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中国数学在古代曾有过光辉灿烂的成就。可是在封建专制的束缚下，到了近代渐渐地落伍了。当二十世纪来临之时，中国数学与世界数学水平的差距，已在二百年以上。但是中国现代数学家并没有气馁。他们在十分艰难的条件下，执着地追赶世界数学的主流，逐步缩短差距，并从无到有地创建了现代中国的数学事业。八十年代的中国数学，总的来说仍然处于比较落后的状态，然而它的潜力是十分巨大的。中国数学进入世界数学先进行列的日子不会很远了。本文拟回顾二十世纪中国数学的发展历程，希望能从中找到可供借鉴的若干历史经验。
中国的洋务运动和日本的明治维新都开始于十九世纪六十年代，兴办近代工业的时间大体相近。但在科学的发展上，日本远比中国要快，数学也同样如此。1873年，日本学校中讲授的数学已经只限于西算，而中国学校迟至二十世纪初年才设立西算课程。1877年，日本成立东京数学会，而中国数学会的成立迟至1935年。也是在1877年，日本成立东京大学，下设有理学部，而和东京大学相当的北京大学，到1912年才开始设立。1879年，日本的帝国学士院成立
，半个世纪后的1928年中国才有中央研究院。从数学上看，中国学习西方比日本还早。1862年，日本高杉晋作、中牟田仓之助来我国上海，带回了李善兰和伟烈亚力合译的《代数学》《代微积拾级》等书籍
。这些书籍在日本影响很大。李善兰始译的数学名词如微分、积分、曲率、函数等，中日两国都沿用至今（“函数”在日本现称“関数”，这是为了减少常用汉字，以“関”“函”音同而借用的）。但自1894年中日战争之后，中国反向日本学习。1898年，中国向日本派遣官费留学生，至1907年，留日学生达一万五千余人
。学数学的人数无法统计，当亦不在少数。
1900年，当德国数学家希尔伯特（Hilbert，1862—1943）在巴黎的国际数学家大会上发表著名的演说，提出二十三个问题以预测二十世纪数学进程之时，中国的现代数学事业尚未诞生。1906年，在清朝的最高学府——京师大学堂使用的数学教科书中，《代数学》乃译自日本上野清所编的教材，程度仅相当于今日之高中代数。这时的教材仍是竖排本，以甲、乙、丙表示常数
a
、
b
、
c
，以天、地、人表示未知数。用“⊥”和“
”表示“+”和“-”
。思想之保守，由此可见一斑。
十九世纪末和二十世纪初，世界数学中心在法国和德国。执数学界牛耳的是庞加莱和希尔伯特。在中国当时派往法国和德国的大批留学生中，大多是学习工科；学习数学而稍有成就者，至今没有发现。据说，法国著名数学家波莱尔在1920年访华时，曾提起他有一位中国同学叫康宁。他们曾一起在巴黎高师学数学。但康宁回国后，在京汉铁路上任职，后被比利时人所杀，其余事迹均湮没无闻
。同在这段时间，日本的高木贞治于1898年到柏林和哥丁根的大学留学。希尔伯特把高木贞治引上代数数论的研究之路，进入当时数学的主流。当高木创立类域论，解决希尔伯特第九问题之时，日本数学开始跻身于国际先进行列
。1920年，在法国斯特拉斯堡举行的国际数学家大会上，高木贞治宣读了他的结果，引起国际数学界的注目。
这段中日数学状况的对比，说明工业的发展必须伴随科学的进步，包括数学的进步。而发展数学又必须瞄准当时的世界先进水平，奋力追赶世界数学发展的主流。先进的科学技术和第一流数学水平是相辅相成、同步发展的。
