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许多科学史学者认为，数学的黄金时代，不是欧几里得的古希腊，也不是牛顿所处的产业革命前夜，它属于今天，我们的二十世纪！二十世纪过去将近五分之四了，回顾发展的足迹，恐怕是有益的。这里想谈几件事。
一八九三年，在瑞士苏黎世举行了第一次国际数学会议，又过了七年，二十世纪来临了。第二次国际数学会议于一九〇〇年在巴黎召开，在这次会上，德国格丁根大学教授希尔伯特发表了著名演说，他站在十九世纪数学研究的最前沿，提出了二十三个数学问题。预测二十世纪的数学研究将围绕这些问题展开，预测当然不会全部是事实，二十世纪的数学以远比希尔伯特的设想更为广阔的规模向前飞奔，但是，希尔伯特的二十三个问题确实给二十世纪数学发展以深刻的影响，不少数学家被希尔伯特所提问题的深刻背景和重大意义所吸引，贡献了毕生精力，随着这些问题的解决，出现了一个又一个的数学新分支，创立了一种又一种的新方法，一九七六年，美国一些著名数学家评选一九四〇年以来美国数学的十大成就，其中有三项是希尔伯特第一、第五、第十三个问题的解决。
希尔伯特提出的第一个问题是所谓连续统假设，大数学家康托尔曾猜想：全体实数的任何子集，要么是有限个或可数个（能和自然数一一对应），要么就和自己一样多即只能和自身一一对应；这个命题相当于另外一个选择公理：设任给一族集合，总能从每个集合中选出一个元素来再构成一个集合。围绕康托尔猜想和选择公理能否成立的问题。在二十世纪初年曾引起广泛的论战，但谁都不能说服对方。一九四〇年，侨居美国的奥地利数学家哥德尔作了突破：他证明，集合论的其他公理不可能证明上述两个命题是错的（即无矛盾性）。一九六三年，美国的科恩指出上述两个命题不可能由其他公理证明是对的（即独立性）。总之，关于连续统假设，人们不可能得到“是”或“否”明确回答。无法用其他公理证明。这确实是人类思维发展史上的一个杰出成果。希尔伯特第一问题从提出到解决历时六十三年。它的解决，除了本身的意义之外，更重要的是推动了数学基础的研究，促进了数理逻辑。证明论等方面的发展。这方面的工作还在继续。
希尔伯特提出的二十三个问题，至今大约还有半数没有完全解决，能够回答这些问题，往往标志一个国家基础理论研究的水平，也是数学家个人的很大荣誉，那么希尔伯特的问题为什么会有这么大的魅力？难道仅仅因为希尔伯特是大数学家吗！当然不是，究其根本，还是在于这些问题扎根于数学科学实践，如实地反映了客观世界数量关系的侧面。数学作为一门科学，有其相对独立性，数学问题的提出，是数学体系内部矛盾运动的结果。杰出的数学家经过深思熟虑，从科学实践中抓住主要矛盾提出问题，就往往成为未来数学发展的生长点，在发展基础理论学科时，这种生长点很值得注意。
二十世纪以前，黎曼积分统治了积分学，人们把黎曼积分看作“新时代的阿基米德”，认为是完美无缺的，神圣的，然而，科学实践总要冲破所谓“万古不变”教条的束缚，到了十九世纪末，许多数学家发现要求函数过分光滑阻碍了三角级数的研究，康托尔集合论中各种“病态函数”打开了人们的眼界，当时的波莱尔和康托尔等人曾对集合的测度（直线上长度概念的推广）作过研究，但都没有成功，年轻的勒贝格在1902、1903、1904年连续发表论文，大胆指出黎曼积分的局限。他抛弃黎曼积分从分割自变量区间作和式的方法，创造性地提出分割函数值区间取和式极限，终于创立了一种崭新的“勒贝格测度和积分理论”，数学史家赞扬勒贝格“在没有获得正统派首领同意的情况下，对分析学的一个重要方面——积分论进行了革命。”
