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在1.3 节中所简述的方法，对指标值 Z =（1，2，…）的“离散”空间与力学系统的连续状态空间 Ω （ Ω 是一个 k 维空间，其中 k 是经典力学中的自由度的数量） 之间作了类比。为实现这一类比，在形式上和数学方面有所突破并不足为奇。实际上，空间 Z 与空间 Ω 之间是截然不同的，尝试在二者之间建立联系定会遭遇到极大的困难 [1] 。
但我们所需处理的并非
Z
与
Ω
之间的关系，而是定义在这两个空间中的函数之间的关系，即在
Z
中定义的函数序列
x
1
，
x
2
，…与在
Ω
中定义的波函数
（
q
1
，…，
q
k
）之间的关系。此外，这些函数是最实质性地进入量子力学问题的实体。
一方面，在薛定谔理论中，积分
起着重要作用——为使
具有物理意义
（见 1.2 节）
，该积分的值必须等于 1。而另一方面，在矩阵理论中
（见 1.3 节中的问题
E
1
）
，向量
x
1
，
x
2
，…起着决定性作用。从希尔伯特理论层面上来说，这种本征值问题的有限条件∑
v
|
x
v
|
2
总是施加在该向量上的。排除平凡解
x
v
= 0，设正则化条件为∑
v
|
x
v
|
2
=1，也是一种习惯性做法。在
Z
或
Ω
中，这显然限制了可接受函数的集合必须具有有限的
因为只有通过这样的函数，才能使上述
或
在乘以一个常数因子后等于 1，即可在通常意义下标准化
[2]
。我们将这些函数的全体分别记作
F
z
和
F
Ω
。
现有以下定理成立：
F
z
与
F
Ω
是同构的[费歇尔（R. A. Fishcher）与里斯
[3]
］。更精确地讲，这意味着：可以在
F
z
和
F
Ω
之间建立一一对应关系，即把
有限的每个序列
x
1
，
x
2
，…与
的有限函数
（
q
1
，…，
q
k
）相对应，反之亦然。而且这种对应关系是线性与同构的。“线性”是指，若
x
1
，
x
2
，…与
（
q
1
，…，
q
k
）一一对应，且
y
1
，
y
2
，…与
（
q
1
，…，
q
k
）一一对应，则有
ax
1
，
ax
2
，…和
x
1
+
y
1
，
x
2
+
y
2
，…分别与
（
q
1
，…，
q
k
）和
（
q
1
，…，
q
k
）+
（
q
1
，…，
q
k
）一一对应；“同构”是指，若
x
1
，
x
2
，…与
（
q
1
，…，
q
k
）相互对应，那么
［“同构”一词的内涵在于，习惯性地把
x
1
，
x
2
，…和
（
q
1
，…，
q
k
）看作向量，并且认为
和
分别为它们的“长度”。]此外，若
x
1
，
x
2
，…和
y
1
，
y
2
，…分别与
（
q
1
，…，
q
k
）和
（
q
1
，…，
q
k
）相对应，则有
（且两边均为绝对收敛） 。就后者而言，结果表明：人们可能更喜欢比较一般的
或类似的东西，即加法与积分之间的完全类比。而进一步研究表明，在量子力学中，加法
与积分
仅分别用于
或
·
之类的表达式中。
我们无意探究这种对应关系是如何确立的，这将是我们在下一章中予以关注的问题。我们所要强调的是这种对应关系的存在意味着： Z 与 Ω 是很不相同的，在二者之间建立直接关系必定会导致数学上的巨大困难。另一方面， F z 与 F Ω 同构，即它们内在结构相同 （它们以不同的数学形式实现了相同的抽象性质） ，并且由于它们 （并非 Z 和 Ω 本身） 是矩阵和波动理论的真实分析基础，这种同构就意味着这两种理论所产生的数值势必始终相同。也就是说，只要这种同构使矩阵
与算子
相互对应，就会出现这种情况。由于二者均是由矩阵
与泛函算子
通过相同的代数运算分别得出的，因此仅需说明
q
l
与矩阵
相互对应，且
与矩阵
相对应就足够了。现在
，
只需满足在 1.2 节中所提到的交换法则即可
但与
相对应的矩阵均可满足这一点，因为泛函算子
具备上述性质
[4]
，且这些性质在同构变换至
F
z
时仍不会丢失。
因为系统 F z 与 F Ω 同构，且据此构建的量子力学理论在数学上是等价的，故可预期，若我们对这些函数系统 （ F z 与 F Ω 所共有） 的内在属性进行探究，并以此作为出发点，将有望获得一套统一的理论。该理论与当时偶然选取的形式框架无关，仅展示量子力学真正重要的元素。
系统 F z 通常被称为“希尔伯特空间”。因此，我们的首要问题是研究希尔伯特空间的基本属性，该属性与 F z 和 F Ω 的特殊形式无关。由这些性质 （在任何特定的情况下，这些性质均等效地通过在 F z 和 F Ω 内进行的计算来表示，但相对一般目的的计算而言，通过直接计算要比通过此类计算更为容易） 所描述的数学结构被称为“抽象希尔伯特空间”。
下面我们将描述希尔伯特空间，并严格证明以下结果：
a抽象希尔伯特空间可用它的指定属性唯一地表征，即它只承认本质上相同的认识。
b这些属性既属于 F z 也属于 F Ω （在这种情况下，我将对 1.4 节中仅做了定性讨论的属性严格分析） 。
完成上述工作后，我们将利用由此所得的数学框架来构建量子力学。
[1] 早在量子力学出现以前，E . H.穆尔（E. H. Moore）就进行过这样的统一。穆尔正是所谓的“一般分析”的创始人。
[2]
这是薛定谔理论反复观察到的事实，在波函数
的情况下，仅对
的有限性有要求。例如：只要上述积分保持是有限的，
或许可为奇异函数，也可能是无限的。针对这种情况，有一个极具启发性的例子，那就是狄拉克相对论理论中的氢原子。
[3] 在讨论希尔伯特空间的过程中，我们将给出对该定理的证明（参见 2.2节和 2.3 节，尤其是 2.2 节中的定理 5）。值得一提的是，该定理足以满足多种目的，并且极易被证实的那部分，就是 F z 和 F Ω 的适当部分之间的同构；这要归功于希尔伯特。因此，薛定谔的原始等价证明只对应于定理的这一部分。
[4] 我们有
由此，可直接从中获得所需的算子间的关系。