现代纯粹数学的若干发展趋势

张奠宙

美国数学家穆尔（E.H.Moore，1862～1932）曾说过，“所有科学，包括逻辑和数学在内，都是时代的函数”。当代数学的特点如何？高维、多元、高次是一个特征。

人们通常把二十世纪的数学称为现代数学。这不仅仅是一个时间上的划分。事实上，不论从精神实质还是从内容范围上来说，二十世纪的数学都和十九世纪的数学有很大的不同。这一深刻的变革大致发生在本世纪初年。二次大战以后，电子计算机的出现又使数学发生重大转折。现在，二十世纪只剩下最后的15年了。回顾过去数学发展的历史足迹，认清现代数学的基本特点，对于发展中国现代数学事业，可能是有益的。当然，这是一项巨大的工程，非当代大数学家无力承担。笔者孤陋寡闻，更不敢望其项背。不过近几年来常常听说外国著名数学家批评中国数学太“传统”、太“古典”，缺乏“现代数学思想”，于是不得不去思考一下数学的现代趋势究竟是怎么一回事，并由此研究振兴中华数学之良策。以下仅就个人经验所及，加以“道听途说”提出几点看法，期能抛砖引玉，获得名家的指正。

一　高维多元高次的时代

就纯粹数学而言，当前最引人注目的纯数学课题似乎是“三维以上空间的几何学”“多个变量函数的分析学”和“高次（非线性）方程（微分方程）的求解”等课题，这也许是本世纪许多大数学家追求的目标。英国数学家、菲尔兹奖获得者阿蒂亚（M.F.Atiyah，1929～2019）这样说过：“如果要找一个单一的主要因素把十九世纪和二十世纪的数学加以区别，那么我认为研究多变数函数的日益重要性就是这样的因素。”

从单变量函数到多变量函数组，其差别主要在几何方面，也就是一维空间和高维空间的区别。一维空间（即全体实数）里的几何是没什么意思的，要谈几何起码要二维，即平面几何。一维问题变化很少。例如，一条直线上在原点只有两个方向，而在平面上的原点处却有无限多个方向。单变量函数只须看左右极限、左右导数就行，多变量情形就得考虑无限多个方向导数，研究梯度方向。再如，一维空间里的坐标变换无非是平移和反射，二维情形就复杂多了，它的坐标变换包括无穷多个旋转（这涉及一个参数 α ）：

这时的两个旋转变换是可以交换的。如果在三维情形，也有无穷多个旋转变换，这时有两个参数，而且两个旋转变换一般不能交换，复杂程度又进了一层。二十世纪的数学，有许多就是研究高维空间几何的。例如从黎曼（Riemann，1826～1866）到嘉当（E.Cartan，1869～1951）一直在将二维或三维空间中曲线论和曲面论推广到 n 维情形。产生以 n 维微分流形为研究对象的现代微分几何学。三维向量概念推广到 n 维向量，三维向量积成为 n 维向量外积的特例。向量分析不敷应用，因而有张量分析的产生。为了对 n 维流形上的向量场进行微分，相应地引入了“联络”的结构。从物理上看，狭义相对论要求四维空间（三个位置坐标，一个时间坐标），即闵可夫斯基（Minkowski，1864～1909）四维时空。广义相对论考虑引力场的作用，“平坦”的闵可夫斯基四维时空，让位给“弯曲”的四维黎曼流形。因此，研究高于三维的“弯曲”的空间，并非数学家的单纯形式推广，而有其深刻的物理背景。

