9 波函数的正交性

9.1 一维情况

对于不含时的波函数 ψ ( x )，满足定态薛定谔方程，我们可以得到两个方程

第一个方程乘以 ψ _k ，第二个方程乘以− ψ _l ，然后两式相加，得到

等式两边从 a 到 b 积分，得到

当 x →±∞时，一般情况下 。因为定态波函数在全空间需要满足归一化条件，若无穷远处波函数不为 0，会导致积分发散而不满足归一化条件。

现在我们令 a →−∞， b →+∞，即对一维的全区域进行积分，就会得到

说明： 我们也可以考虑其他类型的边界条件。如周期运动［周期性边界条件为 ψ ( x )= ψ ( x + T )］

受限制的区域运动 （在区域的两端 a 和 b 是无限高势垒）

一般情况下，方程可以写为

这表示对需要求解的全区域进行积分。

当 E _k ≠ E _l 时，为了使方程成立，我们得到

它的含义是两个波函数的内积为 0，即表明波动方程的两个独立的解是彼此正交的，这就是波函数的正交性。

在一维问题中，通常每个能量本征值都对应于一个解 （除了常数因 子情况） 。对于已经归一化的本征函数，有

这是波函数正交性的完整表达式。

任意一个连续函数可以按本征函数展开成级数形式，其展开式为

9.2 三维情况

这种情况和一维情况的推导类似，我们先写出两个薛定谔方程

第一个方程乘以 ψ _k ，第二个方程乘以− ψ _l ，然后两式相加，得到

将方程（9.12）沿着封闭曲面 σ 所包围的三维空间 τ 进行积分， n 为曲面的外法线矢量，应用高斯-奥斯特罗格拉茨基 定理，得到

一般来说，在积分区域 τ 的边界 （即曲面 σ ）上，波函数 ψ _k →0， ψ _l →0，将其代入，我们得到

当 E _k ≠ E _l 时

如果每个能量本征值只有一个本征函数与之对应，我们称此时系统是非简并的。将本征函数归一化后，我们得到

这个关系式体现了非简并系统归一化本征函数的正交性。

9.3 简并情况

在这种情况下，我们也可以选取希尔伯特 空间中的独立基矢使得关系式成立。

需要注意的是：薛定谔方程是波动方程，是一个线性微分方程，它的解满足叠加定理，即若一系列本征函数 ψ _i 都对应于相同的本征值 E ，则由这些本征函数的线性组合所得到的函数依然是原方程的解，且对应于相同的本征值 E 。

举个例子，设

波函数 ψ ₁ 本质上不等于 ψ ₂ ，我们将 ψ ₁ 归一化为单位矢量，令

取一个中间函数，其满足

则函数 与 ψ ₁ 是正交的。下面给出证明过程

利用这些结果，我们令

等于归一化的

于是，得到了一套新的正交归一化的本征函数。

结论： 即使系统是简并的，我们依然可以且方便地以这种方式选取基矢，并满足本征函数的正交性。

类比公式（9.9），我们可以得到三维情况下的展开式

这里有几个需注意的要点：

a）一套本征函数需要满足完备性；

b）复数解在这里的作用非常关键；

c）依赖于时间的薛定谔方程的解。

完整的薛定谔方程为

哈密顿 量一般只和位置有关。我们简单地认为波函数的空间分量和时间分量是可以分离的，即

实验证明，在大多数情况下，这样的分解都是对的。将其代入薛定谔方程后，我们得到

两边同时除以 ψ ( x ) ψ ( t )，得到

令它们都等于一个常数 （记为 E ），则我们得到

上式即为定态薛定谔方程。求解方程，我们得到

所以在求解一个系统时，我们只需要求解定态薛定谔方程，用得到的解乘以上面这个含时因子，就可得到含时薛定谔方程的解。

含时薛定谔方程也是线性微分方程，故它的通解可以表示为全体特解的线性叠加，即

其中，| c _k | ² 的意义为波函数 ψ _k 出现的概率。 5uA1To8qKHCCUCbjtD1FpOPwSLJxBbWQG1c/EFvlhhA0GYWGpGbhF/0F/l5DAl52