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几何学历来是整个数学的基石，但在十九世纪，代数和分析的巨大发展，却使几何学研究相形失色。不用说欧氏几何已无人再作研究，连射影几何也已臻完善，乏人问津。1872年，克莱因（F.Klein）发表《埃朗根纲要》（ Erlangen Programm ），几乎把几何看成群论的一部分。不过，几何学的生命力是强大的，它有一块生机盎然的绿洲，那就是微分几何。
微分几何本来不过是微积分在几何中的应用。求曲线在一点的切线，相当于求函数在一点的微分，而要给出闭曲线所围区域的面积，就归结为求积分，但是物理世界的曲线、曲面是异常复杂的，反过来又向整个数学提出许多重大问题。狭义相对论促使闵可夫斯基（Minkowski）研究四维时空中的几何学（1907年）。广义相对论找到黎曼几何作为合适的数学工具（1916年）。外尔（Weyl）提出的统一场论导致联络几何学的发展（1918年）。在此以后，“高维空间的曲面”“多变数的函数关系”“几何图形的整体性质”等几何学课题成为二十世纪数学发展的中心问题之一，微分几何学越来越显示其重要性。现代微分几何的成就，成了数学中的精品。
微分几何的始祖是高斯。他把几何局部化了。他以曲面的第一基本形式为核心建立起曲面论，从而将“平直”的欧氏空间上的几何推广为“弯曲”的曲面上的几何。受高斯这内蕴几何的启示，黎曼（B.Riemann，1826～1866）在1854年的一篇就职讲演中，提出了 n 维流形上的微分几何，这就是黎曼几何。
继黎曼之后开展研究的，主要有贝尔特拉米（E.Beltrami，1835～1900）、克里斯托弗尔（E.B.Christoffel，1829～1900）和利普奇茨（R.Lipchitz，1832～1903）。他们的论文都发表于1870年前后。克里斯托弗尔是一位开拓的大师，他先后在瑞士的苏黎世和法国的斯特拉斯堡任教，影响很大。意大利学派沿着他的思想继续前进。比安基（L.Bianchi，1856～1928）第一个用“微分几何”的名称写了一本书（ Lezionidi Geometria Differenziale , Pisa，1893）。另一位意大利数学家里奇（G-Ricci，1853～1925）完成了他自称为“绝对微分学”的工作。他的学生莱维西维塔（T.Levi-Civita，1873～1941）又进一步加以完善。这门学科现在通称为张量分析，那是大物理学家爱因斯坦给他起的名字。
黎曼几何之大受重视，是由于爱因斯坦的广义相对论的推动。爱因斯坦经友人格罗斯曼（M.Grossmann，1878～1936）的帮助掌握了张量分析的工具，把它作为广义相对论的合适数学框架。究其实质，乃是爱因斯坦把引力现象解释成黎曼空间的曲率性质，物理问题随之变为几何问题。于是黎曼几何不再限于数学家的圈子，物理学家也把它作为追逐的目标。这一现象一直持续到今天。
微分几何中除了黎曼的观点之外，还受克莱因用变换群对几何学进行分类的思想的影响，因而出现了许多研究支流形的学科，如仿射微分几何，保形微分几何，射影微分几何等，在本世纪初曾相当活跃。
将上述两种观点融合在一起的是法国数学家嘉当（E.Cartan，1869～1951）。他建立的外微分和李群上的研究工作，成为本世纪初叶微分几何的两大柱石。受外尔统一场论启发而发展的广义空间联络理论，乃是里程碑式的收获。
从黎曼到嘉当，一直在将三维空间的曲线论和曲面论推广到高维情形，即研究一般的 n 维流形。向量概念不够用了，因之出现了张量概念和张量分析，为了对 n 维流形上的向量场进行微分，相应地引入了“联络”的结构。仿射联络就是加在微分流形上使我们能对张量场进行“微分”的结构。从物理学上看，在引力场的作用下，狭义相对论所用的“平坦”的闵可夫斯基四维空间，不得不让位于“弯曲”的四维黎曼流形。即研究高于三维的“弯曲”空间，并非数学家的单纯形式推广，而有其深刻的物理背景。
在1930年之前，包括嘉当的工作，基本上仍是研究流形上的局部性质，绝少涉及整体性质。所谓局部性质是指流形上一点附近的性态。例如在曲线上某点 P 处作切线，就只涉及点 P 周围的局部特性，而和这条曲线从整体上看是否闭合这类大范围性态无关。二十世纪兴起的组合拓扑和代数拓扑为研究几何对象的整体性质提供了工具。举例来说，球面 S 2 和象救生圈一样的环面 T ，从整体上看是完全不同的，但它们的局部性态很相似，即 S 2 上的一小片和 T 上的一小片差不多，结构上没有什么不同。人们用代数拓扑工具可以指出 S 2 的基本群是以单位元为唯一元素的平凡群，而 T 的基本群则是有两个生成元的交换群。因为基本群的不同，刻划了 S 2 和 T 的整体结构是不同的。
