2.5 希尔伯特空间中的算子

我们已经对无限多维的 （希尔伯特） 空间 中的几何关系进行了充分的探讨，现在我们将把注意力转向其线性算子——空间 在其自身上的线性映射。为此，我们需要引入一些概念，实际上前几个章节已经对这些概念做了一定程度的铺垫。

对该部分所涉及的算子，我们给出如下定义 （与前文定理 11 给出的陈述相一致） 。

定义 6 算子 R 是定义在 的子集上的函数，其值取自 ，即在 中的某些元素 f 与 中的另一些元素 Rf 之间建立的对应关系。

除承认 以外，我们也承认 。需要注意的是，如果 是一个 F _Ω ，那么算子 R 是为 F _Ω 的元素而定义的，即普通的构型空间函数，其取值也是同样定义的。于是这些算子被称为“函数的函数”或“泛函” （见 1.2 节，1.4 节中的例子） 。定义了 Rf 的 f 的类，即 R 的定义域，不必包含整个 ，但若其定义域为 ，则称 R “处处有定义”。此外，所有 Rf 的集合，即 R 的值域（ R 作用在定义域上的全体映射），不一定必须包含在 R 的定义域之内。也就是说，如果 Rf 有意义，那么也不一定能得出 R （ Rf ）= R ² f 。 ^[1]

在上一节中，我们已经对 R ± S ， aR ， RS ， R ^m （ R ， S 均为算子， a 为复数， m = 0，1，2，…） 的意义作了说明。

（ R ± S ） f = Rf ± Sf ，（ aR ） f = a · Rf ，（ RS ） f = R （ Sf ）

R ⁰ = 1， R ¹ = R ， R ² = RR ， R ³ = RRR ，…

在确定这些算子的定义域时，应注意，仅当右边有定义时，左边 （算子 R v S ， aR ， RS ） 才有定义。因此，例如 R ± S 仅在 R 与 S 定义域的公共部分才有定义，等等。如果 Rf 对于每个 f 是单值的，则 R 具有逆 R ^－1 ：若 Rg = f 有一个解 g ，则 R ^－1 有定义，且其值为 g 。在前面几节中，我们已经对 R ± S ， aR ， RS 的相关计算定律的有效性进行了讨论，在这里我们只对它们的定义域问题加以探讨。那些被定义为相等的算子，其定义域相同，而算子方程在这些定义域中并不适用，诸如：0· R = 0。0 f 恒有意义，但根据定义，仅当 Rf 有定义时，（0· R ） f 才有意义 （但如果两者都有定义，则两者都 = 0） 。此外， I · R = R · I = R 成立，且 R ^m · R ^l = R ^m+l 也成立，则对于其定义域也同样成立。

若 R ， S 均有逆，则 RS 也有逆，那么显而易见有（ RS ） ^－1 = S ^－1 R ^－1 。此外，若 a ≠0，则 ，若存在 R ^－1 ，我们也可以形成 R 的其他负幂

R ^－2 = R ^－1 R ^－1 ， R ^－3 = R ^－1 R ^－1 R ^－1 ，…

基于前文的一般论述，我们将继续对那些特殊类别的算子进行更为详细的研究。这些特殊类别的算子在应用中极为重要。

定义 7 若算子 A 的定义域是线性流形，则称“算子 A 为线性的”，即若 A 包含 a ₁ f ₁ +…+ a _k f _k 以及 f ₁ ，…， f _k ，并且使以下等式成立

在以下讨论中，我们将只考虑线性算子，或更确切地说，只考虑那些定义域处处稠密的线性算子。

出于多种目的，在量子力学中我们必须放弃算子处处有意义的这项要求。而上述后一种仅要求定义域处处稠密的说法，为我们提供了一个充分的替代条件，可用来取代算子需处处有意义的这项要求。这种情况至关重要，我们有必要予以更为详细的探讨。例如：让我们对薛定谔波动力学中的构型空间予以探讨，为简单起见，取一维空间：－∞ <q< ∞。波函数为 （ q ），且

有界。这些波函数就构成了一个希尔伯特空间 （见 2.3 节） 。我们还考虑了算子 q …和 …，它们显然是线性算子，但它们的定义域不是整个希尔伯特空间。算子 q …有所不同，因为即便

