1.3 两种理论的等价性：变换理论

矩阵理论的基本问题在于，首先要找到矩阵 Q ₁ ，…， Q _k ， P ₁ ，…， P _k ，以满足 1.2 节 （见第 7 页） 中的提到的交换法则；其次，这些矩阵的特定函数 H （ Q ₁ ，…， Q _k ， P ₁ ，…， P _k ）可化为对角矩阵。在玻恩和若当所发表的第一篇论文中，该问题被分为两个部分：

首先，找出仅需满足交换法则的矩阵 。这一步很容易实现，但是通常来说

不是对角矩阵。于是，正解则由以下形式表达

其中， S 可以是一任意矩阵 （但 S 必须具有逆 S ^－1 ，且满足 S ^－1 S = SS ^－1 = 1） 。由于

满足交换法则，因此 Q ₁ ，…， Q _k ， P ₁ ，…， P _k 也满足交换法则 （与 S 关系等同） 。且因为

通过 转化为

H = H （ Q ₁ ，…， Q _k ， P ₁ ，…， P _k ） ^[1]

对于 S 唯一的要求是： 把给定的 转化为对角矩阵。 （当然，还需注意到 正如 等一样，都是埃尔米特矩阵。但经过仔细研究后发现，后续总能满足对 S 的这个附加条件，因此在这些初始的观察中可以不予考虑。）

总之，需要利用 ，将给定的 转化为对角阵形式。下面我们将详细地说明如何操作：

令矩阵 有元素 h _μν ，待求矩阵 S 有元素 s _μν ， （未知的） 对角矩阵 H 有对角元素 w _μ 和一般元素 w _μ δ _μν ^[2] 。现有 等同，这表明 （若将等式两边的相应元素相等同，根据我们所熟知的矩阵乘法法则） 则：

即

因此，矩阵 S （ ρ =1，2，…）的各列 s _{1 ρ} ， s _{2 ρ} ，…与矩阵 H 的相应对角线元素 w _ρ 是所谓的“本征值问题”的解，其运算如下

（平凡解 x ₁ = x ₂ = …= 0 自然排除在外。） 事实上， x _v = s _vρ ， = w _ρ 是一组解 （虽然 S 有逆 S ⁻¹ ，但对所有 v 而言， x _v ≡ 0，即 s _{v ρ} ≡ 0 是不可接受的，因为这会导致 S 的第 ρ 列全部为零从而消失） 。值得一提的是， x _v = s _vρ ， = w _ρ 其实是唯一的解。

实际上，上述等式表明：矩阵 对向量 x =｛ x ₁ ， x ₂ ，…｝的变换等于将该向量乘以常数 。我们用矩阵 S ⁻¹ 变换向量 x ={ x ₁ ， x ₂ ，…}，从而得到向量 y ={ y ₁ ， y ₂ ，…}。如果通过 H 转换 y ，则它等同于通过

转换 x 。故通过 S ⁻¹ 转换 ，其结果为 。现 H y 有分量

而 有分量 。因此，要求对所有 μ =1，2，…， 均成立，即当 时， y _μ = 0。若用 η ^ρ 记一个向量，其第 ρ 个分量为 1，其他分量为 0，则表明： y 是对应 w _ρ = λ 的那些 η ^ρ 的线性组合；否则 y = 0 。将 S 作用于 y 可得 x 值，因此它是被 S 作用过的 η ^ρ 的线性组合。 （由于 η ^ρ 的第 v 个分量是 δ _νρ ） Sη ^ρ 的第 μ 个分量是：

若把 S 的第 ρ 列， s _{1 ρ} ， s _{2 ρ} ，…视为一个向量，那么 x 是所有 w _ρ = 列的线性组合——否则视 x =0。总之，我们的原始论断得以证实： w ₁ ， w ₂ ，…是唯一的本征值，并且 x _ν = s _{ν ρ} ， = w _ρ 是唯一的解。