一九〇三年勒贝格发表著名的《三角级数论》时只有二十八岁，开始不被人注意，后来又受到许多极端的批评和攻击，当时的大数学家庞加莱曾讽刺说“从前一个人发现一种新函数是为了实用，今天一个人发现一个函数的目的是为了指责我们父辈论证上的缺点”，著名的埃尔米特则对“研究没有导数的函数”表示厌恶和恐怖，勒贝格当时受到压力，当他去参加数学讨论会时，分析学家对他说：“我们这里研究有导数的函数，对你不感兴趣”，几何学家说“我们这里研究有切平面的曲面”，对勒贝格表示冷淡，勒贝格成了不受欢迎的人。
但是，勒贝格积分并没有停止，它虽然不象黎曼积分那样直接用于实际计算，但却揭示了更深的客观数量关系，勒贝格从1902年发表论文，到1910年被聘到法兰西学院任教，勒贝格积分的重要性越来越明显，时至今日，一些数学家甚至提出大学里不讲黎曼积分，直接讲勒贝格积分就行，勒贝格积分在现代控制论、信息论等实用科学方面也是必不可少的工具，应该指出，俄国数学家对康托尔集合论、勒贝格积分没有采取讥笑态度，在1909、1910年前后，叶戈罗夫、鲁津等人曾有许多工作，后来俄国数学学派在数学上取得了相当大的成绩，和重视基础是分不开的，勒贝格积分的经历表明，当科学的基石刚刚奠定的时候，人们往往不认识：攻击为“脱离实际”，“不必要”，但到高楼大厦平地起的时候，才认识到基石的伟大作用，那就太迟了，我们的数学工作应该采取多奠定几块基石，我们科学工作领导人则应该善于支持这种科学的基石。
二十世纪中叶，有一个数学家熟悉的名字，叫做布尔巴基，一九三九年他的《数学原本》第一卷出版。到一九七三年已出版了三十五卷。它以构造主义的数学观，以严格精细彻底的逻辑方法，整理了迄今为止的基本数学概念、方法和思想，鸿篇巨著，构思严谨，打开了新局面，令人侧目。
那么布尔巴基究竟何许人？到六十年代前后，大家才知道，布尔巴基不是某一个人，而是一个法国数学家小组，一个学派。他们只是借十九世纪一个法国将军的名字当作集体的笔名。一九六八年，布尔巴基学派的早期成员，著名数学家迪厄多内在罗马尼亚作了一次演讲，揭开了布尔巴基小组的组织和工作方法的秘密，其中特别使我们感到兴趣的是它的形成过程，它将给我们提供怎样创立学派的有益经验。
一九三〇年，迪厄多内等一批二十岁刚出头的青年人进了法国最高学府——巴黎高等师范学校，在学校执教的有阿达马、波莱尔、皮卡和勒贝格等著名教授，那时他们都是五十开外的人了，还亲自对一年级的大学生讲课，那么三十岁上下的法国数学家到哪里去了呢？迪厄多内教授说，“你打开第一次世界大战年间巴黎高等师范学校的教师和学生名册，就会看到有三分之二的人名上打了黑框”；青年学生和青年教师应征入伍，被帝国主义战争夺去了生命。这样，法国数学界青黄不接，战争使他们损失了一代人。
由于战争的影响，法国数学除去函数论领域，水平都不算高，大学生们不知道德国在代数学上成就，不知道匈牙利的里斯，不知道美国的数学研究，他们闭塞得很，当一九二九年这些年轻人到国外旅行以后，发现了新天地，他们走出“函数论”的小天地，研究一切数学新成就。发展法国数学的担子落到了迪厄多内、韦伊等青年头上，他们共有四、五个人，面对二十世纪以来数学上出现的新思想、新观念，这些“初生之犊”立意写一套《数学原本》加以总结和概括，他们订了一个三年完成的计划（结果写了三十年还没有写完），以惊人的勇气和自信开始了漫长征途。
