前言

2024 年《高考导数探秘：解题技巧与策略》一书出版后，我收到了许多读者的好评与反馈。在众多的反馈中，读者问得最多的一个问题是，什么时候再写一本关于圆锥曲线的书？考虑到圆锥曲线也是高考的重难点，我梳理了平时讲授圆锥曲线课程的思路，整理了之前在知乎上创作的文章，与李心睿一起编著了本书。本书的大部分正文内容由我完成，例题、课后练习和不联立的相关内容主要由李心睿完成。

近几年来，圆锥曲线常在高考数学试卷的最后一题出现（如 2023 年新课标Ⅰ卷和 2024年新课标Ⅱ卷），题目越来越灵活。学生在学习圆锥曲线时可能会陷入两个“陷阱”：一个是不断记忆各种二级结论，希望通过二级结论直接“秒杀”题目，而没有建立圆锥曲线的知识体系，忽略了现在高考“反套路”的现实；另一个是沉迷于各种“奇技淫巧”或者计算方法，没有理解技巧和方法背后的原理，知其然而不知其所以然。在我看来，无论学习数学的哪个模块，都应该对知识点、技巧和方法有本质理解，这样才能在考场上见招拆招。

本书只有两章，第1章主要梳理圆锥曲线的知识体系，第2章则对圆锥曲线的计算技巧进行讲解。

第1章展开介绍了圆锥曲线的基本定义和统一定义（也被称为第二定义）、有心圆锥曲线的第三定义与点差法。除了传统的点差法以外，本书还介绍了与定比分点相关的点差法，这是一个常会用到的计算技巧。除了介绍定义以外，本书还在第1章里介绍了常见曲线的参数方程，展开讲解了椭圆的压缩变换。圆锥曲线中还有一个重要的结论是关于极点和极线的，例如对于椭圆而言，点所对应的极线的方程为 .圆锥曲线的极线和切线密切相关。

第2章围绕圆锥曲线中的计算问题展开。在做圆锥曲线的题目时，读者比较熟悉的方法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，再使用韦达定理计算和，进一步计算 .除了传统的联立方法以外，本书还介绍了齐次化联立的技巧，以及圆雉曲线中的同构式。本书中比较有特色的是介绍了不联立的技巧，这是一种以设点为主的计算技巧，包括使用点差法计算斜率和使用平方差公式求解非对称问题两种思路。最后本书整理了圆锥曲线中常见的模型，这些模型常常作为命题的背景。

本书适合数学成绩较好、希望能进一步学习圆锥曲线的高二或高三的学生，同时本书也适合作为正在讲授圆锥曲线的高中数学老师的讲义。对于大多数学生来说，必须要掌握的是本书1.1节中的圆锥曲线的基本定义、1.2节中的焦半径公式与焦点三角形的性质、1.3节中的点差法、2.1节中的直线方程与圆锥曲线方程联立，以及 2.2 节中的长度、面积和角度的计算。本书2.3节和2.4节讲解的都是“非传统方法”，但是自 2.3 节开始的所有例题和练习题都可以使用2.1节和2.2节所介绍的传统方法解答，因此读者不必因为没有学过齐次化联立和不联立的计算技巧而焦虑。不过，对于学有余力的学生而言，本书所有的内容都是适合的。书中带星号（*）的部分是高考不要求掌握的内容，但是这些内容（如参数方程）对于读者建立知识体系有帮助，所以也被收录在本书当中。

回顾编著本书的过程，我首先要感谢李心睿提供的优质题目和为本书付出的努力。除此之外，特别感谢陈宇灿、吴梓帆、熊雄、叶纳诚（按照姓氏拼音排序），他们帮助完成了本书的审校工作，并提供了宝贵的建议。希望读者能够通过本书，梳理清楚圆锥曲线从定义到极点、极线的知识体系，熟悉从传统联立到齐次化联立再到不联立的计算技巧。相信读者一定能有所收获！

董晟渤（Dylaaan）
2025年3月于燕园