2.4 闭线性流形

2.2 节对我们而言至关重要，不仅因为该节对同构的证明，还因为该节对关于正交系的几个定理也进行了证明。现在我们想对希尔伯特空间的几何分析进行深入探究，并对闭线性流形进行详细研究。闭线性流形在 中所起的作用，与直线、平面等在 （即 ， m ≤ n ） 中所起的作用相类似。

我们首先回顾一下在定义 2 与定义 5 中所引入的记法：若 为 中的任意子集，则 表示由 张成的线性流形， 表示由 张成的闭线性流形，即包含 在内的两种最小表示的类型。

现在我们对这种记法进行扩展，将{ …， f ， g ，…}或[ …， f ， g ，…]分别理解成由 ，…和 f ， g ，…组合形成的集合所张成的线性流形或闭线性流形 （假定 ，…为 中任意子集， f ， g ，…为 中元素） 。

特别地，当 ，… （数量有限或无限） 是闭线性流形时，那么我们将闭线性流形[ ，…]记为 + …。而线性流形{ ，…}显然是由所有 f + g + … （ f 在 中遍取值， g 在 中遍取值） 的和组成的。而[ ，…]= + …是通过添加极限点而获得的。若只存在集合 和 ，其元素数量有限，且两集合中的每个元素均相互正交，则随后可知，这两种表示法是相对等的，但在一般情况下未必如此。

如果 是 的子集，那么我们要考虑 中所有与 的全部元素正交的那些元素。这显然也是一个闭线性流形，记为 。定理 14 将解释为什么用减法表示的原因。集合 包含所有 f ，且与整个 正交，因此其具有特殊的重要性。可将 称为“闭线性流形 的补”。

最后，我们选择了三个特别简单的闭线性流形：第一个是 本身；第二个是集合{ 0 }=[0]，仅由零组成；第三个是由所有 af 组成的集合 （ f 是 中的给定元素， a 是变量） ，该集合显然是一个闭线性流形，因此它等于{ f }的同时，也等于[ f ]。

下面我们来介绍一下“投影算子”的概念。这一概念与欧几里得几何中使用的那个术语完全类似。

定理 10 设 为一个闭线性流形，则对于每个 f 而言，有且仅有一种方式将 f 分解为两个分量之和 f = g + h ：其中 g 属于 ，而 h 属于 － 。

注：我们称 g 为“ f 在 中的投影”， h （与所有 正交） 是从 f 到 的垂线 （法线） ，我们为 g 引入符号 。

证明 设 ， ，…为标准正交系，因为定理 9 而存在，并张成闭线性流形 。我们将其记为 g = 。根据定理 6，该序列收敛 （若其为无限序列） ，该序列的和 g 显然属于 。又根据定理 6， h = f － g 与所有 ， ，…正交，但由于与 h 正交的向量连同 ， ，…一起构成一个闭线性流形，所有 也与 h 正交，即 h 属于 － 。

如果还存在另一个解 f = 属于 ， h' 属于 － ，那么 g + h = g' + h' ， g － g ' = h' － h = j 。于是 j 必须同时属于 和 － ，因此与其自身正交，即（ j ， j ）= 0， j = 0，所以 g = g' ， h = h' 。

因此，运算 将其在 中的投影 分配给 中的每个 f 。在下一节中，我们将作出如下定义：算子 R 是在 的子集中定义的函数，其值来自 ，即 的某个 f 与 的某个 Rf 对应。 （不一定适用于所有 f 。对 的其他 f ，这种运算可能是无定义的，即“无意义”的。） 那么 是 中处处有定义的算子，称为 的“投影算子”，或仅称为 的“投影”。

定理 11 算子 具有如下特性

是所有 值的集合，即所有 的集合，但是它也可被看作 = f 的所有解的集合，而 － 是 = 0的所有解的集合。

注：在后续部分中，我们将证明，本定理的第一个特性可以确定所谓的“线性算子”；第二个特性可以确定所谓的“埃尔米特算子”。第三个特性则表明：应用两次算子 与应用一次的效果相同。其通常记为：

证明 由

得到

因此

第一个结论得证。

对于第二个特性，设

则有 g' ， g" 与 h' ， h" 正交，因此可得

即（ ， g ）=（ f ， ），第二个结论得证。

最后， 属于 ，因此 = +0是定理 10 所保证的对 的分量分解，即 （ ）= 。这就是第三个特性。

关系式 = f 或 0 表明，在分解 f = g + h 中， g 取自 ， h 取自 － （根据定理 10） ，要么 f = g ， h = 0，要么 g = 0， f = h ，即 f 要么属于 ，要么属于 － 。这便是第五和第六个特性。根据定义，所有 都属于 ，并且 中所取的每个 f ' 都等于一个 ：例如，据上所述，即等于 。这是第四个特性。

