数学科学百年回顾

张奠宙

1900年，在巴黎举行的国际数学家大会上，德国数学大师希尔伯特在讲演的开始就说，“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不兴奋呢？” 接着，他提出了20世纪需要解决的23个数学问题。现在，20世纪即将过去，百年来数学面纱一层层被揭开。自然科学尤其是物理学的推动，以及电子计算机的出现，改变了人类社会的生活方式，也改变了数学本身。数学技术渗入到各行各业。希尔伯特问题多半已经有了结果。今天，数学家们又在为21世纪的数学问题进行构想。数学科学仍将一日千里地发展，在探索自然奥秘和推动社会发展中做出贡献。

一　20世纪数学的开端（1900—1918）：庞加莱和希尔伯特

本世纪之初，法国的庞加莱是无可争辩的数学领袖。他在三体问题、微分方程的定性理论、拓扑学等领域做了大量的原创性工作，成为开掘不尽的数学宝藏。如果说庞加莱主要以自然科学的实践背景为数学研究的源泉，那么，希尔伯特则更多地从数学本身的完善上寻求进步。他的著名工作有“数论报告”“几何基础”“抽象积分方程与抽象空间”。希尔伯特倡导的形式主义学派，成为20世纪的主导数学哲学。

这一时期最重要的数学事件，是爱因斯坦的相对论把新时代的几何学推到了科学的最前沿。四维时空的狭义相对论，产生了闵可夫斯基空间几何。弯曲时空的广义相对论，使得张量分析、黎曼几何、高维几何成为物理学革命的工具。我们生存的宇宙空间，可以用黎曼在1854年创立的高维流形和曲率理论来描述。人们不禁惊叹造化之工，数学之巧。

与物理学推动数学发展的同时，纯粹数学也在以惊人的方式大步前进。19世纪初法国傅里叶（J.-B.-J.Fourier，1768—1830）提出的调和分析，是众多数学分支的出发点。德国的康托尔从研究傅里叶级数的唯一性提出“点集”的概念，以后发展为“集合论”，成为所有抽象数学的表述工具。法国的勒贝格创立了建立在可列可加测度上的积分理论，使得许多黎曼意义下不可积的函数也可以进行傅里叶展开，实现了一次积分革命。康托尔和勒贝格建立的数学理论，常常涉及一些没有导数的病态函数，没有切线的奇异曲线，以及看上去千疮百孔的怪异集合。当时的数学家难以想象勒贝格积分竟会成为20世纪工程师手中的工具。

特别在康托尔的集合论中，关于无限集合的超限数理论很难使人接受。一个典型论断是，正方形一边上的点和对角线上的点一样多！康托尔本人也陷入了自己提出的一个悖论：“由一切基数构成的集合 S ，其基数将大于 S 中的所有基数”。这使康托尔日夜难寐。当时德国数学界的当权人物克罗内克（L.Kronecker，1823—1891）曾对康托尔的无限观进行猛烈抨击，反对康托尔进入柏林大学。康托尔于1884年起患精神分裂症，病情时好时坏，1918年病逝于哈雷精神病研究所内。希尔伯特是康托尔数学业绩的积极支持者。他曾说：“没有人能把我们从康托尔所创造的天国中赶走！”

1903年，英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素（B.Russell，1872—1970）在研究集合论时发现了一个十分简单的悖论：考察“一切不以自身为集中一元素的集合”所构成的集合 B ，此时若 x ∈ B ，则有 x ∉ B ；而 x ∉ B ，则又有 x ∈ B ，横竖都不对。这触发了数学基础的大论战，世称“第三次数学危机”。为避免罗素悖论，罗素提倡“逻辑主义”，认为数学即逻辑，只要数理逻辑没有矛盾，数学就不会有矛盾，而且是永远绝对正确。希尔伯特则提出“形式主义”，认为数学研究的对象，可以不必考虑实际意义，无非是一些对象按一套公理作形式演绎的结果。只要公理无矛盾、独立、完备，数学就永远绝对正确。直觉主义则采取保守态度，不承认“自然数全体所成的集合”，反对使用排中律，主张“数学对象的存在，必须能够构造”，因而把数学限制在很小的范围内。逻辑主义想把数学化归为逻辑的愿望未能实现，但留下了数理逻辑这门重要学科。希尔伯特的形式主义后来被奥地利数学家哥德尔的两个不完备定理所否定，寻求数学绝对严格基础的理想随之破灭。但是，形式主义的思想为后来的布尔巴基学派所继承和发展，对20世纪数学观念的影响极为深刻。直觉主义的思想过于保守，束缚了数学家的手脚，也没有得到广泛承认。只有“构造主义”的想法，随着电子计算机的出现，获得了新的生命力。