布尔巴基的成员平时分散在各地，一年讨论二、三次。当有了一个模糊的大纲后，就交给一个成员写出初稿，拿到第二年的布尔巴基会议上参加讨论。批评是那样的残酷无情，只有身临其境的人才能体会到，某些请来旁听的局外人，最后留下一个“疯子集会”的印象而离去。他们无法理解这些人为什么为了数学如此大喊大叫。讨论的结果往往是初稿一无可取，连原来的提纲也被否定，于是再找第二个“可怜虫”从头开始，到明年他的初稿也许又被撕成碎片，有些书稿写了多达十次，历时十三年，这些“小人物”就是在这样严厉的论争中加深友谊，在批评的子弹中得到成长。
布尔巴基学派的人员是流动的，成员不断更新，经常有一些年轻人被请来，他们如果敢于争论，不怕严酷的批评，勇于接受哪怕自己不熟悉的任务，那你就呆下去，有些人来了一次二次就不来了，那也听便，可是总有年轻人坚持到底，布尔巴基学派历时几十年而不衰，确实培养造就了一批数学家，然而，布尔巴基学派有缺点，就是否定“函数论”，二十年代世界函数论工作的权威集中在法国，可是经过布尔巴基运动，把函数论“扫地出门”，目前函数论在法国几乎没有什么地位，否定老数学家的一切，否定一门学科，搞片面性，是要不得的。
我国有志于数学的青年，很可以想一想怎样从布尔巴基学派的成员中吸取一些东西。
和四人帮迫害科学家的罪行一样，希特勒法西斯曾在德国数学界造成一场浩劫，一九三三年希特勒上台，立即开始迫害数学家，限令犹太籍教授离开公职，不准在大学任教，当时著名的数学家库朗在德国，他是犹太人，由于希特勒的排犹活动，库朗不得不辞职，当时闻名于世的德国数学家诺特、阿廷等联名签名向政府当局要求挽留，还是没有效果，而一个美国人则早就和库朗接触欢迎他去美国，这样库朗在一九三四年移居美国，做出了大量贡献，库朗去世后，在美国纽约大学成立了库朗应用数学研究所加以永远纪念。
在希特勒法西斯专政下，迫害数学家的大棒有两根，一是诬蔑为“脱离实际”，二是提倡所谓“德意志数学”，数学家比伯巴赫说：“德意志数学是优秀民族的数学，犹太人搞的都是脱离实际的东西”，当场有人举出库朗为例说他搞应用数学很实际，那个比贝伯赫又说，“库朗是犹太人，他的数学都是抄来的，犹太人抄日耳曼人的，”真是横蛮无理到了极点，一代数学家在法西斯大棒下夭折了。当年希尔伯特在格丁根大学曾经雄视国际数学界，成为一个时代的数学研究中心，而今格丁根大学的数学研究已经衰落，希特勒的迫害至今仍未完全复原，希特勒和四人帮一样都是科学的敌人，人民的罪人！
现代控制论的奠基人，美国数学家维纳（1894—1964）写《控制论》一书的过程，引人深思，维纳是数学家，在麻省理工学院任教授。早年曾从事纯粹数学的研究很有成绩，三十年代，维纳和墨西哥国立心脏研究所的罗森勃吕特博士共同领导一个科学方法讨论会，参加的人有物理学家、工程师、医生和数学家，他们分别从数学、统计学、逻辑学、电工学、通讯工程学神经生理学等不同方面提出问题，取长补短，在学科的边缘地带共同开垦科学上的处女地，第二次大战前后，维纳又参加了计算机的研制，设计过高射炮的自动控制装置。正是在这样的多边合作下，维纳把通讯，自动控制机械和生物体自动控制机制等方面加以类比，综合和概括，用数学方法加以总结，形成了一门独立的学科。