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到目前为止，我们已经积累了足够的知识，可以在抽象希尔伯特空间中对量子力学中一个重要核心问题进行探讨，也就是其与特殊情况 F z 和 F Ω 之间的关系：分别对 1.3 节中的方程 E 1 和 E 2 求解。我们称之为“本征值问题”，而且我们必须以统一的方式重新对其进行处理。
在1.3 节中，问题 E 1 和 E 2 都要求找到方程
在
时的所有解。其中，
H
是对应于哈密顿函数的埃尔米特算子
（见 1.3节中的讨论）
，
是希尔伯特空间中的一个元素，
λ
是一个实数
（其中，
H
已经给定，
，
λ
待定）
。但是，与之相关的是，对所求解的数量提出了某些要求。我们需要得出这样的个数，以使
a 在矩阵理论中，矩阵 S ={ S µ ν }可由以下解
= {
S
11
，
S
21
，…}，
= {
S
12
，
S
22
，…}，…
构成 （我们在 F z ！中） ，且具有逆 S －1 （见 1.3 节） ；
b 在波动理论中，每个波函数 （不一定必须是解） 都可以展开为系列解
（
q
1
，…，
q
f
），
（
q
1
，…，
q
f
），…
（其中
，…可能属于不同的
λ
）
的一个级数
（1.3 节中没有提及后一种情况，但是这一要求对于波动理论的进一步发展是必不可少的，尤其是对于薛定谔的“摄动理论”。）
现在 a与 b所表示的是相同的东西，因为矩阵 S 把{ 1，0，0，…}，{ 0，1，0，…}，…分别转换为
{ S 11 ， S 21 ， S 31 ，…}，{ S 12 ， S 22 ， S 32 ，…}，…
且因此，整个希尔伯特空间
就变成了由
，…所张成的闭线性流形。因此，为了使
S
－1
存在，后者也必须等于
。但是 b所阐明的也是同一件事：它还要求每个
能通过
，…的线性组合近似至任意精确度
。让我们明确该条件的重要性，并且应用我们所掌握的正式手段，再次证明方程
E
的属性。
首先，因为要求
≠0，并且如果
为解，则
也为解，所以只需考虑
的解就足够了。其次，我们不必要求
λ
为实数，因为这可以由
=
得到
（见 2.5 节定义 9 的注释）
。最后，属于不同
λ
1
，
λ
2
的解
相互正交
（
）=
λ
1
（
），（
）=（
）=
λ
2
（
）
因为
λ
1
（
）=
λ
2
（
），以及
λ
1
≠
λ
2
，所以（
）= 0。
现在设
λ
1
，
λ
1
，…是对
E
可解的
λ
全体，且互不相同
（如果我们为每个
选择一个绝对值为 1 的解
，其中方程
可解，那么基于前文所述的原因，所有的
将构成一个标准正交系。根据 2.3 节中的定理 3
（∞）
，该系统是一个有限或无限序列。因此，我们也可以把
λ
写成一个序列，该序列可终止也可不终止）
。对于每个
λ
=
λ
ρ
，
的所有解将构成一个线性流形，实为一个闭线性流形
[1]
。根据定理 9，由存在这样的解的标准正交系
，…，
，张成了该闭线性流形。数量
v
ρ
显然是
λ
=
λ
ρ
线性无关解的最大数目，我们称之为本征值
λ
ρ
的“重数”
（
v
= 1，2，…，∞；例如，对于
H
= 1，
λ
= 1，可能出现
v
=∞）
。根据前文的讨论，两个不同
ρ
的
，…，
也是相互正交的。因此由
（
ρ
=1，2，…；
v
=1，…，
v
ρ
）
的全体也构成一个标准正交系。由
的起源可见，我们认识到它与
E
的所有解
一样，张成相同的闭线性流形。
我们将
按任意顺序编号为
，
，…，并且令与之对应的
λ
ρ
排列为
λ
（1）
，
λ
（2）
，…。前文所述的公式化的条件是作为一个闭线性流形，
E
的所有解均可以张成
。这就表明
，
，…
（解的一个子集！）
也必定如此。因此，根据定理 7，该标准正交系是完全的。
因此，从量子力学的意义来看，求解本征值问题的关键在于，对方程 E 能够找到足够数量的解
=
，
，…和
λ
=
λ
1
，
λ
2
，…
使得通过这些解可以构成一个完全的标准正交系。但这通常是不可能实现的。例如，在波动理论中，我们将看到由方程 E 的解组成的集合中所包含的某一特定子集 （即在 1.3 节中提及的 E 2 ） 。我们需要借助子集中的全体元素，并通过这些解来展开每个波函数 （见上文） ——不存在对绝对值平方的有限积分值。因此，它不属于希尔伯特空间。进而可知，在希尔伯特空间中，并不存在一个完全的标准正交系集 （且我们只在 E 中考虑希尔伯特空间！） 。
另一方面，本征值问题的希尔伯特理论表明，这种现象根本不能代表算子
（甚至连续算子）
的例外行为。
因此，我们必须对它发生时所导致的情况进行分析
（我们将很快看到这在物理上意味着什么，见 3.3 节）
。如果这一情况发生，即若由
E
的解中选择出的标准正交系是不完全的，那么我们则说存在
H
的“连续谱”
（
λ
1
，
λ
2
，…构成
H
的“点”或“离散”谱）。
由于 E 失效，我们下一个要处理的问题就是，找出表达埃尔米特算子本征值问题的公式，并将其应用于量子力学之中。那么，我们首先要给出一个关于本征值问题的方程，该方程必须遵循希尔伯特所设置的模式，然后我们再对该方程加以说明。
[1] 后者仅适用于处处有定义的连续 H ，这是显而易见的，无须做进一步的探讨，即由 f n → f 可以得到 Hf n → Hf 。此外，以下更加局限的性质也是其结果之一：由 f n → f ， Hf n → f * 可知 Hf = f * ，这是显而易见的（这就是所谓的 H 的闭包）。这总能被量子力学的算子所满足，即便是不连续的算子也能满足；一个不封闭的埃尔米特算子，可以通过其定义域的唯一扩张成为（埃尔米特）封闭的算子（但连续性不包括在这种情况中）。