辛亥革命前后，中国大量向美国派遣留学生。1910年，在和胡适等一起赴美的留学生中，胡明复、赵元任等是学习数理科学的。赵元任早年攻读数学，后来又转向语言学和音乐艺术。胡明复在哈佛大学以《平直微积分方程式》
的毕业论文获博士学位。这恐怕是中国第一个以数学研究获博士学位的学者。两年后，姜立夫也在哈佛大学获博士学位。美国的数学，当时远不及欧洲大陆。因此，这两篇博士论文尽管属于现代数学研究，但离国际先进水平还有相当距离。
中国的数学高等教育，当从1912年成立北京大学时算起，那时设有格致科的高等数学目；1919年正式成立数学系。当时的教授有秦汾、冯祖荀等
。1919年的五四运动，使科学界获得极大的思想解放。在这股新潮流推动下，全国各地纷纷成立数学系。1920年，从美国回来的姜立夫在天津南开大学创办数学系。同年，北平师范大学数学系在冯祖荀的帮助下成立。随后胡明复也在上海大同大学办数学系。这一时期还有留欧、留日学者如熊庆来、何鲁、陈建功、苏步青等，在学成归国后陆续在新创办的东南大学、四川大学、武汉大学、中山大学、清华大学、浙江大学等校的数学系任教，为中国现代数学事业打下良好的基础。经过十余年的努力，到三十年代中期，一批青年数学家脱颖而出，成为日后中国现代数学的中坚，并且在国际数学界享有声誉。其中包括江泽涵、吴大任、陈省身（南开）、华罗庚、许宝騄、柯召（清华）等著名数学家。
二十年代末至三十年代的十余年间，中国出现了一批有较高水平的现代数学论文。1928年，陈建功在日本发表《富里哀级数绝对收敛之函数类》
，独立地得到了和英国著名数学家哈代相同的结果。这表明中国数学家的研究成果已达到国际水平，因而可以认为这是中国现代数学科学研究的真正开始。接着，熊庆来（无限级亚纯函数论）
、华罗庚（华林问题）
、苏步青（微分几何）
、陈省身（微分几何）
、许宝騄（数理统计）
等都做出了较高水平的工作。可是，同当时国际数学发展的主流比较起来，中国数学仍有相当大的差距。
那么，当时国际数学发展的主流是怎样的呢？从第一次世界大战结束到1933年希特勒法西斯上台，世界数学的中心在德国的格丁根。这一时期的纯粹数学正经历着更新换代的“蜕皮”时期。以理想论为中心发展起来的抽象代数（E.Noether, E.Artin），以量子力学为背景的李群论与泛函分析（H.Weyl, von Neumann），以同伦和同调为基础的拓扑学（P.C.Alexandloff, H.Hopf）成为此后纯粹数学的三大支柱。所有这些都产生在以格丁根为中心的欧洲大陆，苏联、波兰、匈牙利等东欧国家的数学都深受哥丁根学派的影响。
环顾中国三十年代的数学界，尽管成绩很大，但能进入以上三项主流圈的人很少。这里值得提出的是曾炯之。他于1931年到格丁根在诺特的指导下研究代数，以代数函数域上可除代数的工作获得博士学位。他的好几项工作被人称为“曾定理”，列入许多抽象代数学的教科书
。但是，曾炯之回国不久便逢抗日战争。他先在浙江大学教书，后辗转至西康省（今四川省西部）的西昌技术专科学校教数学。1943年不幸病逝。曾炯之进入了主流数学圈，却未能为中国现代数学事业作出更大贡献，令人惋惜。
这里，我们不妨再和日本数学比较一下。1927年正田建次郎从东京帝国大学毕业之后就跟随诺特学习代数学。1929年，末纲恕一也就教于诺特。他们回国后，在日本普及抽象代数思想，并沿着诺特的路线继续开拓，形成了日本的代数学派，为后来日本赶上国际数学主流打下了重要基础
。