这点至关重要，不仅是因为 S ， H 的相关知识决定了本征值问题的所有解，而且反过来，我们在解出本征值问题后，就可以即刻确定 S ， H 。例如对 H 而言： w _μ 显然就是所有的解 λ ，并且只要有线性无关解 x ₁ ， x ₂ ，…出现时，每个这样的 λ 就会出现在序列 w ₁ ， w ₂ ，…中 ^[3] ——故此，除 w ₁ ， w ₂ ，…的排列顺序尚未确定外，其余均已确定 ^[4] 。

借此，矩阵理论的基本问题就是本征值方程的求解问题。

接下来，让我们继续探讨波动理论。该理论的基本方程是波动方程。

其中， H 是已经讨论过的微分算子——我们寻求所有的解 与 λ ，但不考虑平凡解 （ q ₁ ，…， q _k ）≡0， λ 任意。这与 E ₁ 的要求相类似：我们可将序列 x ₁ ， x ₂ ，…看作有“离散”变量 v （其变量值为 1，2，…） 的函数 x _v ，使之与具有“连续”变量 q ₁ ，…， q _k 的函数 相对应； λ 在两种情况下的作用相同。然而，线性变化

与

几乎没有相似之处，如何将两者作类比呢？

我们将指标 v 视为变量，并将其与 k 个变量 q ₁ ，…， q _k 相对应起来，即将该指标视为在 k 维构型空间 （以下记为 Ω ） 中由正整数确定的一般的点。因此，我们不应该指望 能够转化为 Ω 中的一个和，反而更应该期望积分 （更简洁地表示为 ，其中 d v 是 Ω 中的体积元素 d q ₁ …d q _k ） 是一种正确的类比。矩阵元素 h _μν 是由指标ν类型的两个变量决定的，其对应的函数为 h （ q ₁ ，…， q _k ； …， ，其中 q ₁ ，…， q _k 和 …， 在整个 Ω 空间中独立取值。然后变换

就成为

并且对于本征值问题 E ₁ ，我们也可以写为：

由此得到

数学领域曾经对 E ₃ 这类的本征值问题进行过广泛的研究，并且该类问题实际上可以通过类比问题 E ₁ 来处理。这就是“积分方程” 。

但遗憾的是， E ₂ 并不存在这种形式。或者更确切地说，只有当微分算子

能找到函数 h （ q ₁ ，…， q _k ； q' ₁ ，…， q' _k ），使得

对所有 恒成立时，才能将其代入这种形式。这个 q ₁ ，…， q _k ； q' ₁ ，…， q' _k 如若存在，就称之为泛函算子 H 的“核”（kerenl），而 H 本身则称为“积分算子”。

上述变换一般不可能发生，即微分算子 H 绝非积分算子。即便是最简单的泛函算子 （该算子被称为 1，且它并不是数字 1） ，把每一个 都变换成其本身，也不是这样的变换。让我们来说明以上论点。简单起见，取 k = 1，并设

我们用 代替 （ q ），设 q = 0，并引入积分变量 q" = q' + q ₀ 。那么

如若用 q ， q ' 代替 q ₀ ， q" ，那么会看到 h （0， q' － q ）和 h （ q ， q' ）解决了我们的问题。因此，我们可以假设 h （ q ， q' ）只取决于 q' － q 。于是上述要求变为

再次用 代替 ，仅需考虑 q = 0 的情况，即

把 （ q ）替换为 （－ q ），可见 h （－ q ）与 h （ q ）都是 的解，因此

也是一个解。因此， h （ q ）可以被视为变量 q 的偶函数。

显然，这些条件是不可能同时满足的。如果我们选择 q ≠0， 及 （0）=0，则由 可知，对于 q ≠0， h （ q ）=0，这引发了矛盾 ^[5] 。但若我们选择 （ q ）≡1，则有

