4 线性谐振子

我们知道线性谐振子的势能为

于是可以写出薛定谔方程

为了方便求解，我们定义两个参数

代入后，原方程变为

假设薛定谔方程的解有如下形式

将该形式的解代入方程，得到

□ 薛定谔的猫

“薛定谔的猫”是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔提出的思想实验。实验假设一只猫被放在一个装有少量镭和氰化物的密闭容器里。如果镭衰变，氰化物会被释放，猫就会死亡。根据量子力学理论，由于镭处于衰变和没有衰变两种状态的叠加，猫也理应处于无法观测到的生与死的叠加态。这个实验不是为了描述实际情况，而是用来说明量子力学在理论和实践中的一些难题，特别是与测量和观察者效应相关的问题。图为“薛定谔的猫”实验示意图。

我们猜测方程的解是一个关于 ξ 的级数，即

将猜测级数的解代入方程后，我们得到系数的递推关系

这表明存在两组独立的解，分别是为奇数的情况和为偶数的情况。只有当条件

满足时，才会得到

在这种情况下，无论是奇数还是偶数，方程的解都可以表示成厄米 多项式的形式

厄米多项式的一般表达式为

证明： 将表达式代入方程，可以得到

此方程和如下方程是等价的

对于 n =0，我们验证它是满足上述条件的，然后由归纳法，我们发现对于 n =1，2，…，方程都是满足的。这证明厄米多项式就是方程的解。

下面我们给出几个厄米多项式的性质：

a）递推性质

证明： 把方程中的最低幂次改为 n −1，则与上式等价。

b）归一化性质

证明： 利用归纳法。当 n =0 时，等式是成立的，利用式（4.11）和式（4.14），可以得到递推公式

由此递推公式，利用归纳法，便可以得到归一化性质。

c）可积性

证明： 对于 n =0 的情况，证明是非常直接的；而对于 n >0 的情况，考虑到并使用归纳法，也很容易证明以上性质。

综上所述，我们可以得到：线性谐振子的归一化本征函数为

其中

解得本征能量为 H6FNC6kRMnM0zuayYdSISYNykGwMRu6UN2kyIcC4BB/YEBIAE9LcBwaqEgVd+mfN