是有限的，积分

也很有可能变成无限的。因此 （ q ）不再位于希尔伯特空间中。对于 而言，也有所不同，因为存在不可微函数，对它们而言，即便

有限，

也不是有限的 （例如： 或 ） 。但其定义域是处处稠密的。当然这两个算子都适用于每个 （ q ），其中 （ q ）≠0，处于有限区间－ c ≤ q ≤ c 中，且处处可连续微分；该函数集合是处处稠密的。 ^[2]

我们作出进一步的定义：

定义 8 如果两个算子 A 和 A ^* 具有相同的定义域，并且在该定义域内有

则称这两个算子为“伴随算子”。

（通过交换 f ， g ，并对等式两边取复共轭，便可从一个关系式推导出另外一个。此外， A ， A ^* 明显是对称关系，即 A ， A ^* 之间也是相互伴随的，所以有 A ^** = A 。）

我们进一步注意到，对于每个 A 只能给出一个伴随的 A ^* ，即若 A 与 A ₁ ^* 伴随，且 A 与 A _{2 *} 伴随，则有 A ₁ ^* = A ₂ ^* 。事实上，对于所有 Ag 中有定义的 g ，有

并且由于 g 为处处稠密，所以有 A ₁ ^* f = A ₂ ^* f 。由于上式通常成立，所以有 A ₁ ^* = A ₂ ^* 。因此，正如 A ^* 唯一地确定 A 那样， A 唯一地确定了 A ^* 。

可以随即得出以下结论：一般来说，0，1 以及所有的投影算子 E 都是自伴的 （见定理 12） ，即 0 ^* ，1 ^* ， E ^* 存在，且分别等于 0，1， E 。此外， 。一般只要可以构成 A ± B （即它们的定义域处处稠密） ，就有（ A ± B ） ^* = A ^* ± B ^* 。最后，对定义域的限制易于确定，可得（ AB ） ^* = B ^* A ^* ［因为（ ABf ， g ）=（ Bf ， A ^* g ）=（ f ， BA ^* g ）］，以及（ A ^－1 ） ^* =（ A ^* ） ^－1 ［由（ A ^－1 f ， g ）=［ A ^－1 f ， A ^* （ A ^* ） ^－1 g ］=［ AA ^－1 f ，（ A ^* ） ^－1 g ］=（ f ，（ A ^* ） ^－1 g ）而得］ 。

□ 薛定谔方程

如果知道某一时刻的波函数，就能利用薛定谔方程计算在过去或将来任一时刻的波函数。由于微积分的诞生，物理学中涉及运动与变化的计算变得容易。

特别是在薛定谔提出的波动力学里 （我们在前面考虑过，但在这里我们将假设一个 k 维的构型空间） ，希尔伯特空间是由波函数 （ q ₁ ，…， q _k ）组成的，且积分

是有限的。对算子 q _l 和 而言，恒有以下关系式成立

因为

所以前面的关系式是明显成立的。

而后面的关系式则意味着

即

极限必定存在，因为所有积分

的收敛性是确定的 （因为 ， ， 属于希尔伯特空间） ，所以只有它为零的情况才是最重要的。若它不等于 0，则 （肯定存在） 极限

在 q _l →+∞或 q _l →－∞时≠0，该积分与下列积分

的绝对收敛性 （ ， 属于希尔伯特空间！） 是不相容的。

如果 A 是积分算子，则有

那么可以直接得到以下内容： A ^* 也是一个积分算子，但 A ^* 的核不是

而是

现在让我们对矩阵理论中的情况加以考虑，其中的希尔伯特空间是由使得 有限的所有序列 x ₁ ， x ₂ ，…组成的，且线性算子 A 将{ x ₁ ， x ₂ ，…}转换为{ y ₁ ， y ₂ ，…}，即

A { x ₁ ， x ₂ ，…}= { y ₁ ， y ₂ ，…}

由于 A 是线性的， y ₁ ， y ₂ ，…必定与 x ₁ ， x ₂ ，…线性相关

因此， A 由矩阵 a _µν 表征。我们即刻可见矩阵 （复共轭转置矩阵！） 属于 A ^* 。 ^[3]

与刚刚发展起来的矩阵理论中的情况相类似，我们用下文方式引入埃尔米特算子的概念。同时，我们还将介绍另外两个概念，这两个概念对我们以后的研究至关重要。

定义 9 若 A ^* = A ，则称算子 A 为“埃尔米特算子”。若（ Af ， f ）≥ 0恒成立 ^[4] ，则 A 也可称为“定号算子”。若 UU ^* = U ^* U = I 则称算子 U 为“幺正算子”。