高维空间的复杂几何结构给多变量函数的研究带来许多困难。就以一元复系数多项式 p （ x ）来说，它的零点（即 p （ x ）=0的根）总是 n 个复数，结构很简单。但是一个二元多项式的零点就是一条曲线， x 2 + y 2 —1的零点的全体是一个圆，至于 n 元的高次方程组的解，那就十分复杂。二十世纪的代数几何学家全力投入研究，结果虽多，但整个宝藏的发掘，恐怕未及十一。单变量的复解析函数已是两个实变量的函数，故多值函数的黎曼面很使人头痛。不过单变量解析函数的零点仍是孤立的，而且复平面的无穷远点只有一个（加入一个无穷远点∞的复平面相当于一个球面），这就简单多了。那么两个复变量的复变函数 w = f （ z 1 , z 2 ）会怎样呢？首先还是遇到几何上的困难。两个复平面的笛卡儿乘积 C × C 上的无穷远点就不是一个点（∞，∞）了，（ z ，∞），（∞， z ）也是无穷远点，这使情况大为复杂。其次，在单变量复变函数时，只要考虑单位圆盘｛ z ∶｜ z ｜≤1｝作为典型定义域就行了。而在 C × C 上，要考察｛（ z 1 , z 2 ）：｜ z 1 ｜ 2 +｜ z 2 ｜ 2 ≤1｝，也要考虑｛（ z 1 , z 2 ）：｛ z 1 ｝≤1，｜ z 2 ｜≤1｝。这两种结构不同的典型域上，就会有许多不同的函数特性，例如不同的柯西（Cauchy）公式。与此同时，双复变解析函数的零点也不再是孤立点了，例如 的零点集由满足 z 1 =0或 z 1 + z 2 =0的（ z 1 , z 2 ）所组成，这就是一个流形。因而多复变函数论成为深奥而又精美的数学学科，其根源正在于“高维”。

由线性向非线性的过渡，乃是从“一次”向“高次”的进军。线性方程组、线性微分方程、线性空间、线性算子等等已经相当成熟了。基本定理和基本理论均已建立起来。现在虽然还在继续深入研究，但是更多的数学家已转向非线性问题的研究。非线性分析成为世人瞩目的热门课题。

近年来的数学成就中，享誉数坛的仍是高维、多变量、非线性方面的工作。1983年，联邦德国的青年数学家法尔廷斯（Faltings 1954～）解决了莫德尔（Mordell）猜想。这个猜想是说：任何一个不可约的有理系数二元多项式，当它的亏数大于或等于2时，最多只有有限多个解。举例来说，在法尔廷斯之前，人们不知道 y 2 = x 5 + n （ n 为非零整数）是否只有有限多个有理数解。这是一个高次多变量问题，属于代数几何学范围。问题看上去十分简单，却用了十分高深的工具，而且整整用了60年。

也是在1983年，唐纳森（Donaldson）指出，与一般 n 维空间不同，在四维空间中至少存在两种不同的微分结构。四维空间的这一奇妙性质，立刻轰动了整个数学界。人们预料，这也许是含义深刻的物理法则的一种反映，因为黎曼曲率张量正好需要4个指标。这里也说明一个令人深思的现象：一般的 n 维空间更为复杂，但三维、四维空间往往更具特色。例如著名的庞加莱猜想：一个单连通的闭 n 维流形一定和 n 维球面同胚。在一维和二维情形早有定论。1960年斯梅尔证明当 n ≥5时猜想成立。到八十年代据报道已对 n =4或 n =3证明也成立，但难度很大，方法也不同。此外，五维空间也有特殊结果，七维空间中存在著名的米尔诺怪球，这又形成了一个新的学科——低维拓扑学。这里的低维是指一般高维中的低维。

非线性偏微分方程在七十年代获得重大突破，其工具是高维空间大范围变分法——莫尔斯（Morse）理论。

1982年获得菲尔兹奖（国际数学最高奖之一）的有三位数学家，他们的工作都和高维空间的拓扑学有关。丘成桐的工作是用非线性偏微分方程求解现代微分几何难题和猜想。瑟斯顿（Thurston）涉及三维空间流形的几何构造，至于孔涅（Connes）的业绩主要在算子代数方面，但他搞出来非交换微分几何却是非线性有限维问题和线性无限维技巧的巧妙结合。这些，都反映出当今数学的主流。

