量子力学的数学基础最新章节_约翰·冯·诺依曼著

2.3 对条件 A ～ E 的补充

我们还需对 1.4 节文末的命题 b进行验证：即 F _z 与 F _Ω 确实满足条件 A ~ E 。对此，我们只考虑 F _Ω 就足够了。因为在 2.2 节中，我们已经作过如下证明：在条件 A ~ E 下，的所有属性必须与，即 F z 相等同，因此条件 A ~ E 也必须对 F z 有效。此外，我们将证明在 2.2 节中所提及的条件 D ， E 相对于 A ~ C ^{（

n

）} 的独立性，以及它们遵循 A ~ C ^{（

n

）} 的事实，即它们在中成立。这三个纯数学问题构成了本章研究的主题。

我们首先在 F _Ω 中验证条件 A ~ E 。为此，我们必须介绍勒贝格积分的概念。关于勒贝格积分的基础知识，请参考与该主题相关的专著（勒贝格积分的相关知识仅对本章而言十分重要，对于后续章节而言并不需要了解它）。

在 1.4 节，我们介绍过 Ω 是 q ₁ ，…， q _k 的 k 维空间， F _Ω 是积分

有限的所有函数 f （ q ₁ ，…， q _k ）所构成的空间。我们现在允许所有的 q ₁ ，…， q _k 在－∞到 +∞之间变化。如果限制 q ₁ ，…， q _k 的变化范围（例如，使 Ω 成为半个空间，或位于立方体的内部，或位于球体内部，或位于这些图形的外部，等等），即便选择使 Ω 成为曲面（例如球体表面等），我们所得的推论仍然会有效，甚至在很大程度上连证明步骤都可以逐字保留。但是，为了不迷失在不必要的复杂性之中（读者可以毫无困难地借助我们所给出的典型例证自行讨论），我们将其限制为刚才提到的最简单情况。下面我们将以此处理条件 A ~ E 。

对 A ，我们必须证明：若 f ， g 属于 F _Ω ，则 af ， f ± g 也属于 F _Ω ，即若

（我们将，按上式缩写，这样就不会产生混淆）是有限的，则

也是有限的。第一种情况是平凡的；第二种情况因为，只要能够确定

的有限性，那么第二种情况即可成立。但是由于 ^[1] 故由假设可直接得到结论。

对 B ，我们将（ f ， g ）定义为。如前所述，该积分是绝对收敛的。除了最后一个属性（ f ， f = 0）表明 f ≡ 0 以外， B 中假设的所有属性显然均成立。现有（ f ， f ）= 0 表明，因此，能使的点集，即使 f （ q ₁ ，…， q _k ）≠0 的点集，必有勒贝格测度为零。如果我们现在考虑的两个函数 f ， g 仅在勒贝格测度为零的集合 q ₁ ，…， q _k 上不相等［即 f （ q ₁ ，…， q _k ）≠ g （ q ₁ ，…， q _k ）］，则二者在本质上并无不同，因此我们可以断言 f ≡ 0。

对 C ，设 O ₁ ，…， O _n 为 Ω 中的 n 个区域，并且两两之间并没有共同点，另设每个区域的勒贝格测度均大于零但有限。令 f _l （ q ₁ ，…， q _k ）在 O _l 中为 1，在 O _l 外为零。由于等于 O _l 的测度， f _e 属于 F _Ω （ l =1，…， n ），这些 f ₁ ，…， f _n 是线性无关的。对于 a ₁ f ₁ ＋…＋ a _n f _n ≡ 0 而言，左边的函数仅在一组测度为零的集合上不为零。因此，它在每个 O _l 中都有根，但由于它在 O _l 中是一个常数 a _l ，因此， a _l = 0， l = 1，…， m 。该结构对所有 n 成立，故 C ^（∞）成立。

对 D ，设序列 f ₁ ， f ₂ ，…满足柯西收敛准则，即对于每个 ε ＞ 0，均存在一个 N = N （ ε ），当 m ， n ≥ N 时，使得。我们选择；； n ₃ ≥ n ₁ ， n ₂ ，；…则 n ₁ ≤ n ₂ ≤…；，因此