请注意，第二和第三个特性表明

下面我们将描述与 无关的投影算子的性质。

定理 12 设 为一个封闭线性流形，处处定义在 上的算子 E 是一个投影，即当且仅当其具有以下属性

（ Ef ， g ）=（ f ， Eg ）， E ² = E

时 （见定理 11 的注） ， 由 E （根据定理 11） 唯一确定。

证明 根据定理 11，我们可以明显看出，该条件的必要性，以及 E 对 的确定。那么，我们仅需证明如果 E 具备上述特性，则存在一个满足 E = 的封闭线性流形 即可。

设 为由所有 Ef 张成的闭线性流形，则 g － Eg 与所有 Ef 正交，即

（ Ef ， g － Eg ）=（ Ef ， g ）－（ Ef ， Eg ）=（ Ef ， g ）－（ E ² f ， g ）=0

与 中的 g － Eg 正交的所有元素形成了一个闭线性流形。因此它们包括 和 Ef ，那么则有 g － Eg 属于 － 。从定理 10 的意义上讲， g 对于 的分解是 g = Eg +（ g － Eg ），因此 = Eg ，其中 g 为任意值。至此，整个定理都已被证明了。

如果 = 或 =[0]，则分别有 － =[0]或 ，因此根据定理 11， f = f + 0 或 0 + f 分别是分解。因此，分别有 = f 或 = 0。我们称 1为由 Rf = f 定义的算子 （处处有定义的算子） ，而 0 是由 Rf = 0 定义的算子。因此有 = 1， P _[0] =0。此外显而易见的是，属于 的分解 f = g + h （ g 取自 ， f 取自 － ） ，也以 f = h + g 的形式 （ h 取自 － ， g 取自 ） 对 － 有用 ［这是因为 g 属于 ，它与 － 的每个元素正交，因此它属于 －（ － ）］ 。因此， = g ， = h = f - g ，即 = 1 f - 。关系式 = 1 f - 可以用符号 =1- 来表示 （对于算子的加、减、乘法运算，见定理 14 中的讨论） 。

需要注意：此前我们很容易就能认出 是 －（ － ）的子集，但是很难直接证明这两个集合是等同的。这种等同性可由以下关系得到

而且，由上述还可知，如果 E 是一个投影算子，那么 1－ E 也同样是一个投影，因为 1－（1－ E ）= E ，反之亦然。

定理 13 以下关系恒成立： ， ，若 f 取自 － ，则有 ；若 f 取自 ，则有 。

注：因此，特别有

即算子 E 是连续的 （见 2.1 节中定理 2 后面的讨论） 。

证明 我们有 （见定理 11 后面的讨论）

因为 1－ E 也是一个投影算子

由于两个分量均≥ 0，所以它们也 ，特别是 ， 。根据定理 11 可知， ， 表示 f 属于 － 这一事实。由上述关系可知， 就意味着 ， Ef = f ，因此，根据定理 11， f 属于 。

如果 R ， S 是两个算子，那么我们可以用 R ± S ， aR （ a 是一个复数） ， RS 来表示，由下式定义的算子

（ R ± S ） f = Rf ± Sf ，（ aR ） f = a － Rf ，（ RS ） f = R （ Sf ）

并且应用以下自然记法

R ⁰ = 1， R ¹ = R ， R ² = RR ， R ³ = RRR ，…

在这里可以很容易地对行之有效的计算规则进行讨论。我们可以毫不费力地验证，对数字有效的所有基本计算定律，对于 均成立，但是对于 RS 并非如此。对分配律成立的验证是很容易的：（ R ± S ） T = RT ± ST 和 R （ S ± T ）= RS ± RT （对于后者，当然 R 必须是线性的；详情见定理 11 的注，以及后一段中的讨论） 。结合律也是成立的：（ RS ） T = R （ ST ）= RST ，但是交换律 RS = SR 通常是不成立的。 ^[1] 如果该定律对两个特定的 R ， S 成立，则它们被称为“可对易”。例如 0 和 1 与处处有定义的所有 R 可对易：

R 0 = 0 R = 0， R ₁ = 1 R = R

此外， R ^m ， R ⁿ 可对易，因为 R ^m R ⁿ = R ^m+n ，所以与 m ， n 的顺序无关。

定理 14 设 E ， F 为闭线性流形 的投影算子，那么当且仅当 E 与 F 可对易，即当 EF = FE 时， EF 才是投影算子。此外， EF 属于闭线性流形 该闭线性流形是由 与 的共有元素组成的。当且仅当 EF = 0（或者等价地：当 FE =0）时，算子 E+F 才是投影算子。这意味着 中的所有元素都与 中的所有元素正交，那么 E + F 属于 = ，它在这种情况下等于 。当且仅当 EF = F （或等价地：当 FE = F ） 时，算子 E － F 是投影算子。这就意味着 是 的一个子集，并且 E － F 属于 。