现在我们不妨看看国内的某些现状。我国大学数学系的课程似乎过份“经典”，知识结构局限于“单变量微积分”“一元多项式”和“多元线性方程组”。几何知之甚少，拓扑很少触及，现代非线性分析、代数几何等几乎没有概念。至于现行教科书中的多元函数微积分，无非是偏导数、累次积分，基本上是单元做法，并无真正的“多元”气味。听说现在苏联教科书已有很大变化，已非我们曾经熟悉的五十年代旧面貌。专家们正在呼吁“缩小经典分析”，“增加现代的代数和几何课程”，“用多元多项式理论取代一元多项式理论的教学”。这些建议，十分重要，而且及时，它必将为振兴中华数学，实现数学现代化开辟道路。

二　从局部结构迈向整体结构

二十世纪以来，数学越来越从研究具体的数量关系转向研究数学结构。有些问题定量太难，退而求其次，先研究定性问题。此外，还有些事情其实和表面上的数值无关，其关键在于整体各部分之间关联情况。人们常说，数学主要研究纯粹的数量关系，而把客观事物的属性撇在一旁。现代数学则更进一步，它把许多数学对象的某些数量关系撇在一旁，只是定性地考察它的结构。比如在拓扑学里，我们有时把圆周和椭圆当作一回事，因为尽管两者在几何形式上不同，在数量变化上大小不一，但若只考虑其整体结构，无非都是把一条线段的两头闭合起来，在连结无线电元件时，关心的是它们的接头位置，连结方式，却和导线的长短无关。这就从实际上说明了几何图形中的结构往往比外形上的数量更重要。

表达数学结构的语言，代数占有突出地位。群、环、域都是代数结构，它们反映了代数运算所应具有的性质。序结构也是一种基本结构。实数之间是全序关系，即任何两实数总可比较大小（包括相等）。但集合之间的包含关系，则只是半序关系，因为任意两集之间，可以谁也不包含谁。区间［ a , b］ 上的所有函数之间的大小也只能定义半序，因为任何两个函数 f （ x ）， g （ x ），可能在［ a , b］ 的某些点上有 f （ x ）< g （ x ），但有些点上 f （ x ）> g （ x ）。

法国的布尔巴基学派认为数学上有代数结构、序结构和拓扑结构三种母结构，由此可派生出许多子结构。例如全体实数 R ，其结构就是一个完备的阿基米德全序域。其中“完备”涉及拓扑结构，“全序”是一个序结构，“域”则是代数结构，阿基米德性质是指对任意正实数 M 和 a ，总存在自然数 n ，使 na > M 。这就涉及序结构（>）和代数结构（两数相乘）。数学上把同构的东西视为同一，可以说同构是相等的某种拓广。从研究数量关系到研究结构，无疑是数学思想上一大转变。至于有些人说结构不过是一种广义的数量关系，当然也无不可，但那不过是“数量”一词的含义不同而已。

“结构”思想在十九世纪已经发端。罗巴切夫斯基（1702～1856）的非欧几何是与欧氏几何不同的空间结构，群则是伽罗瓦（Galois，1811～1832）首先提出的。高斯（Gauss，1777～1855）给出了曲面上的度量结构。进入二十世纪，“结构”数学的研究，形成了发展主流，其中最重要的特点之一则是由局部结构向整体结构的进展。

从结构的观点看，微分主要研究局部性质。一个单变量函数 f （ x ）在 x 0 可微，就是曲线 y = f （ x ）在（ x 0 , f （ x 0 ））处的附近可用切线近似，通常叫做局部线性。积分虽然反映一个函数的整体性质，但只是一个数值，比较粗糙，那末究竟什么是整体结构呢？试看一个球面 S 2 和一个环面 T 的差别。球面可以看成是用一块平面像做包子一样粘起来的（前述的球极平面投影），而环面则是一个正方形先将对边联结构成圆柱面，再将两头拼接而成。所以 S 2 和T形成的方法完全不同。同时，一刀可将 S 2 切成两半，但一刀却不一定能将圆环分离为两部分。这表明它们的整体结构不同。但是就它们的局部来看，球面上的一小块和环面上一小块结构很相似。一只近视的蚂蚁在球面上所见和环面所见略同，再如一条带子，将两头正向相接成为圆柱面，但如掉一头相接便成了麦比乌斯（Möbius，1790～1868）带。从带上某点局部看，圆柱面和麦比乌斯带上都是同一块地方，彼此没有什么差别，但从整体上看，却有单侧曲面和双侧曲面的本质差别，也就是整体结构的差别。研究整体结构的数学是伴随着代数拓扑学和微分拓扑学而发展起来的。这些整体性质的研究也称大范围数学，发端于三十年代。大范围变分学（莫尔斯理论），大范围李群，大范围微分几何学等都是因使用代数拓扑工具而别开新生面。拿微分几何来说，曲线的切线，曲面的切平面等等都是局部特性的研究。其中也有整体性的高斯邦尼公式，它是欧氏几何中“三角形内角和等于π”（这显然是整体性质）的推广。