本世纪初，英国的分析学派非常强大。哈代（G.H.Hardy，1877—1947）和李特尔伍德（J.E.Littlewood，1885—1977）是领袖人物。他们在解析数论、单复分析、不等式、级数等“硬”分析领域中有很高建树。哈代发现并培养了印度传奇数学家拉马努金（S.A.Ramanujan，1887—1920）。拉马努金未受正规教育，在不知道什么是现代意义下的严格证明的前提下，完成了大量的数学工作。 拉马努金的笔记本上写满了大量公式，并没有详细证明。60多年之后，美国的伯恩特（B.C.Berndt）把拉马努金笔记本加以整理，完成证明，分三册出版。该书的研究表明，除少量公式有误之外，绝大部分是正确的。拉马努金是如何进行数学思考的？这一数学之“谜”，仍有待解开。

经典的数学应用工作仍在深入进行。力学、电学、光学、以及机械工程、建筑工程中的数学问题被大量研究。引人瞩目的工作是数理统计学以“生物统计学”的形式开始出现。标准差、平均差、相关等术语，在1901年皮尔逊（K.Pearson，1857—1936）创办的《生物计量学》（ Biometrika ）等杂志上陆续使用。

二　以格丁根学派为中心的黄金时期（1918—1933）

从第一次世界大战结束，到1933年希特勒上台，世界的数学中心在德国的格丁根大学。在格丁根学派的带动下，出现了20世纪数学发展的一段黄金时期。

格丁根是德国的一座小城，以格丁根大学而著名。大数学家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）曾长期在此工作。1886年，克莱因（C.F.Klein，1849—1925）来格丁根主持数学系，遂延请希尔伯特、闵科夫斯基（H.Minkowski，1864—1909）来校执教。格丁根不久即成为世界数学中心。第一次世界大战结束时，德国虽是战败国，但数学元气未伤。法国在大战中损失了一代大学生，巴黎高师的学生名册上布满了黑框。20年代的法国几乎是“函数论王国”，很少有新学科产生。一个例外是嘉当（É．J.Cartan，1869—1951），他在李群表示、外微分方法、活动标架法、微分方程组的研究上有独到见解，成为日后微分几何的经典性工作，只是当时未受充分重视。英国继续维持哈代的分析学派，没有新的突破。20年代的美国数学还远远落后于欧洲，前苏联、东欧诸国的数学刚刚起步。尽管优秀数学家遍布欧洲和世界各地，格丁根却是公认的世界数学中心。

20年代克莱因已经退休，希尔伯特也老了。闵可夫斯基则因病在1909年去世。但是新人在不断成长。希尔伯特的继承人是外尔，他是全才的数学大家，他创立的学科多不胜数。例如，数论中的一致分布理论、黎曼曲面、微分流形、算子谱论、偏微分方程、胞腔概念、规范理论、李群表示、数学物理等，都在他的手中得到改观。

克莱因的继承者是库朗（R.Courant，1888—1972）。他专长分析，在数学物理方程、差分方法、变分学等领域都有创造性的工作，尤其具有行政组织能力。1929年，库朗任格丁根数学研究所所长。

本世纪最伟大的女数学家诺特（A.E.Noether，1882—1935）在格丁根完成一般理想论，创立了抽象代数。出生于匈牙利的著名数学家冯·诺依曼曾是希尔伯特在数学基础研究上的助手。