对于幺正算子，我们有 U ^* = U ^－1 。根据定义

（ Uf ， Ug ）=（ U ^* Uf ， g ）=（ f ， g ）

因此，特别（对 f = g ）有 成立。相反，若 U 处处有定义，并且遍历取值，则从后一个属性中可以推导出幺正属性。兹证明如下：

首先，假设 成立，即（ Uf ， Uf ）=（ f ， f ），（ U ^* Uf ， f ）=（ f ， f ）。若我们用 代替 f ，再用 代替 f ，并把得到的结果相减，则通过计算，我们可以很容易得到 Re（ Uf ， Ug ）= Re（ f ， g ）。若我们用 i· f 代替 f ，则代替 Re 我们得到 Im。因此一般而言，下列等式

恒成立。对于固定的 f ，上述公式对所有 g 成立，因此有 U ^* Uf = f 。由于该公式对所有 f 均成立，那么 U ^* U = 1。我们还需要证明 UU ^* = 1。对于每个 f 都有一个 g ，且 g 满足 Ug = f ，则有 UU ^* f = UU ^* · Ug = U · U ^* Ug = Ug = f ，因此 UU ^* = 1。

因为线性性质

每个幺正算子均为连续的，而这对于埃尔米特算子来说是完全没有必要的。例如，对量子力学至关重要的算子 q 和 ，都是不连续的 ^[5] 。

根据前面所述的有关 A ^* 的计算规则，我们随即可知，若 U ， V 是幺正算子，则 U ^－1 ， UV 也是幺正算子。因此 U 的所有乘幂也是幺正算子。一方面，如果 A ， B 是埃尔米特算子，则 A ± B 也是埃尔米特算子。另一方面，仅当 a 为实数时， aA 是埃尔米特算子 （ A = 0 除外） ，且仅当 A ， B 可对易，即 AB = BA 时， AB 才是埃尔米特算子。此外，我们知道的所有投影算子 （特别是 0，1） 均为埃尔米特算子。薛定谔理论中的算子 q ₁ 和 也都是埃尔米特算子。 A 的所有乘幂也是埃尔米特算子 （如若 A ^－1 存在，亦然） ，且所有具有实系数的多项式也是埃尔米特算子。值得注意的是，对于埃尔米特算子 A 和任意算子 X ， XAX ^* ，也是埃尔米特算子

（ XAX ^* ） ^* = X ^** A ^* X ^* = XAX ^*

因此，例如，所有 XX ^* （ A = 1）与 X ^* X （ X ^* 代替 X ） 都是埃尔米特算子。幺正算子 U ， UAU ^－1 是埃尔米特算子，因为 U ^－1 = U ^* 。

算子的连续性，就像分析中所处理的数值函数的连续性一样，是一个具有基本重要性的属性。因此，我们想对其在线性算子的情况下存在的几个特征进行说明。

定理 18 若线性算子 R 在点 f = 0 处是连续的，则其为处处连续。 R 在点 f = 0 处连续的充分必要条件是：存在一个常数 C ，一般能够使 成立。反过来，这个条件等价于

仅当 f = g 时，埃尔米特算子 R 才需要满足： ，或者因（ Rf ， f ）为实数：

注：算子的连续性概念起源于希尔伯特。他称连续性为“有界性”，并通过上述倒数第二个标准对其进行定义。若在最后一项标准中仅有一个“≤”通常有效，那么则称 R “半有界”：向上 （半有界） 或向下 （半有界） 。例如，每个定号的 R 是向下半有界的 （其中 C =0） 。

证明 算子 R 在 f = 0 的连续性表明，对于每个 ε ＞ 0，都存在一个 δ ＞ 0，使得由 可以推出 。然后，由 可知， ，即对于 f = f ₀ ， R 也是连续的，因此 R 为处处连续。

如果 （当然 C >0） ，则我们可得出连续性，因为可取 。相反，如果 R 存在连续性，则我们可以确定 ε =1 时的 δ ，并设 于是有

对于 f ≠0 恒成立；对于 f ≠0，我们有 ，可以引入

在这种情况下有 ，且因此

由 可以推出

相反，若我们设 g = Rf ，因此有 ，则由 我们可得到 。对于埃尔米特算子 R ，仍需要证明 导致了 。用 和 代替 f 给出 ^[6]

我们现在用 代替 f ， g ，正如在定理 1 中所证明的那样，右边项的极小化得到 。然后，把 f 替换为 e ^{i αf} （ α 为实数） ，给出左边项的最大值