1944年，陈省身将它推广到 n 维黎曼流形之上，成为大范围微分几何的一个经典定理。接着，陈省身又将纤维丛理论与嘉当的“联络”概念相联系，再次把微分几何推进到大范围情形。说到纤维丛，其实也不神秘。早在笛卡儿时期，描写函数 y = f （ x ）， x ∈［ a , b］ ，就是在［ a , b］ 中任何一点 x 处，放上线段 l （其长度为 f （ x ）），现在不过是将［ a , b］ 推广为一个拓扑空间（称为底空间）线段 l 也扩展为拓扑空间（称为纤维），我们按照一定的规则将纤维安放在底空间上就形成了纤维丛，它可以构造出各色各样的高维几何图形来。例如在圆周 C 上可以同向地放上纤维使之成为圆柱面，也可以用另外的方法构成麦比乌斯带。陈省身等所研究的具有联络的主纤维丛，为物理学上的电磁理论和杨-米尔斯理论提供了几何模型，数学上的整体结构正是物理世界整体结构的反映。陈省身在建立大范围微分几何中提出的示性类（陈类），其影响不仅限于几何，可以说遍及整个数学，究其原因，当然是由于当今纯数学发展的一个主流，恰好是研究整体性质。

从局部走向整体，这也许是二十世纪科学发展的一种共性，不仅纯数学如此。例如系统科学，就以研究系统的整体结构以及各子系统之间的关联为主要目标，这有别于过去孤立地考察单一的运动形态。控制论着重考察系统的可控性、可观性和稳定性，这也都是从整体上着眼的。生物学已发展到分子水平，现在的研究课题正是氨基酸如何“拼接”“缠绕”“折叠”以合成蛋白质这一类的整体结构，拓扑学在生物学中的应用已有许多成功的例子，这恐怕不会是偶然的。

三　决定性数学和随机性数学的融合

作为研究随机性现象的数学——概率论，已有几百年的历史了，但是获得大规模的发展，还是本世纪三十年代以后的事。柯尔莫戈罗夫给出概率的公理化定义，运用测度论和积分论的知识将概率论纳入纯数学的体系，成为可以严格使用决定性数学语言加以表述的学科。现代概率论甚至被人们称作现代分析。随机性数学提出的许多数学问题为纯数学研究打开了新的一页，开辟了新的道路。于是，有些人认为随机性数学是继决定性数学之后的第二个里程碑（模糊数学则是第三个里程碑）。我觉得这种提法并不妥当。晚近几十年的发展，表明随机性数学和决定性数学之间正在大力渗透。我们如果不说一个代替另一个，而是说二者正在走向融合，也许更加切合实际。

首先，决定性数学的许多部门正在不断地“随机化”。概率论的研究需要用微积分，反之微积分概念又被随机数学规律加以改造。这就是随机积分、随机微分方程的产生。七十年代以来，出现了随机力学，近来则有随机变量幂级数，随机整函数的讨论。不久前，随机微分几何也应运而生。它考察定义在黎曼流形 M 上的半鞅，将它和 M 上二阶微分算子相联系，并用以研究扩散过程，流形 M 上的布朗运动构成它的重要特例。除此而外，作为泛函分析核心部分的线性算子谱理论，也在随机化，苏联的斯科罗霍德（Скороход）已写了《随机线性算子》的专著。这种随机化趋势还将继续下去。