当然，在我国数学家中，早年在格丁根留学的不止曾炯之一人。例如，跟随格丁根大学数学研究所所长库朗学习应用数学的就有朱公谨和魏嗣銮。尽管他们回国后做了不少工作，但因旧中国工业落后，应用数学无用武之地，加上种种条件限制，库朗的应用数学思想未能在中国生根。
总之，我国三十年代已有了自己的现代数学事业，前辈数学家为此付出了极大的努力，作出了突出的贡献。但是在灾难深重的旧中国，数学无法顺利发展。在不断开拓的数学主流圈里，还很少看到中国数学家的身影。中国数学与世界数学主流之间，仍有不小的距离。
1933年以后，世界数学中心从德国格丁根移到美国的普林斯顿（Princeton）。法国的布尔巴基（Bourbaki）学派也打破了函数论的一统局面，迅速赶上世界数学发展的主流。德国和日本的数学家度过了战争和战后的一段困难时期，也开始向主流数学挺进，其中杰出的代表是德国的希策布鲁赫和日本的小平邦彦。中国数学家在艰苦的抗日战争年代里坚持研究工作，到四十年代末中国数学开始成熟，一批二、三十岁目光敏锐的青年数学家相继进入数学的主流圈，向世界数学高峰挺进。
华罗庚是中国杰出的数学家。他首先在解析数论上突破，得出了最广泛的华林问题的解，系统地发展了三角和方法。从四十年代开始，进入代数领域，接连在体论、典型群和矩阵几何方面取得卓越成就。第二次世界大战后又转向自守函数、多复变函数及酉几何的研究，熔代数、分析、几何于一炉。这种不断进取的精神，表现了华罗庚在世界数学战线上搏击的勇气和决心，因而赢得了很高的国际声誉
。
许宝騄是本世纪数理统计学科发展中的重要人物。他在统计推断和多元分析上都有杰出贡献。他的工作往往是大量文献的起点，被人称作“数学严格性”的一个范本。许宝騄以精湛的数学技巧闻名于数理统计学界。他推进了矩阵论在统计理论中的应用，而且得到了许多矩阵论的新结果。这一切使他在数理统计发展史上占有重要的地位
。
陈省身是现代微分几何的奠基人之一。他在1935年去德国随几何学家W.J.E.Blaschke学习，后又到法国接受嘉当的指点。1943年赴美得到数学家外尔的指导。这些经历使他得以洞察当时数学发展的主流，终于为发展大范围微分几何作出奠基性的贡献。他所提出的示性类（陈类），影响遍及整个纯粹数学
。1946年，陈省身回国主持中央研究院数学研究所（当时所长是姜立夫，日常工作由陈省身负责），吸收了一些青年人进所，并拟定了一个向数学主流挺进的计划：设想在一个主流方向，集中最优秀的力量加以突破，取得世界上公认的地位，并以此为基础，把研究面拉开，逐步地攀登数学发展的主峰。这一主流方向就是代数拓扑。它在四十年代正处于蓬勃发展时期，且能影响整个数学的全局。这一计划虽然由于客观条件的变化未能实现，但是它的积极影响则不可忽视。当时在数学所的青年人先后有吴文俊、孙以丰、周毓麟、路见可、叶彦谦、曹锡华、陈杰、朱德祥、张素诚、陈德璜等，他们后来都成为中国数学界的骨干力量。吴文俊正是由此踏上拓扑学研究之路，日后果然取得重大成就。陈省身本人在这条道路上继续前进，成为世界著名的数学家。
在整个四十年代，我国的数学研究工作在许多方面取得了好成绩。陈建功、王福春的三角级数论，苏步青、白正国的射影微分几何都有系统的研究。代数方面则有李华宗、段学复和王湘浩等。柯召在不定方程和二次型问题上，李国平、庄圻泰在值分布论上，也有一些很好的工作。吴大任、严志达在积分几何学以及李群方面，闵嗣鹤在数论方面，徐利治在数值积分方面，江泽涵、吴文俊在拓扑学方面，也都有出色的研究
