下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
二十世纪已经过去五分之四了，它留给人们一笔丰富的数学遗产。八十年的数学发展，其成就之大、速度之快、范围之广，远远超出人们的预料。文献典籍浩如烟海，想理出二十世纪数学发展的线索，实非一人所能胜任。笔者为了探寻若干历史经验，贸然问津，略事管窥。
“现代数学”一词，已为大家所常用，我想它的含义，大致和“二十世纪以来的数学”相仿。一般认为现代数学的特点是：第一，以集合论、数理逻辑为基础；第二，数学理论更加抽象，出现代数化、拓扑化的趋势；第三，电子计算机进入数学的计算和证明；第四，数学向生物学、经济学、社会学、语言学等几乎所有的领域进军。本文拟按照历史发展的顺序，就形成以上特点的大事作一概述，并提出一些粗浅的分析。
从本世纪初到第一次世界大战结束，现代数学可以说经历了初创时期。法国数学家庞加莱是这一时期的权威，直到他1912年去世时为止。这位多才且多产的数学家，以微分方程、自守函数（1879）、天体力学（1892～1899）、拓扑学（1895）等最为著名，二十世纪的许多成果都可溯源于他。
可以和庞加莱的权威相匹敌的只有希尔伯特。1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家会议上发表著名演说，向未来世纪的数学家提出了23个问题，揭开了二十世纪数学史的第一页。这23个问题确实在相当程度上左右了本世纪数学发展的进程，其中大约有三分之二已经获得解决或基本解决，伴随而来的是一个一个的新学科。但是这一演说，对后来获得重大进展的代数拓扑、泛函分析等学科并无暗示，可见预言毕竟不如现实来得丰富。
本世纪初，在积分学里发生了一场革命。勒贝格突破了黎曼积分的框框，提出了可列可加的测度，形成了 L 积分理论。这种专门研究“病态函数”的积分，曾遭到一些著名数学家的讪笑和抵制。但是 L 积分不胫而走，俄国学者鲁津、叶戈罗夫等人继续研究，到1910年，勒贝格进入法兰西学院，争论和批判也就停止了。
第一次世界大战前经历的所谓“第三次数学危机”是惊心动魄的。上世纪末，德国的康托尔提出集合论，对“无限”作了新的探讨，提出超限数，因而引起争议。1900年，庞加莱曾宣布“数学已完全严谨”，三年之后，英国的数学家、哲学家罗素发表著名的悖论，使数学陷入危机。康托尔的集合论成了自相矛盾的体系。为了解救危机，希尔伯特的形式主义学派、罗素和怀特黑德（Whitehead）的逻辑主义学派以及荷兰布劳威尔（L.E.J.Brouwer）的直觉主义学派，在1910年前后发表了许多论著，导致公理集合论、数理逻辑等数学基础学科蓬勃发展，这场争论至今没有结束。
围绕相对论和量子力学的发展，在本世纪最初十余年里发展了嘉当（É. Cartan）和外尔（H.Weyl）的李代数表示论，以及张量分析和黎曼几何。外尔的流形论（1913）和豪斯多夫的点集拓扑学（1914）先后问世。弗雷歇（Fréchet）和黎斯（Riesz，1906）发展了无限维函数空间论，成为泛函分析的发端。多复变理论和马尔可夫（Мáрков）链相继诞生。这些反映了二十世纪初期的数学有不少开创性的工作，其影响一直延续至今。
统计学在本世纪初不象今天那样受人注意，但也有一些重大进展。1901年，美国吉布斯（Gibbs）出版《统计力学中的基本原理》。同年英国人皮尔逊（K. Pearson）创办《生物统计学》杂志。1909年，波莱尔（Borel）著《概率论初步》一书，也有重大意义。
综观这一时期，集合论为大多数数学家所接受，形成了现代数学的基础。黎曼几何、群论、群表示论、点集拓扑、多复变、泛函分析的工作已初露端倪，然而占据当时主流的大多数工作还是三角级数、积分论、复变函数论、数论、微分方程论等经典数学。关于数学基础三个学派的论争，影响深远。希尔伯特的公理化方法和形式主义，几乎给二十世纪的每一门学科都打上了印记。