一九四六年，维纳又召开了几次有各种专门家参加的控制论会议，以后每6个月举行一次，在大会之前，给缺乏数学知识的人进行简明扼要的讲解，以便取得共同语言，和布尔巴基学派一样，维纳主持的讨论会，任何人都不许可摆架子，维纳写道：“宣读论文的人必须经受一通尖锐批评的攻击，批评是善意的然而毫不客气的。这对于半通不通的思想，不充分的自我批评，过分的自信和妄自尊大真是一剂泻药，受不了的人下次不来了。但是，在这些会议的常客中，不少人感到了这对于我们科学的进展是一个重要而经久的贡献。”
一九四七年，维纳终于在墨西哥国立心脏研究所写完了著名的《控制论》。
维纳不仅是应用数学家，也是一个纯粹数学家，他重视数学理论，又重视数学应用，他对生物学、电子学都有很深的造诣，《控制论》的诞生，不是维纳个人的闭门思索，而是集体分工合作的结果，在他的讨论班里，有电子学家、电工学博士、数理逻辑研究生、神经生理学教授，还有心理学、经济学等各方面的人。科学发展到今天，这种多兵种大兵团联合作战形式将会更多的采用，为了科学技术的现代化，加强各学科间交流，长期合作，共同讨论，看来是很值得提倡的。
一九七二年，法国的拓扑学家托姆写了一本《结构稳定性和形态发生学》的书，提出用曲面的奇点理论解释自然界的突变现象，他的基本思想是：把一个系统的状态分为稳定和不稳定的两类，系统在一点的稳定态就是某个函数在这点取极大值或极小值，我们考察使函数的导数为0的那些点。其中是极值点的就是稳定态，非极值点（奇点）往往表示不稳定态，这样，奇点就可以描写种种突变现象，托姆证明，基本突变只有七种。
突变理论一出现，立即受到重视，有人称之为“自微积分发现以来最伟大的一次智力革命”，许多人将它运用到各门实际科学中去，提出了各种突变模型，就是找到了广泛的应用，但一些人则反对这种应用，认为是欺世盗名，争论至今未停。
数学界内部也要开展百家争鸣，数学证明的正确与否自有逻辑上是非加以判断，但它是否反映客观现实的数量关系，其意义如何完全可以有不同的观点，为了促进学术繁荣活跃思想，对这种新思想、新观点、新方法的引进，大有必要，如非标准分析，模糊数学等等都曾被称为开辟了一个崭新方向，是划时代的，这些新分支将来如何现在尚难预料，不过及早注意研究，比较鉴别，比较有益。
二十世纪数学发展的画面是绚丽多彩的，泛函分析的诞生，大范围微分几何的出现，拓扑学的长足进展，抽象代数成为现代数学理论的带头学科，这些都是值得研究的。
数学经过二十世纪的发展，深度和广度已远非昔日可比，要掌握数学确实更难了，但是历史总要前进，希尔伯特在提出二十三个问题时，曾用鼓励后人的一段话作为那次讲演的结束。他指出，由于数学各学科的扩展，工具更加尖锐，方法更加简化，因此不管这门科学多么广阔，学者一定会成为这个领域的主人。拉普拉斯曾说，对数的发明使天文学家的寿命延长了一倍，那么今天的计算机将使我们的生命延长多少倍？1977年电子计算机解决著名的四色问题，为我们提供了范例，其次，我们使用的方法比过去更有效了，教材在更新，教学手段更加先进，随着科学的发展，人们的认识能力会大大提高，这些都是有利条件，此外，更重要的是，我们有华主席党中央的英明领导，有优越的社会主义制度，总有一天，数学发展史上将会描绘出中国数学的春天。
编者注： 本文系张奠宙先生1978年12月在甘肃师范大学数学系讲学的部分内容，原载于《甘肃师范大学学报》（1979年，第1卷第3期，第11页至15页）。