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现在我们将完成 1.4 节末尾列出的计划：定义希尔伯特空间，为处理量子力学提供数学基础。对量子力学的阐释需要使用以下这些概念，它们不仅存在于序列
x
v
（
v
=1，2，…）的“离散”函数空间
F
z
中，也存在于波函数
（
q
1
，…，
q
k
）
（其中，
q
1
，…，
q
k
在整个状态空间
Ω
中取值）
的“连续”函数空间
F
Ω
中，并且在
F
z
和
F
Ω
中具有相同的意义。这里所指的概念如下所示：
α
“纯量积”，即
（复）
数
a
与希尔伯特空间元素
f
的乘积：
af
。在
F
z
中，
ax
v
是由
x
v
所得；而在
F
Ω
中，
a
（
q
1
，…，
q
k
）是从
（
q
1
，…，
q
k
）中所得。
β
希尔伯特空间中的两元素
f
，
g
的和与差：
f
±
g
。在
F
z
中，
x
v
±
y
v
由
x
v
和
y
v
得出；在
F
Ω
中，
（
q
1
，…，
q
k
）±
（
q
1
，…，
q
k
）则是由
（
q
1
，…，
q
k
）和
（
q
1
，…，
q
k
）得出。
γ
希尔伯特空间中的两元素
f
与
g
的“内积”：（
f
，
g
）。与前两种运算有所不同，这一运算将产生一个复数，而非希尔伯特空间中的一个元素。在
F
z
中，内积
是由
x
v
和
y
v
得出的；而在
F
Ω
中，内积
则是由
（
q
1
，…，
q
k
）和
（
q
1
，…，
q
k
）得出的。
（对
F
Z
与
F
Ω
的定义，仍需通过适当的收敛证明来完成。我们将在 2.3 节中给出这些证明。）
在以下阐释中，我们将用
f
，
g
，…，
，
，…表示希尔伯特空间中的点，用
a
，
b
，…，
x
，
y
，…表示复数，用
k
，
l
，
m
，…，
µ
，
v
，…表示正整数。必要时，我们也会把希尔伯特空间记作
［作为“∞－维欧几里得空间”的简称，类似于“
n -
维欧几里得空间”的惯用名称
（
n
= 1，2，…）］。
值得注意的特点在于，
af
，
f
±
g
，（
f
，
g
）恰好是向量微积分的基本运算：在欧几里得几何中，这些运算可以对长度与角度进行计算；在质点力学中，这些运算也可以对力和功进行计算。在
F
Z
中，上述类比十分清楚。只要把
中的
x
1
，
x
2
，…替换为
中的
x
1
，…，
x
n
即可。特别是当
n
= 3 时，我们就得到了普通的三维空间。在某些情况下，不把复数
x
1
，…，
x
n
看作点，而是将其看作从点 0，…，0 到点
x
1
，…，
x
n
的向量更为合适。
为了定义抽象希尔伯特空间，我们以基本向量运算
af
，
f
±
g
，（
f
，
g
）为基础。在以下讨论中，我们将同时考虑所有的
与
。因此，我们若不想对
与
加以区分，则把
作为整个空间的通用术语使用。
首先，我们假定
具有如下典型的向量属性
[1]
。
A
是一个线性空间。
即对向量和
f
+
g
与“纯量积”
af
，在
中予以定义
（
f
，
g
是
中的元素，
a
是一个复数——
f
+
g
，
af
属于
），且
中存在一个零元素
[2]
。那么我们所熟知的向量代数运算法则适用于该空间
0· f = 0，1· f = 1 f （0 与 1 的作用）
此处未提及的运算法则，可直接由上述公式推导得出。例如，零向量在加法中的作用
f + 0 =1· f + 0· f =（1 + 0）· f =1· f = f
或者减法的唯一性：我们定义
－ f =（－1）· f ， f － g = f +（－ g ）
则有
或者，带减法的乘法分配律
我们无须对这些规则进行更加深入的探讨了。应该清楚，所有线性向量运算的规则在这里都是适用的。
因此，我们同样可以像对向量时一样，对
中的元素
f
1
，…，
f
k
引入“线性无关”这一概念。
定义 1 如果由 a 1 f 1 + …+ a k f k = 0 （ a 1 ，…， a k 为复数） 可以得出 a 1 = …= a k = 0，则可推出元素 f 1 ，…， f k 线性无关。
我们对向量微积分中出现的线性实体的类比 （通过原点的线、平面等） 作出进一步的定义，即线性流形。
定义 2
若对任意
k
（= 1，2，…）而言，
的子集
均包含其元素
f
1
，…，
f
k
的所有线性组合
a
1
f
1
+ …+
a
k
f
k
，那么我就将
称为“线性流形”
[3]
。若
为
的任意子集，则由
a
1
f
1
，+ …+
a
k
f
k
（
k
= 1，2，…；
为任意复数；
f
1
，…，
f
k
是
中的任意元素）
组成的集合就是一个线性流形，且其中必定包含
。显然它也是其他所有包含
的线性流形的子集。该线性流形被称为“由