现在让我们考虑满足

的所有点的集合 P ^{（

v

）} ，若其勒贝格测度为 μ ^{（

v

）} ，则

让我们再考虑由 P ^{（

v

）} ， P ^{（

v

+1）} ）， P ^{（

v

+2）} ，…的并集组成的集合 Q ^{（

v

）} ，其勒贝格测度为

在 Q ^{（

v

）} 以外，满足

因此，一般来说，对于 v ≤ v' ≤ v"

当 v' →∞时，上式独立于 v" 趋近于零，即当 q ₁ ，…， q _k 不在 Q ^{（

v

）} 中时，序列满足柯西准则。因为我们处理的是数值序列（对固定的 q ₁ ，…， q _k 而言），所以该序列也是收敛的。因此反言之：若序列对某个特定 q ₁ ，…， q _k 不收敛，则该序列位于 Q ^{（

v

）} 之中。设不收敛的所有 q ₁ ，…， q _k 的集合为 Q ，则 Q 是 Q ^{（

v

）} 的子集，因此其测度不会大于 Q ^{（

v

）} 的测度，即。虽然对 Q 的定义与 v 无关，但该测度关系必定对所有的 v 成立。因此， Q 的勒贝格测度为零。因此，如令 Q 中的所有 f _n 为零，上述结论不变。但随后也在 Q 中收敛，从而处处收敛。

这样一来，我们得到在所有点 q ₁ ，…， q _k 处收敛的 f ₁ ， f ₂ ，…的子序列（对 f ₁ ， f ₂ ，…不必如此）。设的极限为 f = f （ q ₁ ，…， q _k ）。那么接下来我们必须证明：

a f 属于 F _Ω ，即是有限的；

b f 是的极限，不仅从对每个 q ₁ ，…， q _k 收敛的意义上讲，也从希尔伯特空间“长度收敛”的意义上讲，即或者

c 从这个意义上讲，它也是整个序列 f ₁ ， f ₂ ，…的极限，即或者。

令 ε ＞ 0，并设 v ₀ 满足（例如），且 v ≥ v _o ，则。若我们设 v →∞，则被积函数趋近于，因此（根据勒贝格积分的收敛定理）。所以，首先是有限的，即 f － f _n 属于 F _Ω ；又因 f _n 属于 F _Ω ，故 f 也属于 F _Ω 。于是，得以证明a。其次，由上述不等式得出，当 n →∞时，，即得以证明 b和 c。

对 E ，我们必须确定一个在 F _Ω 中处处稠密的函数序列 f ₁ ， f ₂ ，…。

设 Ω ₁ ， Ω ₂ ，…为 Ω 中的一系列区域，每个区域都有一个有限测度，且它们整体上覆盖了整个 Ω 。（例如：设 Ω _N 为以原点为中心，半径为 N 的球体。）设 f = f （ q ₁ ，…， q _k ）是 F _Ω 的任意元素。我们为每个 N = 1，2，…定义一个 f _N = f _N （ q ₁ ，…， q _k ）：

对 N →∞， f _N （ q ₁ ，…， q _k ）→ f （ q ₁ ，…， q _k ）（从某个 N 开始，得到的是等式），因此。进而 f － f _N = 0 或 f ，因此。因此积分被（有限）主导。由于被积函数趋近于零，积分也趋近于零（见上文所引用的收敛定理）。

设所有函数 g = g （ q ₁ ，…， q _k ）的函数类为 G 。其中，当 g ≠0 时，所有点的集合具有有限测度，并且对任意固定常数 C，在整个空间中不等式| g | ≤C成立。上述 f _N 都属于 G 。因此， G （在 F _Ω 中）处处稠密。

设 g 属于 G ， ε ＞ 0。设 g ≠0 集合的测度为 M ，且的上限为 C。我们选择一系列有理数－C ＜ ρ ₁ ＜ ρ ₂ ＜…＜ ρ _t ＜ C使得

