无限阶常系数微分方程的广义函数解

张奠宙

在整函数空间上可以定义无限阶微分算子。无限阶微分方程的整函数解在[1]中已有详细的讨论。本文拟用傅里叶变换方法考虑无限阶微分方程的广义函数解：采取适当的基本函数空间 ，推广熟知的公式 表示某个整函数）。最后在某些附加条件下，给出了解的积分表示。

一　基本空间

S型空间 的定义见[2]（210页）。当0＜a＜10＜β＜1　a+β≥1时，其中的基本函数是整函数，且这种 是非平凡的，充分丰富的（[2]，278，281页）。

凡在x轴上增长不超过 级，在全平面增长不超过 级的整函数E（z）都是 上的乘子，即E（z）·ψ（z）=E（ψ）是 上的连续算子。

是依S空间的拓扑收敛的。

证 在S空间中的收敛可以描写为：该级数及其导数在任何有限区间上都一致收敛于某函数Φ（x）及其导数，且

K是与ν无关的常数。证完。

二 上的广义函数及其傅里叶变换

上的线性连续泛函称为 上的广义函数，记为

f=（f，φ），φ∈ 。

表示空间 的傅立叶变换象空间。由于已假定0＜a＜1，0＜β＜1，a+β≥1，故 仍属我们所考虑的那一类空间：由整函数构成，非平凡，充分丰富。

定义 对广义函数f施行无限阶常系数微分算子的意义是：

故　P（-D）φ∈ 。

预备定理2 设P（D）的级型 ，则 （ 是由P（z）的泰劳系数加共轭而得的整函数），即对任何 ， 。

证 记P（-D）φ（x）=Φ（x）， 。

由预理1，得知 依S空间拓扑是收敛的。再依傅里叶算子对S空间的连续性（[2]，156页），得知

三　无限阶常系数微分方程的广义函数解

定理 给定微分方程（＊）P（D）f=h，其中f，h是 上的广义函数（0＜a，β＜1，a+β≥1），

若1°　P（D）的级型

2° 是整函数，其级型亦为 ，

则方程（＊）可用傅立叶变换求解，即归结为

的除法问题。

此外，若还有3° 在实轴上的增长不超过幂级，则除法的解可由积分表出。

证 由预理立刻可得定理的前一半。当3°满足时，

是 上的一个解析泛函，这里Γ是不通过P（-iz）的零点，且和实轴等阶的路线（[3]，203页），因整函数的零点至多是可列个，这样的路线总是存在的。

我们证明g是方程 的解：

故方程（＊）的解是g的傅里叶逆变换F -1 （g）。

特别地，如果 对任一个b都绝对可积，则方程的解可表示为

这时f（s）是普通函数。

例 解　e D f=δ（x+1）。

若进一步考虑空间 ，则本文的结果还可进一步精确化，不必限定P（D）为最小型。

参考文献

[1]Sikkema，P.C. Differential operators and diflerential equtions of infinite order with Constant Coefficients.

[2]И. М. Гельфана，Г. И. Шилов：Пронстраства основных и обобщенных функций 1958.

[3]И. М. Гельфана，Г. И. Шилов：Обобщенные функций и действия над ними 1959. XpryGHHtM7vbc5uYZUYS+wY2OEtiMXR4DfyLgSHokKu7YFneevxt9AUjyKYi3h8N