第一次世界大战结束后，世界上陆续形成了一些重要的学派。德国虽是战败国，但数学家未上前线，加上哥廷根学派的传统，使德国迅速成为世界数学中心。法国自庞加莱去世后，失去了首屈一指的权威，而青年数学家却葬身于前线炮火。除了少数例外，法国差不多成了“函数论王国”（皮卡（Picard）、勒贝格、波莱尔都是函数论大家），现代数学的势头不大。这时，以研究数学基础著称的波兰学派崛起。匈牙利、奥地利等国相继出现冯·诺依曼（Von Neumann）、哥德尔（K.Gödel）等举世闻名的学者。苏联学派在十月革命之后也获得迅速成长。英国仍然是经典分析的天下，而当时美国的数学家大多是在欧洲留学才成长起来的。
抽象代数、代数拓扑、泛函分析可以说是现代数学的三根理论支柱，它们都在二十年代和三十年代中期奠定了基础。1926年前后，德国女数学家诺特（Noether）完成了理想论，范·德·瓦尔登（Van der Wardern）总结诺特和阿廷（Artin）等德国学者的成果写成《代数学》（1932），使抽象代数成为系统的学科，一时风靡世界。代数拓扑学借用代数工具进行研究，也进展神速。1931年，瑞士的德·拉姆（De Rham）发现多维流形上的微分形式和流形的上同调性质有联系。1934年莫尔斯（Morse）提出大范围变分理论，1935年赫维兹（Hurwitz）引入同伦群，给代数拓扑、微分拓扑打下了坚实的基础。泛函分析方面，巴拿赫（Banach，1922）和里斯（1918）分别提出巴拿赫空间和希尔伯特空间，冯·诺依曼则于1929年提出算子谱论并应用于量子力学，泛函分析的主要部分至此也大体完成。随着三根理论支柱的建立，二十世纪以来数学日益抽象的势头越来越大。
三十年代，哥德尔关于数学基础的研究令人惊讶。他的关于公理系统不完备的定理曾使大数学家冯·诺依曼为之折服。希尔伯特企图将全部数学都公理化的奢望也随之破灭。但是，人类思维形式的奥秘却越来越使人神往了。
数学理论抽象化的倾向也涉及概率论。1932年，苏联的柯尔莫哥洛夫（Колмогоров）提出概率论的公理化体系，抽象测度和积分论一旦用于概率论，使这门学科别开了新生面。马尔可夫过程、平稳过程等理论也在这前后诞生，概率论的体系更加科学，也更加严谨了。
三十年代初，世界数学中心由德国逐步转移到美国。这不是因为美国出了数学天才，而是希特勒“送给”美国的“礼物”。1930年以后，德国政局动荡，法西斯分子蠢蠢欲动。希特勒一上台，大肆迫害犹太人，许多著名数学家离开德国赴美避难。其中有抽象代数的奠基人诺特和阿廷，最负盛名的应用数学大师库朗，数学基础方面的天才哥德尔，本世纪的大数学家外尔和冯·诺依曼。其他著名数学家还有费勒（W. Feller）、波利亚（G. Pólya）、切戈（Szegö）、塔尔斯基（Tarski）、海林格（E. Hellinger）。美国开明的人才政策，使得一向冷落的美国数学界突然热闹起来。美国单方面向欧洲派遣数学留学生的历史从此结束，到了今天，则是欧洲向美国大量派遣数学留学生的时代了。
当德国和东欧的数学“头脑”纷纷渡过大西洋时，法国的一批年轻数学家决心冲决“函数论王国”的束缚，吸收世界的精华，用自己的结构主义观点，将迄今为止的全部数学加以整理，终于在1939年出版了《数学原本》第一卷。这就是后来著名于世的布尔巴基学派。这一学派继承希尔伯特形式主义的传统，注入自己的“结构”观，在数学界独树一帜。它在促进数学理论进一步抽象化、公理化方面，有其独特的作用。
第二次世界大战，是人类历史上的空前浩劫。一批有才华的数学家在战争中夭折。波兰的巴拿赫，被纳粹百般摧残，于1945年走出集中营后不久即逝世。又如德国的泰希米勒（Teichmüller），虽然有过出色的数学研究，但追随希特勒纳粹，在战场上死于非命。赫赫有名的德国哥廷根学派经受法西斯的破坏后大伤元气，一蹶不振。损失是难以估量的。
另一方面，反法西斯战争促使应用数学的发展，结出了丰硕的果实。这些成果战时为军事服务，战后为经济服务，给现代数学的发展注入了来自实践的新活力。下面是几个重要的例子。
1940年，英国和美国海军的运筹小组为了对付德国潜艇，提高军事搜索能力，发展了运筹学。这种旨在提高现有设备能力和效率的学问，主要是数学家们完成的，战后大量用于经济部门。它是现代运筹学的发端。
1942年，苏联的柯尔莫戈罗夫和美国的维纳等人分别研究火炮的自动跟踪，形成随机过程的预测和滤波理论。1948年，维纳综合其他（生物、医学）方面成果，写成《控制论》一书，开辟了现代数学的重要分支。
