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Riemann关于保角映射的定理是：任何单连通区域含有多于一个界点时，可由一个单值函数将其变换到单位圆的内部。
本文是用下列预备定理将Tchmarch，E.C.函数论中关于Riemann定理的证明加以修改。
以下称单位圆即指单位圆的内部。
预备定理
设G是任意一个包含原点且含于单位圆内的单连通区域，如果它不与单位圆重合，则存在一个在G内的单叶解析函数F（z）使
现在证明 Riemann定理：
按照普通的证明，可以假定区域G含有原点且含于单位圆K 0 之内。由于原点O是区域G的点，故必有以O为圆心，以R为半径的 闭圆 K（O，R），而K（O，R）⊂G。
今考虑函数族E，其中每一函数f（z）是单叶解析的，而且满足：
f（0）=0，f（G）⊂K 0 。
以m（f）表示函数f（z）在K（O，R）上的最大模（必在此圆的圆周上取得）。
令
，因f（G）⊂K0，
故 ρ＜1。
可以证明ρ＞0，实际上，f（z）=z是E内的函数：
f（0）=0，f（G）⊂K 0 ；
且因为G是区域，用函数f（z）变换后，在K（O，R）上的最大模是R≠0。故ρ≥R＞0。
得到 0＜ρ＜1。
今在E中选取函数列｛f
n
（z）｝，使
。
因为E是一致有界的解析函数族，即是致密（Compact）族。故据Montel定理，必存在f n k （z），殆一致收敛于某一函数。设此函数为ϕ（z）。显然ϕ（z）在G内为解析，
ϕ（0）=0，ϕ（G）⊂K 0 。
次证ϕ（z）的单叶性。因m（ϕ）＞ρ-ε，但已有ϕ（0）=0，故知ϕ（z）不是常数。因单叶解析函数列的极限函数若非常数必为单叶解析函数，可知ϕ（z）是单叶的。
这样可以断定：ϕ（z）∈E。
从而 m（ϕ）≤ρ。
更由 m（ϕ）＞ρ-ε，
此处ε＞0为任意小的数，
故 m（ϕ）=ρ。
现在我们断言ω=ϕ（z）即是将区域G映射到单位圆内部的函数，即ϕ（G）=K 0 。
假设相反，即设
ϕ（G）≠K 0 。
则由预备定理，在区域ϕ（G）上存在一个单叶的解析函数F（ω），
F（0）=0，｜F（ω）|＜1，ω∈ϕ（G）；
｜F（ω）｜＞｜ω｜，ω∈ϕ（G），ω≠0。
再考虑复合函数F（ϕ（z））=Ψ（z），定义在区域G上，因单叶解析函数的复合函数仍是单叶解析函数，故Ψ（z）是单叶解析函数，而
Ψ（0）=F（ϕ（0））=F（0）=0，
Ψ（G）=F（ϕ（G））⊂K 0 （因｜F（ω）｜＜1），
Ψ（z）∈E。
因此
但当z∈G时，
｜Ψ（z）｜=｜F（ϕ（z））｜=｜F（ω）｜＞｜ω｜=｜ϕ（z）｜。
特别地，当z在闭圆K（O，R）上亦有此关系。
故 m（Ψ）＞m（ϕ）=ρ，
此与ρ之定义相矛盾，故ϕ（G）=K 0 必须成立。
定理已证明。