。一批后来长期旅居国外的华裔数学家，也取得颇高的成就。周炜良的代数几何，王宪钟、胡世桢的拓扑学，樊畿的许多著名的工作，钟开莱的概率统计等，都在四十年代的国际数学界上得到好评。因此，四十年代的中国数学尽管还有许多是属于比较经典的研究工作，但已经有相当多的数学家参加到主流数学的研究工作中去了。
解放以后，我国的科学事业获得了新的生命，数学的发展同样十分迅速。全面学习苏联使我国数学界得益很多，但由于指导思想上的某些片面性，也由于当时苏联数学存在一些弱点，因而我国数学发展又有某种忽视主流的倾向。
五十年代初是中国数学发展的最好时期之一。这一时期内，基础理论研究继续发展，华罗庚的解析数论和多复变函数论，吴文俊的示性类与示嵌类研究，苏步青的一般空间上的微分几何学，陈建功的直交级数论和单叶函数论，都不断作出新的成绩，而且又培养了一批青年数学家。与此同时，在国家的统一部署下，通过学习苏联，逐步建立起完整的研究体系。解放前十分薄弱的微分方程，计算数学、概率论、数学力学等重要学科从无到有，从弱到强，基本满足了国家经济建设和国防建设的需要。由于研究条件改善，数学教育蓬勃发展，数学杂志陆续创办，数学研究的规模迅速扩大，队伍不断得到补充，整个数学领域充满了生机。
由于五十年代的中国数学全面学习苏联，有必要谈谈对四十到五十年代苏联数学的一些认识。苏联具有优良的数学传统。欧拉（J.A.Euler，1734—1800）在彼得堡生活了几十年，罗巴切夫斯基（Лобачевский，1792—1856）开辟了几何学的新纪元。十月社会主义革命以后，苏联不管财政如何困难，总是支持数学家频频出访巴黎和格丁根。由于积极参加主流数学的研究，莫斯科很快成为世界数学的中心之一
。然而苏联数学在发展过程中也有一些弱点，出现一些曲折。例如苏联对数理逻辑研究的某种程度的忽视，是计算机发展落后于美国的原因之一。控制论被权威的《简明哲学辞典》（尤金编）说成是“产生于西方的一门伪科学”，因而在苏联得不到正常的发展，结果“只能在与不承认作斗争之中开拓自己的道路”
。再如苏联的康托洛维奇（Л．В．Кантрович）最早研究了线性规划（1938），但大量推广应用却在战后的美国。运筹学的研究也是苏联弱于美国。苏联有强大的概率论学派，却没有产生出具有世界声誉的数理统计学家。这些情况说明，苏联的应用数学在现代某些方面落后了。在纯粹数学方面，总的来说是强大的，但在拓扑学研究上却有过一些曲折。二十年代，苏联数学家П．С．亚历山德罗夫等开创了一般拓扑学和代数拓扑学研究，成果居于世界前列。但从三十年代中期到五十年代末，正当西方国家大力发展这门学科，出现大范围变分学，大范围微分几何等主流趋势时，苏联数学家在这个领域内却相对地沉寂下来。他们在把注意力放在数学为国民经济和技术部门服务的同时，似乎放松了拓扑学的开拓，因而出现偏离主流的现象
。
中国数学在这种情况下学习苏联，自然也不免带有这方面的印记。在众多的到苏联学习数学的学生中，学习微分方程、函数逼近论、概率论、计算数学、力学中数学方法等经典分析学科的居多，研习代数、几何、泛函分析的较少，学习数理逻辑、控制论、运筹学等现代应用学科，以及研究拓扑学和大范围数学的，可以说几乎没有。这种结构正是五十年代初苏联数学界的缩影。当然，由于我们自己指导思想上的片面性，把这种缺点更加扩大了。