20年代，前苏联的数学学派开始崛起，叶戈罗夫和鲁津领导的函数论群体，出现了像柯尔莫哥洛夫、亚历山德罗夫（П．С．Александров，1896—1982）那样的著名科学家。他们都和格丁根有密切联系。柯尔莫哥洛夫常到格丁根访问，他的成名作《概率论的基本概念》，用测度论和实变函数论方法，把概率论建立在完全严格的基础上。此书最初是用德文写成并发表的。亚历山德罗夫则和诺特联系密切。诺特对亚历山大罗夫建立代数拓扑学有关键性的建议。第一次世界大战之后，波兰数学发展迅速。这一学派的中坚人物，如谢尔宾斯基（W.Sierpinski，1882—1969）、斯坦豪斯（H.Steinhaus，1887—1972）都深受格丁根学派影响。

诞生于20年代的量子力学，是物理学的又一场革命。格丁根学派及时为量子力学提供了数学框架。冯·诺依曼的《量子力学的数学基础》，外尔的《群论与量子力学》成为一个时期的经典著作。

这一时期的数学成就，当以三个数学新分支——泛函分析、抽象代数、拓扑学——的形成为重要标志。它们的特色是：无限维空间，抽象的代数方法，几何上的大范围整体性质，显示出与19世纪的数学在研究对象和研究方法上的根本差别。

泛函分析起源于希尔伯特的抽象积分方程理论，其中使用了无限维正交系所生成的完备空间，现在称之为希尔伯特空间。1929年冯·诺依曼正是利用这一理论为量子力学提供了数学框架。此外，波兰的巴拿赫（S.Banach，1892—1945）提出了赋范空间，发展了该空间上的算子理论。

抽象代数以诺特于1926年发表的一般理想理论为主要标志。出生于奥地利的阿廷（E.Artin，1898—1962）也做出了开创性的工作。荷兰的范·德·瓦尔登于1932年出版的《代数学》是抽象代数早期工作的总结。

拓扑学的基本思想源于庞加莱于1896年所写的《位置分析》。由于康托尔集合论的影响，研究数列和函数各种收敛性的点集拓扑学随之产生，其代表作是德国数学家豪斯道夫于1913年完成的《集论纲要》。但是，意义更为重大的几何拓扑学由亚历山德罗夫和瑞士的霍普夫合作完成。他们合写的《拓扑学》（1935年）是拓扑学最早的经典著作。与此同时，美国的莱夫谢茨（S.Lefschetz，1884—1972）、亚历山大（J.W.Alexander，1888—1971）和莫尔斯（H.M.Morse，1892—1977）分别以拓扑不动点理论、曲面同调论和临界点理论为拓扑学增色。20年代美国的拓扑学是在世界上领先的少数学科之一。1930年，比利时的德·拉姆给出高维微分流形上微分形式和上同调性质的关系，是一项重要的成就。

1933年，柏林大学、格丁根大学等德国一流大学的校园内贴出告示，让一切犹太人离开学校。德国数学就此断送。

三　反法西斯战争时期的数学（1933—1945）

1930年以后，德国政局动荡，法西斯的阴影笼罩欧洲。冯·诺依曼首先觉察到未来的变化，于1930年到了美国的普林斯顿大学。此时，美国企业家资助的普林斯顿高等研究院刚刚成立。1933年之后，研究院首批聘请的6位研究教授是爱因斯坦、外尔、冯·诺依曼，以及3位美国数学家——亚历山大、莫尔斯和研究工作的组织者维布伦（O.Veblen，1880—1960）。这份名单预示着普林斯顿将是未来的世界数学中心。同时到达美国的有库朗、诺特、阿廷、哥德尔、概率学家费勒（W.Feller，1906—1970）、分析学家波利亚（G.Pólya，1887—1985）和切戈（G.Szegö，1895—1985）等等。那时美国正值经济大萧条时期，大学的经费相当困难，在维布伦等的努力下，美国容纳了这批精英人士，使美国数学迅速达到世界的顶峰。与此对照，德国数学一蹶不振。比伯巴赫（L.G.E.M.Bieberbach，1886—1982）提倡臭名昭著的“日耳曼数学”。富有数学才华的泰希米勒（O.Teichmüller，1913—1943）效忠希特勒死于战场。

数学家们积极投入反法西斯战争，并促进了数学的发展。

二次大战期间的科学成果中，对数学影响最大的，当然是电子计算机的研制和产生。冯·诺依曼在这一影响人类历史进程的工作中起了关键的作用。

1940年，英国和美国海军为了对付德国潜艇的威胁，发展了运筹学。这种旨在提高设备能力和使用效率的学问，战后大量用于经济部门。1938年，前苏联的康托洛维奇（Л．В．Канторович，1912—1986）发明线性规划的单纯形解法。战后美国的丹齐克（G.B.Dantzig，1914—）独立发现这种方法，他还在经济部门推广使用，产生了极高的经济效益。

