序言

本书旨在以一种统一的形式来呈现新量子力学，力求集各种可能性、实用性为一体，并在数学上具有严谨性。近年来，这种新量子力学的基础部分已经形成了一种确定的形式，即所谓的“变换理论”。因此，本书将把重点放在与该理论相关的一般问题和基本问题上。特别需要关注的是对那些难题的诠释，其中许多问题至今尚未得到完全解决，仍有待深入研究。在这种情况下，量子力学与统计学，以及与经典统计力学之间的关系就显得尤为重要。但我们通常不讨论量子力学的方法在具体问题上的应用，也不讨论由一般理论推导出的特殊理论——至少这么做不会影响对一般关系的理解。这样看来是更加可取的，因为解决这些问题的几种优秀方法，不是在刊载印刷过程中，就是已经在出版发行的过程中 ^[1] 。

此外，本书将对该理论所需的数学工具予以介绍，即希尔伯特空间理论，以及所谓的埃尔米特算子。为此，还需要对无界算子进行准确细致的介绍，即将理论扩展到其经典限制以外[无界算子由希尔伯特（David Hilbert），赫林格（Ernst Hellinger），里斯（Frigyes Riesz），施密特（Erhard Schmidt）和特普利茨（Otto Toeplitz）共同发展]。有关该模式中所采用的方法，可作如下说明：作为规定，运算应该使用算子本身（代表相应的物理量）进行，而非通过矩阵进行。矩阵是通过在希尔伯特空间中引入一个（特殊且任意的）坐标系之后，由算子产生的。这种“不依赖于坐标”的方法（即不变量方法），因其强烈的几何语言特征，而具有明显的形式优势。

□ 埃尔米特

夏尔·埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901），法国数学家，因证明e是超越数而闻名。研究领域涉及数论、线性泛函分析、不变量理论、正交多项式、埃尔米特多项式等。其关于内积空间中埃尔米特算子（自伴算子）富有趣味的理论成为了半个世纪后兴起的量子力学研究的代数工具。“埃尔米特算子可与实数类比，其特征值一定是实数”这一基础性质，是量子力学必须引用自伴算子来表达可观测物理量的最大原因。

狄拉克（Paul Dirac）在其几篇论文以及近期出版的著作中，已经对量子力学作过表述。该表述在简洁性与优雅性方面几乎无人能超越，同时还兼具了不变性。但是我们的方法与狄拉克的方法相比，存在着很大差异。因此，在此就我们的方法提出一些论点并予以阐释。

上文提及的狄拉克方法（其理论清晰、表述优雅，但现如今大部分量子力学的文献都忽略了这一点），并不符合数学严谨性的要求。即便把这些方法进行自然且适当的约化，使其达到在理论物理学其他方面也司空见惯的程度，该方法仍不满足数学的严谨性。例如，该方法遵循以下构想：每个自伴随算子均可以化为对角线形式。而对于那些实际上并非如此的算子，需要引入具有自相矛盾特性的“非正常”函数。在狄拉克方法中，通常必须插入这样一种数学“虚构”，即便要解决的问题只是对已有明确定义的实验结果进行数值上的计算，也必须插入该“虚构”。如果这些概念——从本质上来讲对物理理论是必要的，只是尚不能纳入当今的分析框架，那么在此也毫无异议。因此，就好像在牛顿力学首先带来无穷小微积分的发展时，其原始形式无疑是不自洽的，所以量子力学可能也会为我们的“无穷多变量分析”提出一种新的结构——也就是说，必须改变的是数学技巧，而不是物理理论。更应该指出的是，量子力学的“变换理论”可以同样以清晰、统一的方式构建，而不存在任何数学上的异义。需要强调的是，正确的结构不在于对狄拉克方法作数学上的改进与解释，而需要从一开始就采用完全不同的步骤，即以希尔伯特算子理论为基础。

在对基本问题的分析中，将展示如何从一些定性的基本假设中推导出量子力学的统计公式。此外，在我们对本质的描述中还将详细讨论，是否有可能将量子力学的统计特征追溯至“模棱两可”（即不完全性）的程度。事实上，这种解释是一般性原则的自然伴随物，即每个概率陈述都源于我们知识的不完整性。这种基于“隐参数”的解释，以及与之相关的另一种将“隐参数”归因于观察者而不是被观察系统的解释，已被提及多次了。但这似乎很难以令人满意的方式为人们所接受，或者更准确地说，这种解释与量子力学的某些定性的基本假设不兼容。

本书还考虑了统计学与热力学之间的关系。更深入的研究表明，众所周知的经典力学的困难与热力学基础所必需的“无序”假设有关，而应用本方法可消除这一困难。

[1] 除此之外，还有以下的综合性著作：Sommerfeld， Supplement to the 4th edition of Atombau and Spektrallinien ，Braunschweig，1928；Weyl， The Theory of Groups and Quantum Mechanics （translated by H. P. Robertson），London，1931；Frenkel， Wave Machanics ，Oxford，1932；Born and Jordan， Elementare Quantenmechanik ，Berlin，1930；Dirac， The Principles of Quantum Mechanics ，2nd ed.，Oxford，1936。