进入六十年代之后，苏联情况有了很大变化。一些禁锢解除以后，一批卓有才华的青年数学家脱颖而出。像B.И．阿诺尔德，С．П．诺维科夫等都以拓扑学为工具迅速进入世界数学主流，在国际居于领先地位。后者以研究微分拓扑而获1970年的菲尔兹奖。1979年，P.Г．哈奇扬发现线性规划的椭球算法（与数理逻辑的分支计算复杂性有关），一时成为世界新闻。在对控制论的禁锢解除之后，1961年庞特里亚金（Л．С．Понтрягин）的数学控制论后来居上。这样一来，六十年代以后的苏联数学，已牢牢掌握了数学发展的主流，已非五十年代的旧日情景了。可是，也在这一时刻，中国与苏联的学术联系却告中断。在1966年以后的十年里，中国数学更处于完全封闭的状态。所谓和世界主流的联系，也就无从谈起了。在这种与世隔绝的环境里，纵然可以做出一些技巧性很高的优秀工作，也无法弥补与世界主流方向的差距。
七十年代后期，特别是进入八十年代以后，中国数学已经复苏。对外开放政策使中国数学界得以掌握世界潮流的信息，在良好的研究条件下，出现了一批优秀的研究成果。短短几年时间，一些享有盛誉的数学前辈培育出一大批的新人。一些缺门开始填补，一些难题有人敢问津。出国的学者在世界潮流推动下做出了国际性的好成绩。这一切都使人感到，中国数学的潜力正在萌动，历史的新一页正在翻开。
然而，由于我国偏离数学主流的时间实在太长了，许多弱点不可能很快得到克服。我国数学的发展当然有赖于过去的基础，总是在原来比较熟悉的课题上首先作出成绩，这无疑是必要的，现在的问题是怎样才能更上一层楼，放眼世界，到国际上更大、更重要的“主战场”去拼搏。这对青年人来说更为重要。有些学科，需要基础知识不多，又是驾轻就熟，“推广”“引伸”一下现有的结论，总是比较容易的。有些学科，要做几年准备方得入门，国内又无适当的指导，要做出成绩确实比较难。我们当然应该鼓励扶持敢于“碰硬”“碰难”的青年学者。
至于什么是当今数学发展的主流，似乎没有一个现成的答案。不过，从当今许多国际数学奖项获得者的工作和世界各主要数学研究的中心课题来看，当前最受重视的数学学科至少应包括：非线性偏微分方程、大范围微分几何、代数几何、低维拓扑、多复变函数论、无限维代数等。在应用数学方面，人工智能、计算复杂性、数理经济学、生物控制论等也是经常提到的课题。在这些方面，我们投入的人力相对地说还是太少。搞主流数学的、具有强烈主流意识、熟练使用主流数学中工具的数学家实在太少。这不能不说是一个隐忧。当然，主流与非主流是相对的，主流学科并非都先进，非主流学科也并非无所作为。著名的单叶函数的比伯巴赫猜想就是用相当初等的方法解决一个经典函数论问题，同样轰动世界。我们现在的问题是应该平衡发展，鼓励青年人向主流数学进军，到国际上去拼搏。数学也要“冲出亚洲”“走向世界”。
回顾二十世纪以来中国数学发展的历史，我们看到许多数学界的前辈学者披荆斩棘，在一片荒漠上开拓，不知流了多少辛勤的汗水，才奠定了中国现代数学事业的基础。在以实现四化、振兴中华为目标的八十年代，我们已有了良好的基础，中国的数学理应有一个大的发展。在一个十亿人口的大国里，蕴藏着巨大的数学潜力。一批富有才华的青年数学家已经崭露头角，更年轻的还会不断涌现，这是任何力量也阻挡不了的。只要我们放眼世界，精心组织，在中国国土上一定会产生第一流的数学成果，中国数学一定能够重新进入世界先进行列。
编者注： 本文原来是作者在1985年第二届全国数学史年会上所做的大会报告，后发表在《自然科学史研究》（1986年，第5卷第3期，第274页至280页）。