1939年，英国数学家图灵（Turing），用数学理论帮助英国外交部破译德军密码获得成功，并成为今日自动机的渊源。
1944年，冯·诺依曼发展对策论，用于经济和军事中的战略决策。
1942年，冯·诺依曼建议美国军方：为了计算弹道，必须发展电子计算机，因而促进了世界上第一台电子计算机——ENIAC于1944年投入运转，全新存贮通用电子计算机EDVAC也于1945年6月建成。
计算机的出现，使计算数学迅猛发展。一些由于计算量太大而搁置不用的应用方法，这时获得了新的实用价值。线性规划、动态规划、优选法等最优化理论如雨后春笋般生长起来。应用数学有了电子计算机，如虎添翼，二十世纪数学强调抽象理论的趋势至此有了新的变化。
当然，理论数学在相对的和平环境里也有巨大的发展。在拓扑方面，纤维丛、同调代数、现代代数几何、米尔诺怪球、托姆的余边界论等成就，使拓扑和微分几何、抽象代数、泛函分析、偏微分方程建立密切联系，打破了战前拓扑学孤立的局面。代数化、拓扑化的倾向有增无减。其他如广义函数论、范畴论、一般偏微分算子理论、鞅论、最优控制的变分原理等也都在四、五十年代发展起来。
现代数学至此可说已经相当成熟了。
理论上更抽象、应用上更广泛、计算机更普及，这就是六十年代以来数学的总趋势。
从理论上看，1963年美国科恩（Cohen）证明广义连续统假设独立于ZF公理，这是继哥德尔之后最著名的工作。希尔伯特23问题中的第一问题至此获得某种意义的解决，选择公理的价值再次引起人们的注意。罗宾逊（A.Robinson）用严格的数理逻辑方法使“无限小”重返数学，令人振奋。代数和拓扑方面的工作更加深入了。庞加莱猜想（ n ≥5）、伯恩赛德猜想、韦伊猜想相继获得解决。阿蒂亚和辛格建立了指标定理，进一步沟通代数、拓扑和分析的联系，十分深刻。概率论方法用于证明经典函数定理，也别开生面。泛函分析似乎已失去大踏步前进的势头，但在非自共轭算子谱分析理论、算子代数、巴拿赫空间几何方面都有建树，关于不变子空间存在的罗蒙诺索夫（B.М．Ломоносов）技巧颇引人注目。经典分析中一个出色结果是证明当 p >1时三角级数依 L p 中范数收敛必几乎处处收敛（ p =1时不成立早在1912年就已知道），解决了一大悬案。当然，六十年代以来的许多理论成果，也许要过一段时间才会显示更深刻的意义。
数学应用的广泛性，已到了令人难以置信的程度。量子场论需要纤维丛理论、算子代数理论、无限维空间测度论，这证明数学的高度抽象并没有背离物质世界研究的需要。工程技术方面需要的数学早已从微积分技术扩展到泛函分析、抽象测度、矩阵代数等近代理论。在生物学方面的应用，除数学控制论、随机过程论、线性代数方法之外，托姆竟然从曲面奇点的艰深拓扑学理论引出了“突变理论”，应用极为广泛，显示了现代数学的理论和实际的巧妙结合。更惊人的发展在社会科学方面。如果说计量经济学的萌芽可以追溯到三、四十年代，那么计量历史学、计量文学、计量语言学则是近来的事。计算机居然能根据数学模型来决断一部手稿是不是莎士比亚所作，数学的无孔不入，由此可见一斑。
计算机的功能大非昔比。它已从代替人们繁重的计算走进数学证明的殿堂。1976年，哈肯（Haken）和阿佩尔（Appel）宣布已经用计算机证明了四色问题。1978年，瓦格斯塔夫（Wagstaff）把费马（Fermat）大定理的上界提高到12500。“计算机”的证明，人们是否认可，还有争议。一些数学家甚至在考虑是否要让计算机象人脑一样也会“犯错误”，且能自己纠正。1965年扎德（Zadeh）提出的模糊集合论看来是朝这个方向走去的。“人工智能”是否会改变数学家“一张纸、一支笔”的研究手段，已经提到议事日程上来了。
现代数学仍在迅猛发展，不管人们怎样评论，它总是按照自己的规律往前走。下面让我们来看一些统计数字吧！
美国的《数学评论》（ Mathematical Reviews ）是世界性的数学文摘杂志。它每年摘要发表的论文篇数见表1。
表1