而由上可直接得到矛盾的结果 。

尽管如此，狄拉克假仍设存在这样一个函数

δ （ q ）=0，对 q ≠0， ， 这意味着 可写作：

故 和 也成立。因此，我们应认为该函数在原点之外的任何地方均为 0，且在原点处具有强烈的无限性，使 δ （ q ）在整条直线上的积分为 1 ^[6] 。

如果我们一旦接受了这个构想，就有可能把最多样化的微分算子表示为积分算子。前提是，除函数 δ （ q ）以外，我们还引入其导数。则我们有

即 与 q ⁿ 的核分别是 δ ^{（ n ）} （ q － q' ）与 δ （ q － q' ） q ⁿ 。根据同样的方式，我们可以对相当复杂的微分算子的核进行研究。对于多变量 q ₁ ，…， q _k ， δ 函数导致结果

等等。

因此，在实践中，所有算子均可以通过积分表示 I。

只要我们有了这一表示，问题 E ₁ 与 E ₃ 的类比就完成了。我们仅需用 q ₁ ，…， q _k ； q' ₁ ，… q' _k ； 来替换 v ； v' ； ； x 即可。就像向量 x _v 对应于函数 o （ q ₁ ，…， q _k ），核 h （ q ₁ ，…， q _k ； q' ₁ ，…， q' _k ）必然对应于矩阵 h _{vv '} 。而更行之有效的方法是将核本身看作矩阵，继而可将 q ₁ ，…， q _k 看作行指数，把 q' ₁ ，…， q' _k 看作列指数，分别与 v 和 v' 相对应。除由数字 1，2，…编码的离散行域与列域的普通矩阵{ h _{vv '} }外，我们还需要处理{ h （ q ₁ ，…， q _k ； q' ₁ ，…， q' _k ）} （积分核） 矩阵，其两个定义域均由 k 个变量表征，在整个 Ω 中连续变化。

上述类比看起来似乎完全是形式上的类比，但事实并非如此。指标 v 和 v' 也可被看作状态空间中的坐标，也就是将其视为量子数 （玻尔理论认为：由于量子条件的限制，相空间中可能存在的轨道数量是离散的） 。

至此，我们将不再追寻这一思路继续探究，狄拉克和若尔当已就此思路打造出一套统一的量子过程理论。“反常”函数 [诸如： δ （ x ）， δ' （ x ）] 在该发展过程中起着决定性作用。它们已经超出了通常使用的数学方法的范畴，而我们希望借助这些方法来描述量子力学。因此，我们转向统一了这两种理论的第三种 （薛定谔） 方法。

[1] 由于 S ^－1 ·1· S =1， S ^－1 · aA · S = a · S ^－1 AS ， S ^－1 ·（ A+B ）· S = S ^－1 AS+S ^－1 BS ， S ^－1 · AB · S = S ^－1 AS · S ^－1 BS ，因此 1，对于每个矩阵多项式 P （ A ， B ，…）有

如若我们选择交换关系的左边为 P ，那么可以借此得到它们的不变性；如若我们选择 H ，那么我们将得到 。

[2] δ _μν 是众所周知的克罗内克符号；当 μ=v 时， δ _μv =1；当 μ ≠ v 时， δ _μv =0。

[3] S 的第 ρ 列， s _{1 ρ} ， s _{2 ρ} ，…连同 w _ρ = λ 形成了一套完整的解集，并且作为具有逆矩阵的列，它们必须是线性无关的。

[4] 由于 S 各列的任意置换，以及 S ⁻¹ 各行的相应排列， H 的对角线元素以相同的方式置换， w ₁ ， w ₂ ，…的次序实际上是不确定的。

[5] 更确切地说，如果我们以勒贝格积分概念为基础，则对 q ≠0 ，除了一个测度为 0 的集合外， h （ q ）=0，即除了这样的一个集合外， h （ q ）=0 恒成立。

[6] 对于位于 q =0的点， δ （ q ）曲线以下的面积被视为无限狭长且无限高的，其面积为一个单位。这或许可以被看作函数 在（ a →∞）范围内的极限形态，但这仍是不可能的。 5mJ8ISoNj1jF1wAiogSwGu0UjqX0dN8J6/vOXo4f9wnRQ1QDSKXmmn9sphAy3xR5