证明 对于 EF ，我们必须重新审视定理 12 中的两个条件

（ EFf ， g ）=（ f ， EFg ），（ EF ） ² = EF

因为（ EFf ， g ）=（ Ff ， Eg ）=（ f ， FEg ），所以第一个条件意味着

（ f ， EFg ）=（ f ， FEg ），［ f ，（ EF － FE ） g ］= 0

由于对所有的 f ，（ EF － FE ） g = 0 都成立，并且对所有的 g 也都成立，所以有 EF － FE = 0， EF = FE 。因此，可对易性对于第一个条件而言是必要和充分的，也因此我们可以得到第二个条件

（ EF ） ² = EFEF = EEFF = E ² F ² = EF

由于 E + F 恒满足第一个条件［（ E + F ） f ， g ］=［ f ，（ E + F ） g ］ （因为 E ， F 均满足） ，那么我们只需要证明第二个条件（ E + F ） ² = E + F 。由于

（ E + F ） ² = E ² + F ² + EF + FE = （ E + F ）+（ EF + FE ）

可知 EF + FE = 0。现在对于 EF = 0， EF 是一个投影算子。因此，由上述证明可知， EF = FE ，因此 EF + FE = 0。相反，由 EF + FE = 0 可以得到

E （ EF ＋ FE ）= E ² F ＋ EFE = EF ＋ EFE = 0

E （ EF + FE ） E = E ² FE + EFE ² = EFE + EFE = 2， EFE = 0

因此可得 EFE = 0，又因此 EF = 0，所以 EF = 0 是充分必要条件，且由于 E ， F 的作用相同， FE = 0 同样也是充分必要条件。

当且仅当 1－（ E － F ）=（1－ E ） +F =1 时， E － F 才为投影算子。且由于 1－ E ， F 均为投影算子，根据同样的证明可知，（1－ E ） F = 0， F = EF = 0， EF = F 或等价的 F （1－ E ）= 0， F － FE = 0， FE = F ，是 1－ E ， F 为算子的特征。

我们还要证明 ， （ E = ， F = ）的相关命题。首先，设 EF = FE ，那么每个 EFf = FEf 都属于 和 二者，因此也属于 ，并且对于 中的每个 g ，有 Eg = Fg = g ，因此有 EFg = Eg = g ，即它具有 EFf 的形式。因此， 是 EF 值的总和，根据定理 11 可知， EF = 。其次，设 EF = 0 （因此也有 FE =0） 。每个（ E + F ） f = Ef + Ff 都属于{ ， }，而且{ ， }中的每个 g 都等于 h + j ， h 取自 ， j 取自 ，因此 Eh = h ， Fh = FEh = 0， Fj = j ， Ej = EFj = 0。因此

（ E + F ）（ h + j ）= Eh + Fh + Ej + Fj = h + j ，（ E + F ） g = g

则 g 的形式为（ E + F ） f 。因此，{ ， }是 E + F 值的全体，但由于 E + F 是一个投影算子，所以{ ， }是相应的闭线性流形 （见定理 11） 。由于{ ， }是封闭的，所以有{ ， } =[ ， ]= ＋ 。再次，设 EF = F （因此也有 FE = F ） ，那么 E = ，1- F = ，故 E － F = E － EF = E （1－ F ），等于 ，其中 是 与 － 的交，即 － 。

最后， EF = 0 表示恒有（ EFf ， g ）= 0，即（ Ff ， Eg ）= 0，亦即整个 与整个 正交。并且 EF = F 表示 F （1－ E ）= 0，即所有 都与 － 正交，或者等同于： 是 －（ － ）= 的一个子集。

如果 是 的一个子集，那么对于 F = ， E = ，我们说 F 是 E 的一部分：记为 E ≥ F 或 F ≤ E （这就表明 EF = F ，或者 FE = F ，并且因此得出可对易性的结论。这可以通过对 ， 的观察或直接计算得出。0 ≤ E ≤ 1 恒成立。由 E ≤ F ， F ≤ E 可知 E=F 。由 E ≤ F ， F ≤ G 可知 E ≤ G 。这具有按量值大小进行排序的特征。通过进一步观察可知， E ≤ F ，1－ E ≥ 1－ F ，以及与 1－ F 正交的 E ，三者都是等价的。此外，若 E' ≤ E ， F' ≤ F ，则 E' ， F' 的正交性可由 E ， F 的正交性得出） 。如果 与 正交，则我们说 E ， F 也是正交的 （因此，这就表明 EF =0 或者 FE = 0） 。相反，若 E ， F 可对易，则我们说 ， 也是可对易的。