成立，这很容易做到。现在我们把每个 Re g （ q ₁ ，…， q _k ）的值更改为最接近的 ρ _σ =（ s =1，2，…， t ）值，但是零仍为零。然后可以得到一个新函数 h ₁ （ q ₁ ，…， q _k ，），该函数与 Reg 的差异处处小于 ε 。同理，我们为Im g 构造一个函数 h ₂ （ q ₁ ，…， q _k ，）。那么对于 h = h ₁ +i h ₂ 有

如果给定 δ ＞ 0，然后我们设，于是有。

设所有函数类为 h = h （ q ₁ ，…， q _k ）， h 只取有限个不同值。实际上，只有那些 ρ +i σ 的形式被称为 H 。其中 ρ ， σ 为有理数，并且除了零以外，它们只在有限测度的集合上取值。上述 h 属于 H ，因此 H 在 G 中处处稠密，且在 F _Ω 中也是如此。

设 Ⅱ 为一个勒贝格测度有限的集合。我们现定义函数 f _Π = f _Π （ q ₁ ，…， q _k ）如下

函数类 H 显然包括所有

我们现在寻找一个 Π ^（1）， Π ^（2），…，该序列具有以下特性：对于每个 Π- 集合，及每个 ε ＞ 0，均存在一个 Π ^{（

n

）} ，使得那些属于 Π 但不属于 Π ^{（

n

）} ，或属于 Π ^{（

n

）} 但不属于 Π 的所有点的集合的测度小于 ε （这个集合被称为 Π 的差集 Π ^{（

n

）} ）。若我们有这样一个序列，则

（ t =1，2，…； ρ _s ， σ _s 为有理数， n _s =1，2，…）在 H 中处处稠密：因为如果我们根据上述讨论为每个 Π _s 选择 Π ^{（

ns

）} ，那么

如果给定 σ ＞ 0，则

导致以下结果

但是

若经过适当排序，可形成一个序列。这可以通过以下方式完成。设所有 ρ ₁ ， σ ₁ ，…， ρ _t ， σ _t 的公共分母为 τ ，新的分子分别为 …，则关系式就变成了

其中，对 s = 1，…， t ，有 t ， τ = 1，2，…； = 0，±1，±2，…， n _s = 1，2，…。把这些函数排成一个序列所面临的问题，与把整数 t ， τ ，，…， n ₁ ，…， n _t 进行排序所面临的问题相同。在这些数字复合体中，把那些正整数

具有相同值的划为一组。然后把这些组根据其指数 I 升序排列。显然每个这样的组（具有固定的 I ）都由有限个上文所述的复合体组成。若我们现在对每一组有限集合以任意顺序排列，实际上我们已经获得了一个包含所有复合体的简单序列。

为了确定上述集合的序列 Π ^（1）， Π ^（2），…，我们利用了以下事实：对于每个具有有限勒贝格测度 M 的集合 Π ，并且对每个 δ > 0 存在一个开点集 Π' ，它覆盖 Π 但其测度超过的部分小于 δ 。对于每个开点集 Π' 与给定的 δ > 0，显然存在一个由有限个立方体组成的集合 Π" ，它包含在 Π' 之中，并且其测度比 Π' 的测度小 δ 。我们显然可以对这些立方体的边缘长度及其中心坐标进行合理选择。现在我们很容易认识到，上面所定义的 Π' 与 Π" 的“差集”的测度小于 δ ＋ δ =2 δ 。因此，对于差集的测度小于 ε 。若我们可以把上述类型的立方体集合进行序列排序，则就实现了我们的目标。

现在我们可以通过立方体的编号 n = 1，2，…，连同它们的边长 κ ^{（

v

）} ，以及它们中心点的坐标把这些立方体的集合特征化，其中 κ ^{（

v

）} ，是有理数。设它们的公共分母（对所有 v = 1，… n ）为 η = 1，2，…，它们的分子为

因此，我们的立方体集合可以用数字复合体

来表征。如果我们按照以下正整数指标的升序排列

则我们得到一个简单序列，与之前函数线性组合的类似情况完全一样。

在继续讨论前，让我们先解答以下问题：对于满足条件 A ~ E ［及C ^（∞）］的给定的子集是否仍然满足条件 A ~ E ［在 af ， f ± g 以及（ f ， g ）定义不变的条件下］？

