2.1.3 PID控制器的伯德图

1.PI控制器的伯德图

由2.1.2节可知，PI控制器的传递函数为

令 K _P = 13.125， K _I = 10，系统的伯德（Bode）图如图2-6所示。

通过如图2-7所示的PI控制系统分析PI控制器对系统性能的影响，系统未加PI控制器的开环传递函数为

稳态误差为

加入PI控制器后，系统的开环传递函数与稳态误差为

从系统的开环传递函数可见，随着PI控制器的引入，系统由原来的Ⅰ型提高到Ⅱ型。若系统的输入信号为斜坡信号 r （ t ） =t ，在无PI控制器情况下，系统的稳态误差为1；而接入PI控制器后，系统的稳态误差为0。Ⅰ型系统采用PI控制器后，可以消除系统对斜坡输入信号的稳态误差，控制准确度大为改善。

利用PI控制器可提高低频段特性，提升系统型别，减小稳态误差。

2.PD控制器的伯德图

由2.1.2节可知，PD控制器的传递函数为

令 K _P = 13.125， K _D = 3.125，系统的伯德图如图2-8所示。

PD控制器的相频特性为

因此，PD校正可以看作相位超前校正。对于一个闭环系统，其开环传递函数可以看成 n 个典型环节组合形式，于是系统的对数幅频特性和对数相频特性可以化为如下形式：

因此，可以利用PD控制器的相位超前特性对系统进行校正。

通过如图2-9所示的比例微分控制系统分析PD控制器对系统性能的影响。系统未加PD控制器的开环传递函数为

其对数幅频特性与对数相频特性分别为

当 K _P = 7.5， τ= 0.5时，系统未加PD控制器的伯德图如图2-10所示。

对数幅频曲线在 ω _c = 1rad/s处通过0dB线，斜率为-40dB/dec；系统的相位裕度为-180°，系统处于临界稳定状态。加入PD控制器后，系统的开环传递函数为

对数幅频特性与对数相频特性分别为

当 K _P = 7.5， τ= 0.5时，有PD控制器的伯德图如图2-11所示。从图2-11中可以看出，系统在低频段斜率为-40dB/dec，斜率小，位置高，并且以-20dB/dec斜率穿过0dB线，系统的相位裕度为64.3°，截止频率为4.16rad/s。利用三频段理论分析，PD控制器在低频段提高了开环增益，减小了稳态误差；改善中频段特性，增大系统的截止频率和相位裕度，提高了系统的相对稳定性和系统响应的快速性；但PD校正使系统抗高频干扰能力降低。

3.PID控制器的伯德图

由2.1.2节可知，PID控制器的传递函数为

将PID校正看作相位滞后-超前校正，令 K _P = 13.125， K _I = 10， K _D = 3.125，系统的伯德图如图2-12所示。

设系统未加PID控制器的开环传递函数为

利用PID控制器对系统进行校正，可以使系统的稳态速度误差 e _ssv ≤0.1，相位裕度 γ ≥67 ° ，截止频率 ω _c ≥13.6rad/s。系统未加PID控制系统的伯德图如图2-13所示。

从图2-13中可知，原系统对数幅频曲线在0dB线以下，虽然是稳定系统，但稳定裕度很小，稳定误差大，调节时间长，系统性能差。

设计如下PID控制器：

得到校正后的系统开环传递函数为

加入PID控制器的系统的伯德图如图2-14所示。从图2-14中可以看出，校正后系统的相位裕度为72.3°，截止频率为13.7rad/s，在低频阶段，系统幅值为40dB，在中频阶段，系统以-20dB/dec的斜率通过0dB线。利用PID控制器提高低频段特性，提升系统型别，减小稳态误差。同时可以改善系统中频段特性，有效增加了系统的相位裕度和截止频率，提高了系统的相对稳定性。