定理 15 E ≤ F 等价于 的一般有效性。

证明 由 E ≤ F 可知 E = EF ，因此 （见定理 13） 。反之，该定理有以下推论：如果 Ff = 0，那么 ， Ef = 0。现因 F （1－ F ） f =（ F － F ² ） f = 0，我们有与之相等同的 E （1－ F ） f = 0，即 E （1－ F ）= E － EF = 0， E = EF ，因此， E ≤ F 。

定理 16 设 为投影算子。则 E ₁ +…+ E _k 当且仅当所有 E _m ， E _l （ m ， l =1，…， k ； m ≠ l ）相互正交时才是投影算子。另一个充分必要条件是（对于所有 f ）满足以下关系

此外， E ₁ +…+ E _k （ E ₁ = ，… E _k = ）是 +…+ = ［ ，…， ］的投影算子，在这种情况下，［ ，…， ］= 。

证明 通过重复应用定理 14，我们可以推导出最后一个命题。第一个条件的充分性也是通过该方法得到的。如果能够满足第二个条件，则第一个条件也能得以满足。对于 m ≠ I ， E _m f = f 有

但是由于 E _m （ E _m f ）= E _m f 等式成立，所以 E _l （ E _m f ）= 0，即 E _l E _m = 0。最后，第二个条件是必要的：若 E ₁ +…+ E _k 是一个投影算子，则 （定理 13）

因此，我们有以下逻辑：

E ₁ +…+ E _k 是一个投影算子⇒第二条标准⇒第一条标准⇒ E ₁ +…+ E _k 是一个投影算子。

所以三者是等价的。

作为总结，我们证明以下关于投影算子的收敛定理。

定理 17 设 E ₁ +…+ E _k 为一个递增或递减的投影序列： E ₁ ≤ E ₂ ≤…或者 E ₁ ≥ E ₂ ≥…。若对于所有 f ，有 E _n f → Ef 成立，则这些投影算子序列收敛到投影算子 E ，并且对一切 n ，有 E _n ≤ E 或者 E _n ≥ E 。

证明 研究第二种情况就足够了，因为第一种情况可以通过将 1－ E ₁ ，1－ E ₂ ，…，1－ E 替换为 E ₁ ， E ₂ ， E ₃ ，…， E 来简化。故此，设 E ₁ ≥ E ₂ ≥…。根据定理 15， 因此存在 。那么对于每个 ε ＞ 0，都存在一个 N=N （ ε ），使得对 m ， l ≥ N

现对于 m ≤ l ， E _m ≥ E _l ，算子 E _m － E _l 是一个投影算子，因此有

由此得出 。因此，序列 E ₁ f ， E ₂ f ，…满足柯西收敛准则，并且具有一个极限 f ^* （见 2.1 节中的 D ） 。因此， Ef = f ^* 定义了一个处处有意义的算子。

由（ E _n f ， g ）=（ f ， E _n g ）可知，转变到极限状态后有（ Ef ， g ）=（ f ， Eg ），而由（ E _n f ， E _n g ）=（ E _n f ， g ）有（ Ef ， Eg ）=（ Ef ， g ）。因此（ E ² f ， g ）=（ Ef ， g ）， E ² = E 。因此 E 是一个投影算子。对于 l ≥ m ， 且当 l →∞时，我们得到 ，因此 E _m ≥ E （定理 15） 。

若 E ₁ ， E ₂ ，…为投影算子，其中每一对都相互正交，那么

E ₁ ， E ₁ + E ₂ ， E ₁ + E ₂ + E ₃ ，…

也都是投影算子，并且构成一个递增序列。根据定理 17，它们收敛到一个大于等于它们全体的投影算子，我们可以用 E=E ₁ + E ₂ +…来表示。设 E ₁ = ， E ₂ = ，…， E ₁ + E ₂ +…= 。因为 E _m ≤ E ，所有 是 的一个子集，因此 还包括[ ， ，…]= + +…= 。反之，所有的 都是 的子集。因此有 E _m ≤ = E' 。所以由于连续性 （见上述证明中的处理） ， E ≤ E' 。因此 是 的子集，进而 ， E = E' ，即 = + +…，或者换种方式记作

至此，我们结束了对投影算子的研究。

[1] （ RS ） f = R （ Sf ）与（ SR ） f = S （ Rf ）不必彼此相等！ 7NQso65Q/vba2acoymohUe+QlzYyumPrPHUn319Sexu9M2KB7XZtFiAMq8y6GLYq