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我们已经知道相速度的表达式为
这个方程描述的是一个单色波，其满足方程
此方程的解为 [1]
由于单色性的要求，我们需要固定 ω 为常数。
把解代入波动方程，可以得到
将表达式（2.1）代入（2.2）式，得到
由方程的解我们知道有如下的代换关系
于是得到了含时薛定谔方程
整理后，可以得到
其中，要注意
是一个复数。
若方程的解是式（2.2），则我们得到的方程就叫作“定态薛定谔方程”
只有能量为定值
E
=
ω
的态才满足此方程。
薛定谔方程（2.4），存在连续性方程。我们首先写出薛定谔方程的共轭方程，对方程两边取复共轭，得到
将方程（2.4）左右两边同时乘以
，方程（2.6）左右两边同时乘以
后，将得到的两个新方程相减，可以得到
对于方程（2.7）中的物理量，我们给出一种非常有前瞻性的解释
（2.8）式的这种解释决定了
应该满足
其中，d τ 为空间的体积元。上式表示，体系在空间各处出现的概率相加应该是 1。
若要方程（2.10）成立，则需要满足以下条件：
a）在奇点附近，
的增长速度要比
慢；
b）在无限远处，
趋于 0 的速度比
快。
违反条件b）的情况将在后面提到。
下面我们举一些特殊的例子。
我们先定义记号
∧表示球坐标系中拉普拉斯
算符的角向部分。这种情况下的薛定谔方程为
其中 I 为转动惯量，若是一个质点，则 I = mr 2 。
我们可以把波函数写成 n 个质点坐标的函数，即
此时薛定谔方程为
我们可以用广义坐标写出动能的普遍形式
这里使用了“爱因斯坦求和” [3] 规则，即对相同的上下标进行求和。
由求和规则，我们可以定义
右边为δ，这表示：只有当
k
=
l
时，
=1；当
k
≠
l
时，
=0。所以当
k
=
l
时，我们得到
由逆矩阵的性质，我们知道
其中，adj（ m li ）表示矩阵元 m li 的代数余子式，分母为矩阵的行列式 [4] ，我们将其记为
最后得到方程
此时体积元可以写成
体系的薛定谔方程为
[1]
原书采用
u
表示空间部分的波函数，现多用
ψ
(
r
)表示，简写为
ψ
。(
r
)完整的波函数会写明自变量，即
。后面的推导都使用此套记号，不再做特殊说明。
[2] 原文使用 A 作为转动惯量，按照现代习惯，改用 I 表示转动惯量。
[3] “爱因斯坦求和”指的是同一代数项中若有两项指标相同，且一个是上指标，一个是下指标，那我们就把它们自动求和。比如我们把一个矢量 A 写成分量形式 A = A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 ，使用“爱因斯坦求和”规则就可以将其简写为 A = A i e i 。求和指标 i 被称为“哑指标”，因为它只表示求和，没有实际意义，我们也可以把矢量写成 A = A j e j 。
[4] 严格来说，这里应该写成det（ m ），因为是矩阵行列式，而不是矩阵元的行列式。