张成的线性流形”，记作{
}。
在进一步发展该概念之前，让我们先来阐释一下向量微积分的另一个基本概念：内积的存在性。
B
在
中定义埃尔米特内积。
即（
f
，
g
）已有定义［
f
，
g
位于
中，且（
f
，
g
）为一个复数］，且具有以下属性
此外，由于埃尔米特对称性 （我们把 f 与 g 相交换，并取两侧的复共轭） ，第二个因素的对应关系来自第一个因素的两个性质
这个内积非常重要，因为它使定义长度的定义成为可能。在欧几里得空间中，向量
f
的大小由
[5]
定义，且
f
与
g
这两点间的距离由
决定。我们将从这一定义开始。
定义 3
中元素
f
的“长度”定义为
；
f
，
g
之间的距离定义为
[6]
。
该定义显然包含了有关距离的所有属性。为此，我们证明如下定理：
定理 1
证明 首先，我们可以写出
（假定 u 与 v 均为实数，若 z = u + i v 为复数，则我们就可以用 Rez 与 Imz 分别表示复数 z 的实部与虚部，即 Re z = u ，Im z = v ） 。若我们用 af ，（1 /a ） g （ a 为实数，且 a ＞ 0） 代替 f ， g ，那么显而易见，上述不等式的左边不变，而右边为
由于该表达式大于等于 Re（
f
，
g
），因此该不等式特别适用于其极小值
。
（当
f
，
g
≠0 时，极小值在
处获得；当
f
= 0 或
g
= 0 时，分别在
a
→+∞或
a
→+0 处取得）
因此
如果我们用
（
α
为实数）
代替
f
，
g
，那么方程右边不变，因为
可得
因此，当 |
a
|=1 ，
，左边为
显然其极大值为
由此命题可得出
推论 为使上述不等式中的等号成立， f ， g 必须等同到只差一个常数 （复数） 因子。
证明 为使下列关系式
中的等号成立，（
f
－
g
，
f
－
g
）必须为零，即必须满足
f
=
g
。为了由该关系式推导出
，对于均不为零的
f
与
g
，需用
，
代替
f
，
g
（其中
a
，
α
为实数，
a
＞ 0）
。因此，为了在这种情况下使等式成立，则必须有
反之，对于 f = 0 或 g = 0，或者 g = cf （ c ≠0），等号必然成立。
定理 2
恒成立，当且仅当
f
=0 时，
成立。此外，恒有
当且仅当 f 与 g 之间相差一个≥0的实数常因子时，上述关系式中的等号成立。
证明 在上述部分中，我们已经证明了前两个命题是正确的。我们现在用以下方式证明第三个不等式
为了使等号成立，Re（
f
，
g
）必须等于
。通过对上述推论证明的观察可知，这必须满足以下条件：
f
= 0 或
g
= 0 或者
g
=
a
2
f
=
cf
（
c
＞ 0，且为实数）
。在这种情况下，等式显然成立。
根据定理 2 即可得知，
f
与
g
的距离
具有以下属性：当
f
=
g
时，
f
，
g
之间的距离恒为 0；
g
，
f
之间的距离与
f
，
g
之间的距离相等；
f
，
h
之间的距离小于或等于
f
，
g
之间距离与
g
，
h
之间距离之和；当且仅当
g
=
af
+（1－
a
）
h
时
（0 ≤
a
≤ 1，且
a
为实数）
，等号成立
[7]
；
af
，
ag
的距离是
f
，
g
距离的|
a
| 倍。
正是长度概念的这些属性，使它可以在几何学 （与拓扑学） 中作为连续性、极限、极限点等概念的基础。我们也希望使用长度概念，并作出如下定义：
□ 连续性
连续性的假设是微积分的基础。如果函数在某点不连续，要么该点函数就没有定义，要么即便是自变量移动一个无穷小量，函数值也会变动明显乃至无限量。如果把我们日常生活中的许多量，如温度、距离、速度看作时间的函数，当时间变化任意小时，这些量的变化也会任意小。
中的一个函数
F
（
f
）
（即在
中定义的
f
，其值恒为
内的点，或恒为复数）
，在点
f
0
（位于
内的一点）
处是连续的。若对每个
ε
＞ 0，恒有
δ
＞ 0，使
，则有
或
（取决于
F
的值是
中的点，还是复数）
。若恒有
或
（
C
是一个经适当选择的固定常数）
，则称该函数在
上有界，或在
的给定子集中有界。类似的定义适用于多个变量。若数值
，
…收敛至 0，那么序列
f
1
，
f
2
…收敛于
f
，或有极限值
f
。如果在
中的序列存在一个极限
[8]
，那么该点是集合
（
是
的子集）
的一个极限点。尤其当
包含其所有的极限点时，则称
为闭集；若其极限点的闭包是整个
空间时，则称
“处处稠密”。
我们仍需证明 af ， f + g ，（ f ， g ）在其所有变量上都是连续的。因为