另一方面，随机性数学并非总是跟在决定性现象数学的后面，只靠“随机化”过日子。它本身反过来成为解决确定性数学问题的犀利工具。第二次大战中，乌拉姆（Ulam，1909～1984）和冯·诺依曼提出蒙特卡罗（Monte Carlo）方法。他们将决定性数学问题用概率模型加以模拟，然后用随机抽样试验求解，把过去用决定性数学求解概率论问题的程序颠倒过来。他们通过对大量中子行为的观察推断出所要求的参数，实现了对中子连锁反应的随机模拟。

七十年代以来，运用随机数学解决决定性数学课题的势头更加强烈。1975年，戴维斯运用概率论中的布朗运动的技巧，证明了经典复变函数论中的著名定理——皮卡小定理。这个定理是说，一个不等于常数的整函数，可以取得任何复数值，至多有一个例外。看上去它和布朗运动毫无联系。但是，我们已知：若 z t 是二维布朗运动（一种随机过程）， f （ z ）是非常数的整函数，则 f （ z t ）也是布朗运动。戴维斯运用布朗运动的有关结果，证明 f （ z ）将某些同位于 O 的闭曲线仍变为同位于 O 的闭曲线，而有两个例外值的函数将做不到这一点。皮卡小定理就证明了。

目前的成果还不仅是个别经典定理的证明。能运用概率论技巧的阵地，已扩展到现代微分几何中的陈省身示性类理论，以及赫尔曼德尔（Hömander）一般偏微分算子理论。新近，运用马利文（Mallivin）提出的随机变分学，已将当代最重要最深刻的纯粹数学定理——阿蒂亚辛格指标定理重新给出证明。这就是说，整个纯粹数学领域内，几乎到处都有概率论的影子。这在六十年代之前几乎是不可想象的事。

概率论研究几乎要动用全部决定性数学工具，而纯粹数学理论又受到概率论技巧的促进。二者之间可说是你中有我，我中有你。这里再次显示了数学的统一性。

四　数值化、算法化、组合化正在改变数学的进程

计算机的出现，已经引起了数学的一场革命。

美国数学家伯克霍夫说“微积分和分析长达200年之久的统治已告结束。”作为一个杰出的代数学家，他认为由计算机研究激发起来的数值代数、自动机理论、计算复杂性和最优化、组合代数将是代数学最强有力的现代趋势。在这些学科的研究中，传统的代数结构，如群、环、域等，将会被圈、单体、格之类的新结构所取代。正象范·德·瓦尔登在三十年代出版《代数学》一书曾引起代数学的革命那样，这一次的变革也许比那一次还要深刻。

国际知名的应用数学家弗勒登塔尔（J.C.Freudenthal）说：“依我所见，在下一个学术年代，数学的主流将不是数论和拓扑，而是数值分析、运筹学和统计”，“到了2025年，大学校园里的绝大多数数学家或者用计算机研究数学，或者研究计算机算法中的数学问题。只有少数地方，作为学术研究，仍保留着今天我们所知道的那些纯粹数学的研究中心。”

这也许是危言耸听。纯粹数学作为认识客观世界的有力工具，作为人类文化发展的标志，绝不会象过去学究式的烦琐哲学那样被历史所抛弃。纯粹数学一定会按自己的内在发展规律，一如既往地健康发展，我们的子孙后代将会用更大努力来解决纯数学中的无数难题，探索其中的奥秘。然而，纯粹数学还是有“好”与“不好”之分。计算机的发展将会使那些搞无病呻吟或缺乏思想的形式推演相形失色。正如有人说的那样，战后繁荣使那些数学家想做什么就做什么，任何论文都会得到充裕财政支持的年月也许不会再来了。请看下面一些事实，它们说明伯克霍夫和弗勒登塔尔的说法是有一定道理的。

