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我们从两个定义讲起。第一个定义包含了研究所需的三角学知识——直角的概念，即正交性，可以满足我们的研究目的。
定义 4
若（
f
，
g
）= 0，则
中的两个
f
，
g
是正交的。若
中的每个元素均与
中的每个元素成正交关系，则线性流形
与线性流形
成正交。若对于
的所有
f
，
g
均有
（每对元素都是正交的，且每个元素的长度均为 1
[1]
）
。此外，若
并非任何正规空间的子集，不包含其他元素，则集合
是完全的
[2]
。
我们还进一步注意到：正交系的完全性明显地表示，显然不存在与整个
正交，且
的
f
。但是，假若
f
不为零，且与整个
正交，那么对于
（当然，
）
，上述所有条件均将得以满足
f '
与整个
正交。因此，
的完全性意味着与整个
正交的每个
f
必须为零。
第二个定义只是在
中至关重要，因为在
中，每个线性流形都是其自身所描述的类型
（见 2.3 节末尾）
。因此，我们无法给出反映其含义的直观几何图。
定义 5
同时也是封闭的线性流形称为“闭线性流形”。若
是
中的任意集合，且我们将其所有的极限点添加至
，那么我们将会得到一个包含
的闭线性流形。该线性流形同时也是其他包含
的任意闭线性流形的子集
[3]
。我们称其为“由
张成的闭线性流形”，并用符号
表示。
现在我们将继续对
进行更加详细的分析，尤其是对完全正交集的深入分析。对于除
A
，
B
以外，还需要
C
（
n
）
或
C
（
∞
）
，
D
，
E
定理，我们分别对其添加了指标（
n
）或（∞）。对两种情况均适用的那些定理，可忽略这些指标。
定理 3 （ n ） 每个正交系都有 ≤ n 个元素，并且当且仅当其有 n 个元素时，才是完全的。
注：由这个定理可知，正交系的元素个数存在最大值；根据定义，达到该最大值的那些正交系是完全的。根据这一定理，在 C （ n ） 的情况下存在 n 个完全正交系，并且每个正交系均含有 n 个元素。
证明
每个正交系
（若为有限集）
是线性无关的。若其元素为
，
，…，
，则有
通过用
（
μ
=1，2，…，
m
）形成内积，可知
a
μ
= 0。所以，按照
C
（
n
）
规定，该集合不能有
n
+1 个元素。因此，任何正交系不存在拥有
n
+1 个元素的子集。故其为有限的，且具有 ≤
n
个元素。
具备
n
个元素的集合不能继续扩张，因而是完全的。但是具备
m
＜
n
个元素的集合
，…，
是不完全的。实际上，在线性组合
+…+
中，不可能给出
n
＞
m
个线性无关元素。因此，按照
C
（
n
）
规定，必定存在一个不同于所有
+…+
的元素
f
。使得
恒不为零。（
）=0 现在表示
a
μ
=（
f
，
（
μ
= 1，2，…，
m
）。因此，该条件可以同时满足所有
μ
= 1，2，…，
m
。因此，这同时提供了一个可以表明
，…，
是不完全的
的依据。
定理 3 （∞） 每个标准正交系均为有限集或可数无穷集；若它是完全的，则必定是无穷的。
注：因此，我们可以把所有的正交系写成序列：
，…
（可能会终止，即为有限数列）
。应当指出的是，无限的元素对于集合的完全性而言是必要的，但与
C
（
n
）
的情况不同，该条件是不充分的
[4]
。
证明
设
为一个标准正交系，
f
，
g
是属于
的两个不同元素。那么则有
现设
f
1
，
f
2
，…为
中处处稠密的序列。根据属性
E
，该序列存在。对
中的每个
f
，序列中均存在
f
m
，使得
。
f
，
g
对应的
f
m
，
f
n
必须不同，因为若
f
m
=
f
n
，则有
因此，
中的每个
f
都与序列
f
1
，
f
2
，…中的一个
f
m
相对应，不同的
f
对应于不同的
f
m
。故
是有限的或者是一个序列。
在定理 3
（
n
）
的证明中，我们证明了以下性质：如果
中有多于
m
个线性无关的元素，则系统
，…，
是不完全的。但在
C
（∞）
中，对所有
m
都存在
m
个线性无关元素，因此，完全系必定是无限的。
目前所遵循的定理，就收敛性而言，仅适用于 C （∞） 。但由于这些定理具备诸多其他内涵，最好对它们予以一般性的表述。
定理 4
设
，