1942年，柯尔莫戈罗夫和美国的维纳分别研究火炮的自动跟踪，形成随机过程的预测和滤波理论。1948年，维纳写成《控制论》一书，开辟了新的学科。

1939年开始，英国数学家图灵（A.M.Turing，1912—1954）帮助英国情报部门破译德军密码成功。

1944年，冯·诺依曼发展对策论，并用于太平洋海战。

美国政府组织的应用数学组（ATP），吸收了大批数学家参与工作，库朗和他的助手研究喷气式飞机、水下爆炸。代数拓扑学家惠特尼（H.Whitney，1907—1989）曾研究空中发射火箭。伯克霍夫负责考察水下弹道学问题。代数学家麦克莱恩曾是ATP的技术代表。统计学家瓦尔德（A.Wald，1902—1950）为减少实弹射击试验和节约弹药而提出“序贯分析”方法。出身于波兰的数学家乌拉姆（S.M.Ulam，1909—1984）参加原子弹的研制，并在计算和估计中发挥了关键作用。数学家的这些努力，对于提高数学在国家和公众心目中的地位，有十分重要的作用。

与应用数学迅猛发展的同时，纯粹数学也在继续前进。最引人瞩目的是法国的布尔巴基学派。当德国数学衰落之时，以迪厄多内、韦伊为代表的一批法国年轻数学家，冲破“函数论王国”的束缚，力图以结构主义的观点整理全部数学。1939年《数学原本》第一卷出版。他们的观点在二次大战之后影响巨大。

拓扑学继续迅猛发展。同伦论和同调论取得长足进步。分析学继续是数学的主体，但是代数学、微分几何正在成为现代数学的主流学科。此时最重要的结果有：美国的扎里斯基（O.Zariski，1899—1986）将意大利学派的代数几何学严格化。陈省身于1945年证明高维的高斯邦内公式，完成大范围微分几何的奠基工作。施瓦尔茨提出广义函数论。冯·诺依曼、前苏联的盖尔范德（И．М．Гельфанд，1913—）创建算子代数和赋范环论。前苏联庞特里亚金发展“连续群论”。英国的哈代、前苏联的维诺格拉多夫、中国的华罗庚继续在解析数论上创造新的成果。费勒、柯尔莫戈罗夫、辛钦（А．Я．Хинчин，1894—1959）等建立的随机过程理论，冯·诺依曼和乌拉姆创立的蒙特卡洛方法，在理论和实践上都有重大意义。

四　冷战时期的数学争雄（1945—1980）

第二次世界大战结束之后，美国和前苏联分别代表西方和东方国家集团的霸主，进入了长达几十年的冷战时期。从数学上看，战后的几十年，也是两国争雄的局面。普林斯顿高等研究院和莫斯科大学始终是世界两大数学中心。

50年代和60年代，是战后的恢复发展期。12年义务教育的普及，高等教育的大发展，为数学家们造就了极好的就业局面。数学家的人数大量增加，数学论文的数目呈爆炸之势，新的数学学科层出不穷。人们慨叹，在外尔和冯·诺伊曼于50年代先后去世之后，能够纵观数学全局的数学家，似乎已经不会再有了。只有1987年去世的柯尔莫戈罗夫也许是个例外。

尽管文献浩如烟海，重要的数学工作仍然十分令人注目。这里选取的当然是一些不完整的罗列：

希尔伯特第五问题——每个局部欧氏群一定是李群——于1952年获得完全解决。

柯尔莫戈罗夫与阿诺尔德（В．И．Арнольд，1937—），以及美国的莫泽（J.K.Moser，1928—）分别于1954年、1963年完成动力系统的KAM定理，已成为三体问题、哈密顿系统研究的经典成果。