为了使 A 成立，必须是一个线性流形， B 自动有效。我们暂且搁置 C ，在任何情况下都有 C ^{（

n

）} 或者 C ^（∞）成立。 D 表示：若中某一序列满足柯西收敛准则，则它在中有一个极限。由于这样的序列肯定会在中有一个极限，因此 D 仅表明该极限也属于，即必须为闭集。正如我们在定理 9 的证明中所见，条件 E 始终成立。因此，我们可以作如下总结：

必须是一个闭线性流形。我们将张成空间的标准正交系（定理 9）记为，，…。若其为无限集，那么显然 C ^（∞）成立，并且与同构，因此与本身同构；若该序列终止于，那么 C ^{（

n

）} 成立［根据定理 3 ^{（

n

）} ］，即与同构。

但由于在任何情况下， D ， E 在中均成立，在每个中也都成立。因此，它们也可由 A ~ C ^{（

n

）} 得到。

诚如所见，我们避免在或中对 A ~ E ［以及 C ^{（

n

）} 或 C ^{（

∞

）} ］直接验证，而是通过间接的逻辑论证完成验证。但通过直接的分析性论证也不会产生本质上的困难。这部分或许可以留给读者去证明。

我们仍需证明 D ， E 与 A ~ C ^（∞）无关。正如我们前面所见，在中的每个线性流形均满足 A ， B ， E ，以及 C ^{（

n

）} 或 C ^（∞），如果它并非闭线性流形，那么 D 不满足。在这种情况下， C ^（∞）必定成立，因为 D 是由 C ^{（

n

）} 得来的。现在要构建这样一个非闭线性流形并不难。设，，…为标准正交系，则（ N =1，2，…； x ₁ ，…， x N 任意）构成一个线性流形，但该线性流形是非封闭的，因为［有限］是一个极限点，但不是该线性流形中的一个元素

因此， D 与 A ~ C ^∞ ， E 无关。

接下来让我们考虑一下参数 α 为连续值的所有复函数 x （ α ）＜－∞＜ α ＜ +∞，此外，假定可将 x （ α ）≠0 写成一个序列，使覆盖这些项的和为有限的 ^[2] 。所有这些 x （ α ）函数形成一个空间。因为对于这个空间的任意两个点 x （ α ）， y （ α ），仅对两个 α 序列有 x （ α ）或 y （ α ）≠0，并且由于我们可以将这两个序列连接成为一个序列： x （ α ）= y （ α ）= 0，某个特定的 α 序列 α ₁ ， α ₂ ，…除外。因此，我们只需要对所有 n = 1，2，…时的值 x _n = x （ α _n ）， y _n = y （ α _n ）进行讨论即可。若仅有两个点出现，它们的行为便都与在中的行为相同。因此， A ， B 在中与在中一样成立 ^[3] 。对于 k （=1，2，…），点也是如此，因此 C ^∞ 也一样成立。此外，对点形成的序列也是同样如此。考虑 x ₁ （ α ）， x ₂ （ α ），…，满足 x _n （ α ）≠0 的 α 对每个 n = 1，2，…构成一个序列： α ₁ ^{（

n

）} ， α ₂ ^{（

n

）} ，…。这些序列共同构成一个二重序列 α _m ^{（

n

）} （ n ， m = 1，2，…），也可以写成一个简单序列： α ₁ ^（1）， α ₂ ^（1）， α ₁ ^（2）， α ₃ ^（1）， α ₂ ^（2）， α ₁ ^（3），…。因此， D 在中成立，在中也成立。对于 E 则有所不同。在那种情况下，中所有的点都起作用（所有的点必须是一个适当序列的极限点），因此，我们不能从推理到。此外，该条件实际上并不能得以满足，因为由其推导的一条推论是无效的，即存在一个不能被写成序列的标准正交系（与定理 3 ^（∞）相矛盾）。