1.1　圆锥曲线的基本定义

1.1.1　椭圆

研究包含椭圆在内的圆锥曲线需要借助解析几何的方法，也就是说，将曲线放在平面直角坐标系中，使用坐标和方程来研究曲线的性质。那么，椭圆在平面直角坐标系中应该是什么样子的呢？一般来说，我们以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 ，如下图所示。设椭圆的焦点分别为 和 ，并设 在椭圆上，满足 ，下面推导椭圆的方程。

根据点到直线的距离公式，可得

当 时， ，对上式左边进行分子有理化，可得

因此

由方程（1.1）和方程（1.2）相加得

^[1]

上式右边是非负的，等式两边同时平方并整理得 .可以验证当 时，方程（1.1）的解满足该方程。一般来说，记 ，即可得到椭圆的标准方程

椭圆 的图像如下图所示。

考虑椭圆 ，其中 ， .

● 称为椭圆的 离心率 ，且 .

● 和 分别称为椭圆的 左焦点 和 右焦点 .

● 椭圆与 轴的交点为 与 ，与 轴的交点为 与 . 和 分别称为椭圆的 左顶点 和 右顶点 ， 和 分别称为椭圆的 下顶点 和 上顶点 . 称为椭圆的 长轴 ， 称为椭圆的 短轴 .

● 对于椭圆上的点 ，有 和 .

满足题意的点 的轨迹如下图所示。

解答 整理得圆的标准方程为 ，因此圆心 的坐标为 .因为 ， ，所以 ，所以 是等腰三角形，故 ，计算得

因此 在以 和 为焦点，以 4 为长轴的椭圆上（不包含与 轴的交点），所以点 的轨迹方程为 .

解答 计算得 .根据 ，解得 .

解答 （1）根据题意得 ， ，结合 ，解得 ， ， .故椭圆 的方程为 .

（2）（i）根据题意得 ， .设 ，代入 解得 ，因此

最后得到 的坐标为 .

（ii）设 ，首先 ，由（i）和 得

整理得

所以点 在以 为圆心，半径为 的圆上。设 为椭圆 上一点，由三角不等式得

当且仅当 三点共线，且 在线段 上时取等，因此只需求出 的最大值。根据点 在椭圆 上，可得 ，因此

当且仅当 时取等，此时 .因此 的最大值为 .

1.1.2　双曲线

在椭圆的定义中将“距离之和”改为“距离之差”，即可得到新的曲线，这个曲线称为双曲线，见如下定义。

类似随圆的研究方法，我们用解析几何的方法研究双曲线。以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 ，如下图所示。设双曲线的焦点分别为 和 ，并设 在双曲线上，满足 ，下面推导双曲线的方程。

根据点到直线的距离公式，可得

对上式左边进行分子有理化，可得

因此

由方程（1.3）和方程（1.4）相加得

等式两边同时平方，可以验证没有增根，整理得 . 一般来说，记 ，即可得到双曲线的标准方程

双曲线 的图像如下图所示。

考虑双曲线 ，其中 .

● 称为双曲线的 离心率 ，且 .

● 直线 称为双曲线的 渐近线 ^[2] .随着 变大或者 变大，双曲线上的点 到双曲线的渐近线的距离会越来越小（如上页图所示）.

● 和 分别称为双曲线的 左焦点 和 右焦点 .

● 双曲线与 轴的交点为 与 ，与 轴没有交点，但是可以标出点 和 . 和 分别称为双曲线的 左顶点 和 右顶点 . 称为双曲线的 实轴 ， 称为双曲线的 虚轴 .

● 对于双曲线上的点 ，有 .

解答 设 的坐标为 ，其中 ， .当 时，点 的坐标为 .当 时， ，由 可得

化简可得 ，而点 在曲线 上，因此轨迹 的方程为双曲线 .

在椭圆和双曲线中常常出现根据已知条件求离心率 的题目。 一般来说，这类题目需要使用椭圆或双曲线的定义（到焦点的距离之和或距离之差为定值），结合已知条件得到 所满足的方程，在此基础上求解离心率 .

解答 将 代入 ，解得 ，因此

根据双曲线的定义，有 ，整理得 ，据此解得 ， .因此 ，解得 ，所以 的离心率 .

在求椭圆或者双曲线的离心率时，有时候需要灵活地使用勾股定理或者余弦定理。

解答 设 ，则 ， .在直角 中，由勾股定理得

解得 或 .并且根据 ，舍去 .所以 ， ， ，则 ，故 .最后，在 中，由余弦定理得

整理得 ，所以 的离心率 .

解答 根据题意得四边形 为平行四边形，设 ，则 ，由双曲线定义可知 ，故 ， .计算得

解得 ，因此 ， .在 中，由余弦定理得

整理得 ，解得 .

解答 如下图所示，设以 为直径的圆与 的渐进线 交于 .联立

解得 ，故 ， ，所以 轴， 轴，进而 .