，…为标准正交系，则所有序列
绝对收敛，即使在此范围内有无限项也是如此。尤其当
f
=
g
时，恒有
。
证明
设
a
v
=（
f
，
），
v
= 1，2，…，则
正交于所有
，
v
= 1，2，…，
N
（见定理 3
（
n
）
的证明）
。因为
故
即
若系统
，
，…是有限的，则可直接得出
若该系统是无限的，那么
N
→∞可导致
的绝对收敛性及其
的事实。由此就确立了第二个命题。因为
由上述收敛事实可得出对第一个命题更一般的收敛陈述。
定理 5
设
，
，…为无限标准正交系，则序列
当且仅当
收敛时收敛
（后一个序列
的每项均为非负实数，因此该序列或收敛或发散至 +∞）
。
证明
因为本命题只对
C
（∞）
有意义，那么我们可以用
D
中所描述的柯西收敛准则来证明。当
N
→∞时，若序列的部分和
收敛，则无穷和
必定收敛。而部分和收敛的条件是：对每个
ε
＞0 均存在
，使
L
，
M
≥
N
时，
设 L ＞ M ≥ N ，则有
因此
这正是序列
，
N
→∞，即序列
的柯西收敛条件。
推论
对于级数
而言，（
f
，
）=
x
v
（不论标准正交系是有限集还是无限集——在后一种情况下，都要对收敛性作假设）
。
证明 当 N ≥ v 时，有
对于有限集
，
，…，我们可以设
N
等于最大指标；对于无限集
，
，…，由于内积的连续性，我们可以设
N
→∞。在任何一种情况下，均可得到（
f
，
）=
x
μ
的结果。
定理 6
设
，…为一个标准正交系，对于任意
f
，若级数
是无穷和，且
x
v
=（
f
，
）（
v
= 1，2，…），则该级数恒收敛，且表达式
f
−
f
′与
，
，…正交。
证明
收敛性遵循定理 4 和定理 5，而且根据定理 5 的推论，有（
f '
，
）=
x
v
=（
f
，
），（
f
－
f'
，
）= 0。
基于上述定理，我们可以给出一般判据，既适用于 C （∞） ，也适用于标准正交系完全性的一般性准则。
定理 7
设
，…为一个标准正交系，以下的每一条都是使其具备完全性的充分必要条件：
a 由
，
，…所张的闭线性流形［
，
，…］等于
。
b 恒有
成立
（
v
= 1，2，…，根据定理 6 可知其收敛性）
。
c 恒有
成立
（根据定理4可知其绝对收敛性）
。
证明
若
…是完全的，则
因为根据定理 6，其正交于
，…，则满足条件 b。如果条件 b成立，则每个
f
都是其部分和
在
N
→∞时的极限
（若
，…是无限的）
，故而属于［
，…］。因此有［
，…］=
，即满足条件 a。如果条件 a成立，那么我们可以作如下论证：如果
f
正交于所有
，…，那么
f
也正交于它们的线性组合。且由于连续性的原因，也正交于它们的极限点，即正交于所有［
，…］。因此，它也正交于整个
，也因此正交于其本身：（
f
，
f
）=0，
f
= 0。因此，
，…是完全的。
于是我们得出以下逻辑关系：
完全性→条件 b→条件 a→完全性。
即条件 a，条件 b被证明是充分必要条件。
一方面，由条件 c又可知，若
f
与所有
，…正交，且设
f
=
g
，则可得（
f
，
f
）=
0·0 = 0，
f
= 0，即
，…是完全的。另一方面，由条件 b
（现等价于完全性）
可知
（若系统
，…是有限的，那么限制过程就是非必要的。）
因此，条件 c也是一个充分必要条件。
定理 8
每个序列
f
1
，
f
2
，…都与一个标准正交系
，
，…相对应，该正交系与前一序列张于同一线性流形上
（二者都可以是有限的）
。
证明 首先，我们将 f 1 ， f 2 ，…替换为子序列 g 1 ， g 2 ，…。该子序列张于同一线性流形上，由线性无关元素组成。这一证明过程可按如下步骤进行，设 g 1 为第一个不等于零的 f n ， g 2 为第一个与所有 a 1 g 1 不同的 f n ， g 3 为第一个不同于所有 a 1 g 1 + a 2 g 2 的 f n ；… （如果对任一 p 而言，不存在与所有 a 1 g 1 +…+ a p g p 不同的 f n ，我们则在 g p 终止该序列） 。这些 g 1 ， g 2 ，…显然提供了想要的结果。
我们现构建 （这是著名的“施密特正交化过程”）
实际上，每个
都能被构建出来，即分母