美国的米尔诺于1956年发现，在8维空间中有一个流形，和7维空间中的单位球面同胚但不微分同胚，即所谓“米尔诺怪球”。

美国的斯梅尔于1960年证明广义庞加莱猜想。

英国的阿蒂亚和辛格于1963年将一般流形的拓扑结构和其上微分算子的核空间维数联系起来，得到深刻的阿蒂亚辛格指标定理。

美国的科恩于1963年证明，选择公理和ZF公理体系独立。

前苏联的诺维科夫于1965年证明微分流形的庞特里亚金类的拓扑不变性。

法国的格罗腾迪克于1966年建立格罗腾迪克群和环，并由此引入K理论。

在美国罗宾逊工作的基础上，前苏联的马季亚谢维奇（Матиясевич，Ю．В．1948—）于1970年解决了希尔伯特第十问题，即丢番图方程无有限步算法。

40年代由韦伊提出的韦伊猜想得到解决。格罗滕迪克首先取得重大进展，1974年其弟子、来自比利时的德利涅（P.Deligne，1944—）彻底解决。

大范围微分几何成为表述规范场论的数学工具。这是陈省身和杨振宁于1975年前后分别从数学和物理学上所得成果的统一。

美国哈肯（W.R.G.Haken，1928—）等于1978年在伊利诺伊大学完成四色问题的电子计算机证明。

在美国的布饶尔（R.D.Brauer，1901—1977）、汤普森（J.G.Thompson，1932—）和格朗斯坦（D.Gorenstein，1923—1992）等人的努力下，有限单群分类于1980年得到完全解决。

战后数学上最大的变化是电子计算机的使用。数学由此变成了一种技术——数学技术。科学计算成为继理论构建、实验考察之后的第三种科学研究方法。军事指挥、飞机设计、原子弹爆炸、化学反应、人口计划、气象预测、卫星定位、石油勘探、企业管理，一切都可以运用数学模型在计算机上进行。数学为人类创造了巨大的财富，节约了无数的资源，这一切却很少被公众所充分了解。以数学工作获得诺贝尔经济学奖已是十分常见的事情。

在这基础上，许多纯粹数学得到料想不到的应用。例如，有限域用于密码学，数论用于近似计算，纤维丛理论用于规范场，拉东变换用于CT扫描，拓扑学用于DNA分子结构，等等。同时，由于计算机科学和人工智能的需要，组合数学得到了迅猛的进展。计算复杂性形成了一门艰深的理论。寻求多项式算法成为数学家注意的焦点。1979年苏联哈奇扬（Л．Г．Хачиян）提出线性规划的椭球算法，以及后来的卡玛卡算法都是轰动一时的新闻。起源于实际、却又大胆创新的学科相继涌现，例如，模糊数学、非标准分析、突变理论。它们创立者都认为自己的工作将是数学的一场革命，但这需要时间的检验。

总之，二战以后，数学向科学女王和科学侍女两极发展。一方面，纯粹数学继续向高、深、难的方向进军，范畴、流形、纤维丛、多复分析、代数簇、上同调、鞅、分枝等新领域不断得到开拓。数学研究的对象从低维空间到高维空间以至无限维空间，函数和方程的研究从单变量发展到多变量，已经大体完成了的线性数学走向非线性数学，决定性数学和随机现象的数学彼此融合和渗透。数学仍保持着至高无上、完全正确的华贵形象。另一方面，数学又极力为其他科学服务，为人类的生活服务，走近常人的生活，使应用数学广泛渗入各门学科（包括社会科学）中去，科学数量化的进程可以说无孔不入，数学确已成为人们忠实的科学侍女。

五　数学多极化时代来临（1980年至今）

进入80年代，世界的政治经济出现多元化的格局，数学也进入了多元化格局。一个大体的描述是：“美国、前苏联继续领先，西欧紧随其后，日本迎头追赶，中国和其他地区正在迅速发展。”1991年苏联解体使得原苏联地区的数学有所削弱，但其数学基础和研究实力仍然十分强劲，不可低估。

经过二次大战以后，数学家队伍有了空前的扩大。数学工作市场有饱和的迹象。纯粹数学研究仍会保持前进的态势，但要求有更高的研究水平，产生更有意义的成果。一些“无病呻吟”“滥竽充数”的数学论文将会受到冷落，优胜劣汰的法则已经比过去更加严厉地在数学界通行。一个最激动人心的事件是费马大定理的证明。1983年，德国的法尔廷斯证明费马大定理如果有解，至多有有限个互素解。1993年6月，英国的怀尔斯（A.Wiles，1953—）在前人工作的基础上宣布费马大定理是正确的（最终证明于1994年9月完成），这是人类智慧的伟大象征，是20世纪末最高的一项数学成就。