对于 A 选项， ， A 选项正确。

对于 B 选项，由几何关系得 ，B选项错误。

对于 C 选项，计算得 ，整理得 ，因此 ， ，C 选项正确。

对于 D 选项，当 时， ，因此四边形 的面积

D 选项正确。故选 ACD．

1.1.3　抛物线

和椭圆、双曲线不同，抛物线的定义不再是到两个点的距离之和或者距离之差为定值的动点的轨迹。抛物线的定义如下。

设抛物线的焦点 到准线 的距离（称为焦准距）为 .在平面直角坐标系 中，设焦点 ，准线 ，并设 在抛物线上，满足到 的距离与到 的距离相等，如下图所示。下面推导抛物线的方程。

根据定义，可得

等式两边同时平方并整理，可得抛物线的标准方程

对于抛物线，规定其离心率 .

解答 由题意得 ，则 ，即点 到准线 的距离为 2 ，所以点 的横坐标为 ，代入抛物线方程得点 ，所以

解答 在直线 的方程中，令 ，可得 ，因此 ，抛物线 的方程为 ，准线方程为 .在直线 的方程中，令 ，可得 ，故 ，解得 .最后由抛物线的定义可知 .

在课本中，除了前面所讲的圆锥曲线的方程，还介绍了焦点在 轴上的椭圆、双曲线和抛物线的方程。为了得到这种情况下的圆雉曲线的方程，只需要交换变量 和变量 .本书主要以焦点在 轴上的圆锥曲线为例，因此在这里不多加介绍焦点在 轴上的圆锥曲线。

1.1.4　阿波罗尼奥斯圆

本小节探讨下面的问题：设 是平面内的两个定点，动点 到这两个点的距离之比为定值 ，即 ，那么点 的轨迹是什么？如果 ，那么 ，此时点 的轨迹是线段 的垂直平分线。下面研究的是 且 的情况。

在平面直角坐标系 中，设 ， ， ，则有

等式两边同时平方并移项整理得

读者应该记得，当且仅当 ，并且 时二次方程 表示圆。在上面的方程中， 项和 项的系数相等，并且计算得

因此方程（1.5）表示圆。这个圆称为 阿波罗尼奥斯（Apollonius）圆 .特别地，当 时，可以将线段 的垂直平分线理解为“半径为无穷大的圆”.

解答 以 所在直线为 轴、 中点为坐标原点 ，建立平面直角坐标系 ，则 .设 ，由 可得

即点 在以 为圆心、 为半径的圆上，因此点 到直线 的距离的最大值是 ，从而 的面积的最大值是 .

1.1.5　平面与圆锥的交线

在学习圆锥曲线的定义之后，读者可能会有这样的疑问：为什么圆锥曲线中会有“圆锥”二字？事实上，圆锥曲线最早是通过平面截圆锥发现的，如下图所示。设平面不经过圆锥的顶点。从图像可以看出，当平面不与圆锥的母线平行且只与圆锥的一侧相交时，交线为椭圆；当平面不与圆锥的母线平行且与圆锥的两侧都相交时，交线为双曲线；当平面与圆雉的母线平行时，平面只能与圆锥的一侧相交，交线为抛物线。

以椭圆为例，设平面不经过圆锥的顶点，不与圆雉的母线平行且只与圆锥的一侧相交，下面证明平面截圆锥所得到的曲线符合椭圆的定义。设点 在截面上，为了证明点 到两个焦点的距离之和为定值，需要先找出两个焦点 ，所以在这里构造两个球进行辅助，这两个球称为 丹德林（Dandelin）双球 ，如下图所示。

在截面上方作圆锥的内切球 ，同时与截面切于点 ；在截面下方作圆锥的内切球 ，同时与截面切于点 .设 是球 和球 在圆锥的母线上的公切线。过点 沿着圆锥的母线作球 和球 的切线 和 ，与两个球分别切于 两点。根据球的切线长性质，得到 ，以及 ，因此

其中 是定点，因此 是定值。这便证明了点 在以 为焦点，以 为长轴长的椭圆上。

解答 根据题意，灯光可以照亮的部分是一个无限大的圆台，该问题可以转化为用平面截圆台所得截面的问题。固定灯 不动，考虑将地板从 旋转到 ，设 ，如下图所示。根据圆锥曲线的定义可得：

● 截面与圆台的轴平行时，截得双曲线的一支；

● 截面与圆台的母线平行时，截得抛物线；

● 截面不可能只与圆台的侧面相交，因此不能截得椭圆；

● 截面不可能与圆台的侧面相切，因此不能截得直线。

故选 BC .

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[1] 事实上，这里得到了 ，若记 ，则有 ，同时可以推导得到 .这个公式称为焦半径公式，借助这个公式可以大大简化计算过程。我们在后面会展开介绍。

[2] 这两条直线的方程可以统一记为 ，这和双曲线的标准方程 很像，方便记忆。 Wkr4kz7/EwuOjyndWPxPbBUlm0p6bC/Q4Sf+gv5yq+tnjmv9HDUll8hiptMsyibD