均不为零。因为若
γ
p
= 0，则
g
p
将成为
，…，
的线性组合，即
g
1
，…，
g
p
－1
的线性组合，这与原假设相矛盾。此外，
g
p
是
，…，
的线性组合，
是
g
1
，…，
g
p
的线性组合，因此
g
1
，
g
2
，…和
，
，…确定了同一个线性流形。
最终，通过构建
，且
q
＜
p
时，
，因此
。由于我们可以交换
p
，
q
，后者对
p
≠
q
成立。因此，
，
…是一个标准正交系。
定理 9
恒存在一个标准正交系，与每个闭线性流形
相对应，且与闭线性流形张在同一
上。
证明
在
C
（
n
）
情况下，该定理是直接可证的：由于
满足
A
，
B
，
C
（
n
）
，当
m
≤
n
时，
中的每个线性流形
均满足
A
，
B
，
C
（
m
）
，因此定理 3
（
n
）
中的注释适用于
——在
中存在一个完全的正交集
，…，
。由于定理 7 的条件
a
正好是需要证明的命题
（可以看出，
封闭性的前提本身是不必要的，因为它实际上已被证明。在这种情况下，参照定义 5 的表述）
。
在
C
（∞）
的情况下，根据属性
E
，我们已知
是可分的。我们想证明
也是可分的——一般来说，
的每个子集都是可分的。为此，我们在
中形成处处稠密的
（见 2.1 节中的
E
）
序列
f
1
，
f
2
，…，对于每个
f
n
与
m
=1，2，…，我们可构建由
f
组成的球体
，其中
。对于每个包含
中点的
，我们选择一个这样的点：
g
nm
。对于一些
n
，
m
而言，点
g
nm
或许可能是未定义的，但定义的点在
中构成一个序列
[5]
。现设
f
为
中的任意点，且
ε
＞ 0 ，则存在一个
m
，满足
；也存在一个
f
n
，满足
。由于
包含
中的一个点
（即
f
）
，因此
g
nm
是有定义的，并且
，因此
。因此，
f
是由此定义的
g
nm
的极限点，从而该序列满足了预期的要求。
我们将用
f
1
，
f
2
，…表示来自
的序列，该序列在
中处处稠密。由其确定的闭线性流形［
f
1
，
f
2
，…］包含其所有极限点，从而包含了全部
；但由于
是一个闭线性流形，并且
f
1
，
f
2
，…属于它，因此［
f
1
，
f
2
，…］是
的一部分——因此它等于
。我们现在通过定理 8 选择正交集
，
，…，则有{
，
，…}= {
f
1
，
f
2
，…}，且若我们在两边都加上极限点，我们将得到［
，
，…］=［
f
1
，
f
2
，…］=
。命题得证。
我们现在只需将
=
代入定理 9 中，并且根据定理 7 中的条件a 所得到的一个完全标准正交系
，
，…，即看到确实存在完全正交系。在此基础上，我们现在可以证明
是
或者是
（根据是
C
（
n
）
还是
C
（∞）
）
，即其所有属性都已完全确定。
现在只需要证明，
在所有{
x
1
，…，
x
n
}集合上或在{
x
1
，
x
2
，…}
（
有限）
集合上，分别允许定义一个一一映射，使得：
（在 c无限情况下，必须对绝对收敛性予以证明。）
我们现在对映射
进行详细说明。
设
，
，…是一个完全标准正交系，在
C
（
n
）
情况下，它终止于
；在
C
（∞）
情况下，它是无限的
（定理 3
（
n
）
与 3
（∞）
）
。我们设
根据定理 5，该序列即使在无限的情况下也会收敛
（因为
是无限的）
，即无论是
或
，其元素都已穷尽。根据定理 7 条件b，又因为
是有限的，
（定理 4）
中的元素也已用尽，
［
x
v
=（
f
，
将被替换］
。很明显，每个{
x
1
，
x
2
，…}只有一个
f
与之对应，而其反命题可根据定理 5 的推论得出。
陈述 a与 b显然满足，而陈述 c由定理 7 中的条件 c得到。
[1]
事实上，
。
[2]
诚如我们所见，完全正交集对应于
中的笛卡尔坐标系（其单位向量在轴线方向）。
[3]
作为线性流形，它必须包含
，并且由于其为闭线性流形，它也包含了
的极限点。
[4]
令
，
，…是完全的，则
，
，…是不完全的，但仍是无穷的！
[5] 大家应该还记得，二重序列 g nm （ n ， m =1，2，…）也可以写作简单序列 g 11 ， g 12 ， g 21 ， g 13 ， g 22 ， g 31 ，…。