□ 哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）曾是东普鲁士的首府，普莱格尔河横贯其中。河中有两座小岛，河上有七座桥，将被河流隔开的两岸两岛连接起来。一天，有人提出疑问：能不能每座桥只走一遍，最后又回到原来的位置。1736 年，欧拉证明了这样的路线是不可能的。欧拉把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作是这四个点之间的连线，并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。哥尼斯堡七桥问题被看作拓扑学的先声。
前两个命题是显然成立的。进而，若我们由
代入
可得
当
时，该表达式趋于零，且可使其小于任意
δ
（
δ
＞ 0）。
如上所述，在
上定义的属性
A
，
B
使我们得出了许多推论，但这些推论尚不足以区分
之间，以及
与
之间的不同。到目前为止，尚未提及维数的概念。这一概念显然与线性无关向量的最大数量有关。若存在这样一个最大值
n
= 0，1，2，…，则对
n
可作出如下推论：
C （ n ） 恰好存在 n 个线性无关的向量。即可以指定 n 个这样的向量，但不能指定 n+ 1 个。
若不存在最大数，则有：
C （∞） 存在任意多个线性无关向量。
也就是说，对于每个给定的 k = 1，2，…而言，我们均可在 C （∞） 中给出 k 个这样的向量。
因此，
C
本质上不是一个新的属性。如果
A
，
B
成立，则
C
（
n
）
或
C
（∞）
中必然有一个是成立的。这样，我们就可以得到一个不同的空间
，这取决于我们如何选择。一方面，按照
C
（
n
）
的定义，可知
具有
n
维
（复数）
欧几里得空间的所有性质。另一方面，
C
（∞）
不足以证明空间
与希尔伯特空间
本质上的等同性，我们还需要两个附加假设
D
，
E
来证明二者的等同性。具体证明情况如下：我们将证明具有
A
，
B
，
C
属性的
拥有
的所有性质。特别是即将说明的属性
D
与
E
，它们是通过
A
，
B
，
C
（∞）
推导得出的。此外，我们将证明具有
A
，
B
，
C
，
D
，
E
属性的
拥有
的所有性质。但在这种情况下，附加属性
D
和
E
是必不可少的
（它们不是通过
A
，
B
，
C
（∞）
推导得出的）
。下面我们将继续对附加属性
D
和
E
加以说明。我们将在后续章节
（见 2.3 节）
证明所有
与
均具有这些属性。
D
是完全的
。
若
中的某个序列
f
1
，
f
2
，…满足柯西收敛准则
（对每个ε＞ 0，均有
，使得
，对所有
m
，
n
≥
N
成立）
，则该序列是收敛序列，即该序列具有一个极限
f
（见上文对该概念给出的定义）
。
E
是可分的。
若
中存在序列
f
1
，
f
2
，…，则该序列在
中为处处稠密。
在 2.2 节中，我们将如上文所述，以这些基本假设为基础，来创建空间
上的“几何学”，并区分两种情形：
与
。
[1]
赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）最早使用
A
，
B
，
C
（
n
）
来描述
的特征。如果我们想要得到的是
而不是
，那么自然需要用
C
（
n
）
来代替
C
（∞）
。在这种情况下，只有让
D
，
E
成为必要条件，参见本节后续的讨论。
[2]
除了原点或
中的零向量之外，还有数字0。因此，相同的符号可用于两者。但是，彼此间的关系就是这样的，只要结合上下文，应该就不会引起混淆。
[3]
充分条件为：若
f
属于
，则
af
也属于
；若
f
，
g
属于
，则
f
+
g
也属于
。那么，若
f
1
，…，
f
k
属于
，则有
a
1
f
1
，…，
a
k
f
k
也属于
。因此，依次有
a
1
f
1
+
a
2
f
2
，
a
1
f
1
+
a
2
f
2
+
a
3
f
3
，…，
a
1
f
1
+…+
a
k
f
k
也都属于
。
〔4〕
由埃尔米特对称性可知：（
f
，
f
）为实数。实际上，当
f
=
g
时，可得（
f
，
f
）=
。
[5] 如果 f 具有分量 x 1 ，…， x n ，那么根据 2.1 节对内积所做的观察（若局限于有限数目的分量），有
这也就是欧几里得空间中两点间的普通长度。
[6]
由于（
f
，
f
）为实数且不小于0，可知
为实数，且选择其不小于0的平方根。对
同样适用。
[7] 根据定理2（此处应用于 f － g ， g － h ）， f － g = 0，即 g = f ，或 g － h =0，即 g = h 或 g － h = c （ f － g ）（ c 为大于0的实数），即
或者可以写成
g
=
af
+（1－
a
）
h
，其中
a
分别等于1，0，
。在几何上，这表明点
g
与
f
，
h
共线。
[8]
关于极限点的以下定义也十分有用：当
ε
＞0 时，取任意值，
中均存在
f '
满足
。这两个定义的等价性，完全可以通过普通分析方法来证明。