数学家大批转向计算机科学和人工智能领域，乃是就业市场自然调整的结果。同时计算机的威力扩大和延伸了数学家的脑和手。非线性数学的发展得力于此。80年代以来，混沌理论、分维几何、孤立子解、小波分析等数学热点，没有不和计算机发生联系的。

数学和物理学层面的交融，仍然是数学发展的重大源泉。1987年，英国的唐纳森在杨-米尔斯方程的求解过程中，发现四维空间中有一种流形，具有两种不同的微分结构，大出人们的意料之外。美国物理学家威滕（E.Witten，1951—）用物理学方法推演数学问题，虽然没有严格证明，却得到了正确的数学结果。希尔伯特的形式主义数学哲学，布尔巴基的结构主义数学观，在威滕工作面前显得无能为力，数学中经验主义是否正在复兴？只有猜想没有严格证明的“理论数学”是否允许存在，正严肃地摆在数学界的面前。

六　20世纪的中国现代数学

中国现代数学之开端可以追溯到徐光启（1562—1633）和利玛窦（R.Matteo，1552—1610）于1607年翻译出版欧几里得的《几何原本》。清末李善兰（1811—1882）曾和伟烈亚力（A.Wylie，1815—1887）于1859年译出美国数学教材《代微积拾级》，李善兰恒等式至今犹有价值。1898年京师大学堂成立，先后派遣一些学生到日本学习数学。其中有冯祖荀（1880—1943），后来长期担任北京大学数学系主任。清末到美国学习数学的有胡敦复（1886—1978）、郑桐荪（1887—1963）、秦汾（1887—1971），起过一些先驱作用。1909至1911三年中，因美国退回部分庚款而选送三批中国留学生到美国留学。以学习数学而著称的有胡明复（1891—1927），他是中国第一位数学博士（1917年于哈佛大学获得）。姜立夫（1890—1978）于1911年到美国，1918年也在哈佛获博士学位。与此同时或稍后，何鲁（1894—1973）与熊庆来（1893—1969）到欧洲研习数学。他们回国后推动中国各大学数学系的创办，奠定了中国现代数学的基础。

30年代的清华大学数学系实力雄厚。特别是陈省身和华罗庚两位青年学者的到来，使中国数学开始走向世界。江泽涵（1902—1994）致力于北京大学数学系的发展。从日本回来的陈建功（1893—1971）和苏步青建设浙江大学数学系，使之成为中国数学发展的又一基地。到了抗日战争时期，西南联合大学已拥有陈省身、华罗庚、许宝騄（1910—1970）这样具有很高声誉的数学家，和其他数学家一起，中国现代数学开始接近世界先进水平。

1949年之后，中国数学界的规模迅速扩大，数学门类逐渐齐全，并能够为国民经济和国防事业服务，华罗庚和吴文俊等大批旅外数学家回国。陈景润（1933—1996）等年轻数学家成长很快，出现了一批在现代数学研究上卓有贡献的中国数学家。1966年开始的十年动乱，使数学前进的势头锐减，以至瘫痪。80年代以来，经过恢复时期，新一代的数学家成长起来。从1986年开始，吴文俊、田刚、林芳华、张恭庆、马志明、励建书、李骏等先后应邀作国际数学家大会的45分钟报告。陈省身获沃尔夫奖，丘成桐获菲尔兹奖，使中国数学界受到鼓舞。“21世纪的数学大国”是中国数学界的共同愿望，经过几代人的不懈努力，这一理想正在逐步变为现实。

展望未来，我们需要总结过去几百年世界数学走过的道路。纯粹数学研究中的原创性，开辟新学科新方向的意识和动力，以及在各行各业中数学意识的增强，克服国内应用数学发展的不平衡，也许是中国数学面临的严峻挑战。

编者注： 原文载于《科学杂志》（1999年，第51卷第1期，第40页至45页）。 uKPSzJzlquycmwFPd6YInkH0QtwvW2tdUsKT2WDoA/DUiHJD6OAQzyfstN7hI444