“离散数学”“有限数学”，这些不用微积分的数学课程，已成为许多大学系科的主要数学课程。

实际问题的要求是：解5万个未知数的线性方程组，求次数直到100次的多项式的根。

联系着大脑和感觉器官的神经网络，需要进行组合数学的研究，“人工智能”需要这类成果。

报纸和其他宣传媒介很少报道数学消息。但是，对与计算机相联系的计算复杂性研究却频频报道，引起世人注目。1979年苏联青年数学家哈奇扬（Хачиян）发现线性规划的椭球算法，以及1983年出现加以改进的卡马卡（Karmarkar）算法，《纽约时报》、美联社等都作了显著报道。

以上几件事情表明，社会需要数学发展“数值计算、算法改进和组合分析”！

不仅是数学要为发展计算机服务，数学本身也受到计算机的恩惠。四色问题的计算机证明已是尽人皆知的了（尽管不断有消息表明它的可信程度尚有疑问）。更有意思的是孤立子的发现。这是说，某一类非线性色散波方程具有一种粒子结构性态的解——孤立子，它能经历交互作用而保持其形状速度不变。这种孤立子波好象“粒子”在运动一样。但这种“粒子”并非在高能加速器里产生的，也不是通过数学论证首先推得，而是克鲁斯卡尔（Kruskal）和扎布斯基（Zabusky）通过在计算机上的数值分析而发现的。获得1982年菲尔兹奖的瑟斯顿，曾在他的纯数学研究中使用计算机以求与克莱因（Klein）群相关的病态集。近来，通过映射的迭代以达到“浑沌”状态的研究，更离不开计算机，这一切都说明，反映“连续性”问题的数学演绎推理，必须和“离散”的计算机数值计算携手并进，“一张纸、一支笔、一个脑袋”的纯数学研究方式，渐渐就会过时的。

我国数学家冯康指出，科学计算正和科学理论与科学实验鼎足而立，成为彼此相辅相成而又相对独立的三种主要方法。在数学方法中，由数学解析理论来求解微分方程，多数只能限于线性、常系数和规则区域的情况，对于大量的非线性、变系数和不规则边值问题，解析法往往失效，但用数值计算方法（如有限元方法等）去做，却几乎没有不可逾越的困难。这种情形在今后也不可能改变。科学计算再也不是数学理论的附庸，而是具有独立特性的一种现代科学方法。

现在让我们来看组合分析的状况。组合分析最近开始摆脱自给自足的孤立状态，日益和其他数学分枝互相交融。例如，要问一个 n 维有界凸多面体的各种不同维数的面分别有多少，历来是用初等的组合计算方法，根据题意直接推算，很少想到去用已经发展成熟了的纯数学理论。但是1980年的一项工作发现，上述问题的解决必须用到科恩-麦考利（CohenMacaulay）的环论里的一个结果。更有意思的是离散不动点理论，它当然要借用连续情形下的不动点的研究成果，特别是霍普夫莱夫谢茨（Hopf-Lefchetz）不动点定理。在这里我们没有看到“连续”被“离散”取而代之的情形，恰恰相反，二者在彼此促进，互相融合。

以上所说的现代数学的四点趋势，肯定是不全面的。内容丰富、发展神速的现代数学不可能用简单的几句话加以概括。我之所以对上述四点感兴趣，是觉得国内的数学界在这些方面尚嫌薄弱，或者有些注意不够。日前接到海外来信，说那里的数学教授，能开出以下六门课中的任何一门：实变函数论，多复变函数论，微分几何，代数拓扑，李群与李代数，代数数论。如果这六门知识能集于一身，视野自然开阔，思想也就活跃，研究也不再局限于某些经典课题枝节推广，而会推陈出新，创造新理论了。目前，我国数学发展正处于黄金时期，青年数学家正在不断地从地平线上冒出来。如果我们能认清现代数学发展趋势，瞄准当代数学的国际水平，埋头苦干，追赶主流，“21世纪数学大国”的目标，是一定能够实现的。

编者注： 原文载于《科学杂志》（1986年33卷第3期第176页至180页及第218页），并收录在《数学教育经纬》（江苏教育出版社2003年出版，第29页至42页）。 ICctwmFwBnbuEl1MzioZpuQz7b9dkwnk+A+Eef2zGpJQCfn6nTqfW9EH2OFfocgP