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2.1 数感与记数法

古希腊诗人荷马(约公元前9世纪至公元前8世纪)的史诗《奥德赛》中有这样的一个故事:主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛后,离开了独眼巨人的土地。据说,那个不幸的独眼老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早上羊群外出吃草,每出来一只,他就捡起一颗石子。而晚上羊群返回山洞时,每进洞一只,他就从早上捡起的石子中扔掉一颗。当他将早上捡起的石子都扔光时,他就放心地认为羊都返回了山洞。

这种一一对应的记数方法是原始人类形成数的概念的重要途径。考古研究发现,人类在五万年前就已经有了一些记数的方法。1937年,一位考古学家在捷克斯洛伐克的摩拉维亚发现了一根有刻痕的狼骨。骨头上一共有55道刻痕,每5道刻痕一组。一般认为这根狼骨的年代约为3万年以前,这是人类发现的最早的记数证据。后来,古埃及纸草书上的象形数字,古巴比伦泥板书上的楔形数字,中国古代的甲骨文数字,等等,这些刻痕记数方法都反映了人类早期的数学活动。

现代人通过理性分析,将数的起源的进程归结为:依赖于本能感觉(数感)形成一一对应的记数方法,建立集合的等价关系并给出一个标准(或代表集合)的符号规定。数感,即感知事物多少的心理能力。在茹毛饮血的时代,原始人类在狩猎和采集食物的过程中,体验着较早的“有”与“无”、“多”与“少”的区别。在早期的社会实践中,人类表现出数感的本能,这是人类形成数的概念的基础。法国哲学家列维·布留尔(1857—1939)在《原始思维》一书中指出:在原始社会中,许多原始民族用于数的单独名称只有一和二,间或也有三,当超过这个数时,人们就说“许多”或“很多”。对甲骨文的研究发现,“一”字有时就代表“余”(“余”即我一个人),而“二”字与“尔”(“尔”就是你,你和我是两个人)字通用,很形象的“众”是三个人字在一起表示多数人。由此看来,数感只具有区别“多”与“少”的功能。同时也表明数在早期人类中是被感觉到或知觉到的,而不是被抽象地想象的。

一一对应的记数方法最常见的例子是用手指计算物体的个数。例如,在计算猎物和羊的个数时,每数一只就搬动一根指头。类似的方法还有搬动和积攒石块或木棍,在物体上刻痕或在绳上打结。它们都是一一对应的记数方法。英国著名作家丹尼尔·笛福在1719年写的小说《鲁滨逊漂流记》中记载了这样的故事:鲁滨逊海上航行遭遇暴风雨,小船触礁搁浅在一个荒无人烟的小岛上。鲁滨逊成为这次海难的唯一幸存者,其他船员全部遇难。

在岛上待了十天或十二天之后,我突然想到,我没有纸笔和墨水,可能会忘记时间,甚至会把休息日和工作日弄混。为了避免这种情况,我把一个树干做成十字架立在自己第一次上岸的地方,并用小刀在树干上刻下:我于1659年9月30日这一天在此处上岸。我每天都会在树干的两边刻下划痕,第七天的刻痕比前面的长一倍。到了每个月的第一天,刻痕也会比前一天的长一倍。如此一来,我就有了自己的日历……

鲁滨逊在身处绝境时想到和使用了人类最原始的记数方法。在20世纪30年代,欧洲学者在对澳洲土著人的调查中发现:这些土著人是用身体的各部分来读自然数的。当计数一个规模不大的集合时,人们可以利用手指或身体的不同部位进行一一对应,从而实现计数的目的。而当计数规模较大的集合时,人类往往采用积累石子或木棍、在绳上打结、在石块上做记号、在骨棒或木棒上刻缺口等方法达到一一对应的计数目的。

一些早期文明,基于手指或指节的构造,可能导致不同记数方法的产生。例如,一只手除了大拇指,其他四根手指都有三根指节。也有的文明会根据每个手指的弯曲手势来表示不同的数字,有的甚至手脚并用。例如,南美的土著人通过相继圈拢手指来记数:圈拢小指代表1,再圈拢无名指代表2,再圈拢中指代表3,只伸大拇指代表4,所有手指都圈拢代表5,双手的手指都圈拢代表10,等等。但不同文明用手势表示数的习惯或许有些差异,英国人R.梅森(Mason)讲过一个关于第二次世界大战的有趣故事:

当印度和日本两国爆发战争时,一个日本姑娘正在印度。为了避免可能会遇到的麻烦,她的朋友把她乔装成中国人介绍给侨居印度的英国人赫德利先生。这位英国人有点怀疑,要求这个姑娘用手指依次表示1、2、3、4、5,她踌躇了一下,还是这样做了。这时赫德利先生大笑起来,得意地说:“怎么样!你看见了吧?你看见她是怎样做的?她是先伸开手,然后把手指一个一个地蜷上。你看见过中国人这样做吗?没有!中国人和英国人一样,在数数时先把手蜷拢。她是日本人!”

使用一一对应的计数活动,表明人类掌握了一种序数的编排规则。应用它可以得到有限自然数的计算结果,可以把加法看作连续向前的计数,而减法则是往回的计数,进一步还可以发现无限。19世纪,德国数学家康托尔则利用一一对应的记数方法,创造了无限集合的超限基数理论。所以,一一对应的记数方法与人的数感相比,更具有抽象思维的特征,它对数的概念以及数学发展具有重要的作用。

法国科普学者米卡埃尔·洛奈(Mickaël Launay)认为:“如果必须为数学的诞生选定一个日期的话,我无疑会选择这一刻。正是在这一时刻,数字开始独立存在了,正是在这一时刻,数字从现实中被抽离出来,人们能够从更高层次观察数字。”而国际知名数学史专家翁贝托·博塔兹尼(Umberto Bottazzini)也说:“一个不知名的誊写人,在数千年前的一个宿命时刻,冒出一个天才的想法——用同一个抽象符号表示相同数量的动物或东西。伯特兰·罗素说,两只山鸡和两天都是数字2的例子。印度、中国、东南亚地区和中美洲的人民,都陆续迎来那些宿命时刻,在他们的头脑中,一个非凡的想法成形了,即用一个特殊的符号表示虚无,这个符号后来成了一个数字。一个又一个世纪流逝,千千万万个人来到这世上又离去,才等到这些时刻的来临。” dv01WoidByJuKvoh4pI3QsZ73V0iqSlf2835iF1MhxffraQaZk6cxTFiSm3qpKAG

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