所有的自然数牢牢吸住。有人把冰雹路径比喻为一棵参天大树，下面的树根是连理枝4-2-1，而上面的枝枝叶叶则构成了一个奥妙的通路，把一切（非零）自然数统统都覆盖了，这个连小学生都看得懂的问题，迄今为止却没有任何数学手段和超级计算机可以证明其普遍性，尽管目前已经证实的数字达到10 ¹⁸ 。

这个猜想还有很多其他的名称，如考拉兹猜想、3 n +1猜想、乌拉姆猜想、哈斯算法、叙拉古问题等。尽管考拉兹猜想尚未得到正式证明，但大多数数学家仍然相信它是正确的，所有实验证据和概率启发式论证都强烈支持这个猜想是成立的。这一问题最新的研究是由著名的数学家陶哲轩做出的，他取得了“最接近考拉兹猜想”的结果。在2019年9月，陶哲轩在博客上发文称，他证明了考拉兹猜想对于“几乎”所有数“几乎”都是正确的。这一成果已经是过去几十年来该问题取得的最大进展。 7Yz2YheE7T36goUDe241blzQihzWjzeb0IGMBZI54Gsq9l9yVklmWKbiBIs740tE