科克斯特（Coxter）在1974年的国际数学家会议上说过：“美国《数学评论》杂志1941～1951是21英寸，1952～1962是45英寸，1963～1973是87英寸，每11年增加一倍，按这种趋势下去，不要很久，作者人数就会超过读者人数。”这自然是一句俏皮话，但确实反映了数学发展的现实。面对浩如烟海的数学文献，一个数学家只能在其中某一领域内工作。不要说欧拉、高斯、黎曼那样的“全能数学家”已不可能再产生，即使像庞加莱和希尔伯特那样雄视全局的大师也难以再有。如果说象冯·诺依曼这样横跨几个领域的大数学家在本世纪上半叶还能出现，那么到六十年后的今天似乎已找不到如此多才多艺的权威大家了。这并非现时缺乏“天才”，而是数学知识积累按指数式增加，科学信息传递又极为神速，个人能力已不能应付瞬息万变的全部数学发展。1900年，希尔伯特事前只和几位数学家磋商，就提出了著名的23个问题。1976年，美国伊里诺大学召开希尔伯特问题进展研讨会，要求出席的著名数学家提出至今尚未解决的问题。这一次是25名数学家提了27个方面的问题，像希尔伯特那样一个人发表演说的事已不复存在了。
这种现象要求每一个数学工作者经常进行思考和决策：不能堕入文献的海洋，而要从中找到数学的生长点，找出通往数学顶峰的途径。既然“科学学”已经颇为发达，“数学学”大概也非有不可了。
表2是一份美国国家科学基金在数学方面的分配数额表（单位：百万美元）。
表2
美国的财政支持和科学政策是一致的。上表说明，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ这三项现代理论数学的拨款约占总数的60%，而古典分析与几何虽有上升趋势，但只占20%左右。显然这表明对现代数学，特别是拓扑和代数，仍给予优先发展。联想我国的数学成就多半集中在古典数学领域，如数论、亚纯函数论、三角级数、射影几何等。至于代数、拓扑、泛函、现代概率等学科，则研究的历史短、队伍弱。这些学科大多奠基在二三十年代，而我国的研究工作在五十年代才真正搞起来，起步就晚了二十余年。目前，我国在现代数学方面的空白还很多，特别是若干难度大、门槛高的学科限于种种原因，无人问津，这对改变我国数学落后面貌显然十分不利。数学研究的“现代化”，是一个值得重视的课题。
从表2可见在理论和应用的财政支持上，应用数学与统计的比例不高，不足25%。但这是国家科学基金的拨款。大量的应用数学项目，均由大公司和民间基金会给予支持。就总数来说，应用数学的投资和研究队伍当数倍于理论数学。信息论产生于贝尔电话研究所，杜邦公司推广统筹方法，计算几何发源于法国雷诺汽车公司等，均说明西方国家是极端重视应用数学的。
本世纪的许多大数学家都在理论和实际应用两方面兼长，如冯·诺依曼、柯尔莫戈罗夫、维纳等都是。目前我国有些理论工作者转应用是转得对的。应该看到，在半封建半殖民地的旧中国，因为工业落后，应用数学无处可用。世界应用数学大师库朗曾收过两名中国学生，学成回国后找不到施展才能的机会。解放初期照抄苏联，搞了理工分家，好端端的几个应用数学系全被调整掉，使学有专长的应用数学专家不得不改行搞理论。多年来，在学术评价上，重理论则讲逻辑严密，轻应用则贬具体方法，影响所及，更使数学工作者耻于搞应用。后来虽曾强调过“应用”，却又不走正路，搞“立竿见影”，败坏了应用数学的名誉。现在拨乱反正，应该是纠正理论数学队伍和应用数学队伍比例失调状况的时候了。
在本世纪数学发展上作出重大贡献的数学家，是在什么年龄完成创造性工作的？我们从本世纪名垂史册的数学家中，收集到50人的资料，统计结果见表3。
表3
由表可见，数学家首次作出重大成果的年龄集中在25～29这一区段。30岁左右是黄金年龄，45岁以下还有一些人能有重大成就，超过45岁的虽然有，已经寥若晨星了。现在我国数学队伍年轻化的问题远未解决，值得重视。
二十世纪的数学确乎是越来越难了。但是希尔伯特在1900年著名演说的末尾，曾经这样鼓励未来世纪的数学家们：“数学的每一个实际进展都伴随着更锐利工具和更简单方法的出现，它们摒弃陈旧的复杂推理，使原先的理论更容易理解。因此，一个人一旦掌握这些锐利工具和更简单的方法，就会发现在各个数学分支中走出自己的路子，要比在其他学科中容易得多。……愿新世纪给数学带来天才的大师和奋发热情的莘莘学子。”
希尔伯特的话是很对的。数学在发展，但人的认识能力也在提高，展望今后的数学，前途依然是一片光明。
编者注： 原文载于《自然杂志》（1982年，第5卷第3期，第179页至183页）。