7 中心力场

如果一个粒子的势能 U ( r )只依赖于原点到粒子的距离 r ，那么我们称“这个粒子处在中心力场 （或中心势场） 中”。在中心力场下，薛定谔方程为

取球坐标系，我们得到

将 按球函数展开，得到

将展开式代入（7.2），可以得到

利用公式（6.10），方程变为

用 乘以上式并进行积分，由于波函数满足归一化方程，我们得到

注意： 此时方程中已经没有脚标 m 。

方程（7.5）的每一个解对应于方程的 2 l +1 个解。下面我们给出一个很有用的代换式

代入方程（7.5），我们得到

不同的 l 代表不同的状态，我们用不同的字母来表示这些不同的状态

我们将在后面证明 l 正比于角动量 M 。

现在考虑中心力场中有两个有质量的粒子，它们的坐标分别为 r ₁ 和 r ₂ ，它们的相对位置为 ，此时系统的薛定谔方程为

此时的波函数是两个粒子的坐标的函数，即 。

现在我们做一个坐标代换

x 表示两个粒子的相对坐标， X 表示质心的坐标，其他坐标轴类似。在新的坐标中，我们得到

于是我们可以推出

其中， 表示折合质量。

因此，方程（7.8）变为

令方程的解为

将其代入式（7.11）并做傅里叶变换 ，我们得到

其中， ，我们称之为“折合能量”，而 表示质心的动能。现在，问题变成了一个单粒子的问题，就可以使用之前学过的知识求解了。

结论： 此处我们把粒子的坐标分解为质心坐标和相对坐标，使得两个粒子的复杂运动变为质心的运动和相对质心的运动，这和经典力学中的情况非常类似！ 5uA1To8qKHCCUCbjtD1FpOPwSLJxBbWQG1c/EFvlhhA0GYWGpGbhF/0F/l5DAl52