Hilbert空间上闭算子组的Taylor联合谱

张奠宙　王宗尧

摘要： 本文将Taylor联合谱的定义推广到闭算子的情形，并且推广了分别由Vasilescu，F.H.和Curto，R.E.证明的有界算子组为正则的两个充要条件。此外，本文还研究了共轭算子组的联合谱，证明了闭算子组的联合谱是C n 中的一个闭集，给出了一个例子。

由Taylor ［1，2］ 所定义的n个两两可交换的算子组的联合谱受到许多数学家的关注 ［3—6］ 。我们想把Taylor联合谱的定义推广到无界算子的情形，在文献[7]中，我们已经对含有一个闭算子的算子组给出了联合谱的定义。本文又定义了Hilbert空间上n个闭算子组成的算子组的联合谱，并得出一系列结果。在本文完成以后，我们发现Eschmeier在文献[8]中给出了模同态的联合谱的定义，但本文所给出的定义及理论和文献[8]是不同的。我们并不要求每个算子的预解集是非空的，而且从我们的定义出发，可以推广由Vasilescu和Curto分别得出的有界算子组为正则的两个充要条件。此外，我们还研究了共轭算子组的联合谱，证明了闭算子组的联合谱是C n 中一个闭集，并给出一个例子。

中稠密。

对于 ，我们令

这里J P （j）表示J P 中位于j前面的元素个数。这样，对于每个p，定义了一个 的同态δ p （a）。使用简单的计算可以证明： 。因此 是一个链复形，δ p （a）是边界算子。

命题1 对于每一个p，δ p+1 （a）是可闭的。

命题2 是一个链复形。

证 因为 和Imδ p+1 ⊂Kerδ p ，我们有

于是 是一上链复形。由 可知 ，即 是一个链复形。命题2证毕。

定义1 如果链复形 正合，我们称a=（a 1 ，…，a n ）是正则的；对于z=（z 1 ，…，z n ）∈C n ，如果算子组z-a=（z1-a 1 ，…，z n -a n ）是正则的，那么我们称z在a的预解集中，否则称z为a的谱点（z∈Sp（a））。

命题3 如果a正则，则对每一个p，有

当a正则时，这四个子空间都相等。命题3证毕。

在空间 上我们定义一个算子a（a）：

命题4 a（a）是 上的自共轭算子。

证 对任何ξ，η∈D（a（a）），由计算可以知道（a（a）η，ξ）=（η，a（a）ξ），因此a（a）是一对称算子。对于每个 ，在此：

而且F p ，G p ; M p ，N p 满足下面性质：

我们接下来要证明D［a（a） * ］⊂D（a（a））。

对任一ξ∈D［a（a） * ］，存在h∈ ，使得对于所有的η∈D（a（a）），有

设ξ=ξ n ⊕…⊕ξ 0 ，h=h n ⊕…⊕h 0 ，其中 。对任何固定的p和任何 ，我们令η=0⊕…⊕0⊕η p ⊕0⊕…⊕0，由等式（*）得

类似可证 。因为p是任意的，所以对每个p，ξ p ∈ ，ξ∈D（a（a））。命题4证毕。

定理1 a=（a 1 ，…，a n ）是正则的充分必要条件是 。

证 必要性：因为对每个p， ，所以 （参见文献[7]引理3）且 ，由此可知a（a）是满的，因而 。

另一方面

这样下图是交换的：

且下图成交换：

显然a′（a）是 上的稠定对称算子，以 分别表示a′（a）和a′（a * ）的闭包，则有

命题5 i）如果 ，则Fa′（a * ）ξ=a′（a）Fξ。

ii）

证 i）当 时，由

类似地， ，命题5证毕。

我们分别以V（a）和V（a * ）表示a（a）和a（a * ）的Cayley变换，即

V（a）=（i-a（a））（-i-a（a）） -j ，

V（a * ）=（i-a（a * ））（-i-a（a * ）） -j 。

因为a（a）和a（a * ）是自共轭的，所以V（a）和V（a * ）是 上的酉算子。

命题6 FV（a * ）=V（a）F。

证 设 。因为 中稠密且［-i-a（a * ）］ -1 是有界的，所以A也在 中稠密。如果ξ∈A，ζ=［-i-a（a * ）］ξ，则由命题5

FV（a * ）ξ=V（a）Fξ。因为A是 的稠密子集，这一等式对所有的 都成立且下图成交换：

命题6证毕。

命题7 i）F［D（a（a * ））］=D（a（a））。

ii）对 ，有 。

因此我们有

FN + （a * ）=N + （a）。

根据自共轭延拓的Von-Neumann第二公式（参见文献[9]定理8.12）和命题6，

这样下图成为交换图：

命题7证毕。

定理2 a=（a 1 ，…，a n ）是正则的充分必要条件是 是正则的。

证 直接从命题7得出。

定理3 a=（a 1 ，…，a n ）是正则的充分必要条件是对每一 是 上的可逆算子。

例 设a=（a 1 ，…，a n ）是H上的无界自共轭算子组。

1）下面两点是等价的：

① ，而且如果x∈D（a i ）∩D（a j ），a i x∈D（a j ），a j x∈D（a i ）则有a i a j x=a j a i x（1≤i，j≤n）。

② E i （λ i ）和E j （λ j ）是可交换的（1≤i，j≤n，λ i ，λ j ∈R）。这里E i ，E j 分别是a i 和a j 的谱测度。

2）如果E i （λ i ），E j （λ j ）是可交换的（1≤i，j≤n，λ i ，λ j ∈R），则a是奇异的充分必要条件是存在一列｛x n ｝⊂H使得‖x m ‖=1和a i x m →0（m→∞，i=1，2，…，n）。

这个例子的证明将在另一篇文章中给出。

参考文献

[1]Taylor，J.L.，J. Functional Analysts ，6 （1970），172—191.

[2]Taylor，J.L.，J. Acta Math ，125 （1970），1—38.

[3]Vasilescu，F.H.， Rev. Roumaine Math. Pures et Appl. ，ⅩⅫ （1977），1003—1009.

[4]Curto，R.E.， Indiana Univ. Math. J. ，29 （1980），393—406.

[5]Frunza，S.，J. Functional Analysis ，19 （1975），390—421.

[6]Muneo，Cho， Sci. Rep. H i rosaki ，27 （1980），47—49.

[7]Zhang Dianzhou and Wang Zongyao， J. East China Normal University （Natural Science Edition），1983，3: 7—12.

[8]Eschmeier，J.， Spektralzerlegungen und funktionalkalküle für Vertauschende tupel stetiger und abgeschlossener operatoren in Banach Raumen，Schriften Reihe des Mathematischen Institute der Universität Münster，2. Serie，Heft 20.

[9]Joachim Weidmann， Linear Operators in Hilbert Spaces . yhd3+okQn2a/8vuYAaD/RABv4BKiqmfTHSfoD3f9xQRFYVrqOh0WJwfHaLJK1f8X