当然，该关系式仅在对 Rg 有定义的情况下才有效，但因为这些 g 是处处稠密的，并且 Rg 不再出现于最终结果中，这一点通常因为连续性而成立。

我们再证明另一个关于定号算子的定理。

定理 19 若 R 为埃尔米特算子，且为定号算子，那么则有

由（ Rf ， f ）=0，然后得出 Rf =0。

证明 上述不等式可由（ Rf ， f ）≥ 0 （定号性！） 的一般有效性推出，正如施瓦茨不等式

曾在定理 1 中对（ f ， f ）≥ 0 的导出时得以证明。若现在（ Rf ， f ）= 0，则由此不等式也可得出若 Rg 有定义，则也有（ Rf ， g ）= 0。所以它适用于处处稠密的 g 集合。因此，由于连续性，其适用于所有 g ，那么则有 Rf =0。

最后，我们要考虑一个重要概念，那就是 R 与 S 两算子的可对易性概念，即关系式 RS = SR 。

由 RS = SR 可知

S … SSR = S … SRS = S … RSS =…= RS … SS

即 R ， S ⁿ 可对易（ n = 1，2，…）。由于 R ₁ = 1 R = R 且 S ⁰ =1，因此对于 n = 0也成立。若 S ^－1 存在，则有 S ^－1 · SR · S ^－1 = S ^－1 · RSS ^－1 ，又因为

S ^－1 · SR·S ^－1 = S ^－1 S·RS ^－1 = RS ^－1

S ^－1 · RS · S ^－1 = S ^－1 R · SS ^－1 = S ^－1 R

且因此又有 RS ^－1 = S ^－1 R 。所以， n =－1 以及因此 n =－2，－3，…也都是容许的。也就是说， R 与 S 的所有乘幂可对易。对其反复应用可知， R 的每个乘幂均与 S 的每个乘幂可对易。若 R 与 S ， T 可对易，那么它显然与所有的 aS 可对易，并且也与所有的 S ± T ， ST 可对易。综上所述可知，若 R ， S 可对易，那么 R 的所有多项式与 S 的所有多项式均可对易。特别是当 R = S 时， R 的所有多项式彼此可对易。

[1] 例如，设 是一个 F _Ω ，其中 Ω 是所有实数 x ，－∞ <x< ∞的空间。 是一个泛函，即一个算子，但从我们所说的意义上讲，只对满足如下条件的 f （ x ）进行定义。首先，它是可以微分的；其次，

有限（参见2.8节中更为详细的探讨）。
一般来说

自然是不存在的，并且

也不一定是有限的。例如：

就是以这样的方式存在。

[2] 根据2.3节中的陈述（参见条件 E 部分的讨论），若我们可以任意近似以下函数的所有线性组合：在由有限个区间组成的集合中， f （ x ）=1，在其他区间， f （ x ）=0，则其为充分条件。若我们可以分别地近似这些函数中的每一个，则其为可能。若我们可以对那些具有单个单位区间（其他函数是此类函数的总和）的函数执行相同的操作，则这又是可能的。例如：设区间为 a<x<b 。函数

实际上满足了我们对正则性的要求，并且当 ε 足够小时，可以任意地近似于给定函数。

[3] 这种考虑并不严谨，因为它在无限和的情况下应用了线性性质等。但该情形可完善如下：设 ， ，…为一个完全正交集， A ， A ^* 为伴随算子。令

则有

根据定理7c

如果再设 ，则我们将得到正文中的公式 并且其绝对收敛性是有保证的。

在序列 x ₁ ， x ₂ ，…的希尔伯特空间中，序列 =1，0，0，…； =0，1，0，…；…形成了一个完整的标准正交系（这很容易看出）。对 f = { x ₁ ， x ₂ ，…}，是 ；对 Af = { y ₁ ， y ₂ ，…}，是 。这样就与正文部分完全一致。

若对 A ^* 构成 a ^* _μv ，则我们可以看到

[4] （ Af ， f ）在任何情况下都是实数，因为 。

[5] 对于给定的 ， 以及 都可以任意大。例如，取 ，这三个积分都是有限的（ b ＞ 0 ！），但是分别正比于 ， ， ，因此，可以任意指定其中的两个值。

[6] R 的埃尔米特特性对于简化

是重要的（在第三步）。 7NQso65Q/vba2acoymohUe+QlzYyumPrPHUn319Sexu9M2KB7XZtFiAMq8y6GLYq