1 光学与力学的类比

在光学系统中，频率和能量的关系为

我们将在后面对其进行证明。

我们首先考虑这个类比：物体的运动轨迹=光线的路径。

物体的运动轨迹可以由莫培督原理（Maupertuis’s principle）确定。莫培督原理 （又称为“最小作用量原理”） 告诉我们：对于一个满足能量守恒的力学系统，其能量为 E ，势能为 U ，它将沿着作用量取极小值 的轨迹演化。举个例子，如果有一个质量为 m ，速度为 v ，势能为 U 的质点，它想从空间中任意一点 A 运动到任意一点 B ，在这两点间，质点有无数条路径可以选择。我们把作用量定义为

其中，d s 表示无限小位移。计算每一条路径的作用量后，我们发现，真实情况下质点所选择的那条路径的作用量，是所有路径中最小的，即物理定律要求

其中min表示取极小值。

而光线的路径是由费马原理（Fermat’s principle）确定的。费马原理指的是空间中有任意两点 A 和 B ，我们从 A 点发射一束光，这束光经过一系列介质，不断被折射、反射后到达了 B 点。从 A 到 B ，光可以选择无数条路径，真实情况下光所选择的路径，是所有路径中长度最短 （或 者说消耗的时间最少） 的那条，即

1.1 莫培督原理的证明

对作用量做变分，我们得到

d s 表示三维空间中任意小的一段位移，容易知道

所以其变分为

同样可以求得势能的变分为

代入方程，做一次分部积分后，我们就可以得到极值方程

利用等式

代入可以得到

这正是物体的运动方程，即我们可以从莫培督原理得到物体的运动轨迹。

□ 费马

皮埃尔·德·费马（Pieme de Fermat，1601—1665年），法国律师，业余数学家。他一生中从未受过专门的数学教育，却在解析几何、微积分、数论等多个数学领域有重大贡献，例如费马定理、解析几何的基本原理等，堪称“17世纪法国最伟大的数学家”，并享有“业余数学家之王”的美誉。

1.2 费马原理的证明

从费马原理出发，我们可以得到

这表明，光线会走波长数量为极小值的路径。从波动光学的角度来看，这时光波是不动的，对应于干涉加强。

由公式（1.1）和（1.2）我们可以知道，如果等式

成立 ［其中 f ( ν ) 和 E ( ν ) 暂时被认为是频率的函数］ ，那么我们就可以推出“物体的运动轨迹=光线的路径”这个结论。

我们可以从下面的等价关系中推出 f ( ν ) 和 E ( ν ) 的具体函数形式，即质点的速度

等价于波包的群速度

1.3 群速度公式的证明

波包可以写成一系列频率相差很小的简谐波的叠加

如果所有的 a _ν > 0，叠加波在 x =0和 t =0时为主极大。现在若要确定任意 t ≠0时波包的位置，只需要确定其极大值的坐标即可。波包处于极大值处要求

解得

我们可以把它看成 ，故得到群速度的表达式

由之前质点速度 v 等于波包群速度 v _g ，我们得到

再把等价条件（1.4）代入，得到

其中 U ( x )随着位置的变化而变化，是一个与频率 ν 无关的量。用量纲分析法比较上式两边的量纲，我们发现等式成立的条件为

解得 ν f 为一常数。

将等式成立的条件代入（1.7）式后得到

由此推出

这是一个常量，我们令

解得

其中 C 是“常数”的意思，即单词“constant”的首字母。因为能量都是相对值，所以我们可以恰当地选择能量的零点，使得 C =0，最终得到

计算得到相速度的表达式为

它决定了各处的折射率和色散关系。

若改用角频率，我们知道

同时引入

最终结果为

再引入一个新的物理量

我们称 为“德布罗意 波长”（de Broglie wavelength）。

德布罗意提出了波粒二象性的观点，他告诉我们，任何物体既可以从粒子的角度来描述，也可以从波的角度来描述。故我们可以通过物质粒子的衍射实验来确定物质波的长度 λ ，进而得到 h 或 的数值

我们把 h 称为“普朗克常数”， 称为“约化普朗克常数”。 ymLMepTZEH2iakg4GbyrCja+3i+c9FF0H7+cbAoq849bjbgef1I6APUjnU6ISQdY