6 球函数

6.1 勒让德 多项式

此多项式可以由如下微分定义

若-1≤ x ≤+1，勒让德多项式是勒让德方程

的解。勒让德多项式的归一化因子为

勒让德多项式有两个性质：

a）正交完备性

b）递推关系

l 阶多项式可以由如下递推关系得出

由此我们可以得到勒让德多项式的前几项为

勒让德多项式的另一个定义式为

等式左边被称为“母函数”，右边的多项式为母函数按 r 的级数展开得到的，其限制条件为 0＜ r ＜1，勒让德多项式就是右边多项式的展开系数。

6.2 球函数

我们可以用勒让德多项式来构造球函数 （又称为“球谐函数”或“球 面调和函数”） 。其定义式为

其中

对于 m ≤0，上式符号取+；对于 m > 0，上式符号取(− 1) ^m 。或者我们可以把它统一写成

球函数的归一化方程为

这也体现了球函数的正交性。

球函数的微分方程为

其中，∧为拉普拉斯算符的角向部分。

球函数具有如下性质

球坐标 下完整的拉普拉斯算符为

注意： 任意函数都可以按球函数展开为

下面给出球函数的一些特殊值 7wLU3PPx20h69SDm22DzEFoxHWzBs3WzveBmN9B2e3IrFBwN6tRYckyrsxibyRAc