当微分几何与拓扑学相联系，采用大范围李群作为工具的时候，现代微分几何的征程就开始了。现代微分几何的目标是研究 n 维微分流形的整体性质，特别是整体性质和局部性质之间的关系。
在这方面的先驱工作有布拉施克（W.J.E.Blaschke）关于卵形线和卵形面的研究（1923年，1929年），霍普夫（H.Hopf）关于常曲率黎曼空间结构的研究（1925年）等。三十年代后，微分几何开始大踏步地前进。
首先是莫尔斯（M.Morse）的大范围变分学（1934年），它把曲面的拓扑性质与某个变分问题联系起来，得出了著名的莫尔斯不等式，变分学的第二变分可从局部性质的曲率得到流形的整体性质。
霍奇（W.V.D.Hodge）的调和积分论是第二个重要的工作（1941年）。他引入流形上的调和微分形式，并建立了和流形的拓扑结构（贝蒂数等）之间的联系，成为研究流形同调性质的分析工具。
关于微分流形的基本事实是微分流形的上同调，可以用流形上的微分形式来表述。这就是德·拉姆（De Rham）定理（1931年）。
对微分几何有重要意义的工作是关于微分流形示性类的研究。施蒂费尔惠特尼（Stiefel-Whitney）示性类（1936年，1937年），庞特里亚金（Понтрягин）示性类（1940年）都是十分重要的。
陈省身是整体微分几何研究中的一位领袖人物。1944年，陈省身证明了 n 维黎曼流形上的高斯邦尼（Gauss-Bonnet）公式，这是整体微分几何学的一个经典定理，接着他认识到嘉当的“联络”概念和惠特尼提出的纤维丛有密切联系，从而再次把微分几何推进到大范围情形。1946年发表的《爱尔米特流形的示性类》（ Characteristic Classes of Hermitian Manifold ）具有深远的意义。这一被人称“陈”类（Chern class）的基本不变量，不仅对现代微分几何是重要的，其影响几乎遍及整个数学。
陈省身于1911年出生在浙江省嘉兴市，15岁时在天津的南开大学攻读数学。1931～1934成为清华大学的研究生。1934年秋去德国的汉堡大学，随布拉施克学习，并于1936年获博士学位。接着去法国受到嘉当的指导，这使他迅速达到现代微分几何研究的前沿。1937年中日战争爆发，他回到战时的中国，在昆明的西南联大渡过了艰苦的年代。1943年，外尔所在的普林斯顿高级研究院邀请陈省身去美国访问。陈省身乘坐美军的飞机辗转来到普林斯顿工作，接受外尔的指导。外尔是本世纪上半叶最伟大的数学家之一，在那时能够洞察微分几何的发展。陈省身在1944～1946的两年中，做出了上述那些令人惊羡的工作，不妨说，现代微分几何就是从此开始的。陈省身的三位导师，布拉施克、嘉当、外尔都是本世纪上半叶微分几何的代表人物，沿着他们的路继续开拓的陈省身，成为他们事业的杰出继承人。由于陈省身对数学的卓越贡献，他在1984年荣获沃尔夫奖，这是世人公认的数学最高奖之一。
陈省身曾经在中国领导过中央研究院的数学研究所，虽然时间不长，但培育了一批青年人，对后来中国数学的发展很有影响。从五十年代起，陈省身一直在美国工作。1981年，美国国家基金会资助成立两个新的研究所，其中之一是位于加利福尼亚大学伯克利分校的数学科学研究所，陈省身为第一任所长。从七十年代起，他经常回到中国，致力于发展中国的数学事业。1984年他的母校——南开大学聘请他担任南开数学研究所所长。
八十年代的微分几何仍然充满活力。正在发展和可以研究的方向，多不胜数。整个宝藏的挖掘，未及十一，就以1982年的三位菲尔兹奖的获得者来说，他们的工作都在分析学和几何学交界的领域，都和微分几何有关。陈省身的学生丘成桐当然以与微分几何有关的题目得奖。就是以研究算子代数著称的法国数学家孔湼（A.Connes），近期却因发展了非交换的微分几何而享誉数坛。第三位得奖者是瑟斯顿（Thurston），他研究的叶状结构和三维双曲流形，也和微分几何的发展密切相关。这些事实，再一次说明微分几何学处于当代数学发展的主流。
微分几何与物理学的结合也是科学史上的一件大事。早已知道，具有联络的主纤维丛为经典的规范理论，例如电磁理论和杨-米尔斯理论，提供了几何模型。同样地纤维丛也是研究磁单极和瞬子必不可少的工具，至今尚在继续发展。1983年，根据唐纳森（S.Donaldson）的工作，四维流形的研究有重大的进展，其中一个惊人的结论是：在四维空间中存在一个非标准的微分构造。四维空间是物理的时空，在数学上有无数奇特的性质。我们如果想到曲面和黎曼曲面在近代数学中所起的作用，可以想见四维流形的研究必然在今后几十年内成为一股主流。在另一方面，孔纳斯把微分几何推到无穷维的空间。而无穷维的结构有时比有穷维的更为美妙，如卡斯穆迪（Kac-Moody）代数，这将是微分几何研究的另一主流。
编者注： 原文载于《科学杂志》（1986年，第38卷第4期，第309页至310页）。