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摘要： 本文将Banach空间上两两可交换的有界线性算子组的Taylor联合谱的定义推广到含有一个闭算子的算子组的情况，并证明了这种算子组的谱是C n 中的一个闭集。对于Hilbert空间的情况，本文推广了F.H. Vassilescu和R.E. Curto的两个结果。
我们要把J.L. Taylor的联合谱推广到无界算子的情形，本文先考察算子组中包含一个无界算子的情形，证明了谱的闭性并找出算子组为正则的两个充分必要条件。
这里i为j i 在J p 中的序号。
可以证明δ
p
（a）为
的线性算子，且
即
为一链复形。
如果记
到子空间
的投影，则由计算可知：
其中当J p-1 ⊂J p 时，若设J p /J p-1 =｛j｝，j在J p 中的序号为i，则*=i-1。
命题1
δ
p
（a）为
的稠定闭算子。
定义2
算子组a=（a
1
，…，a
n
）为正则的是指复形
为正合的；复数组z=｛z
1
，…，z
n
｝称为是算子组a=（a
1
，…，a
n
）的一个谱点，是指算子组a-z=（a
1
-z
1
，…，a
n
-z
n
）非正则，a的谱点全体称为a的谱，记为S
p
（a）。
引理3
设X
1
，X
2
，X
3
为Banach空间，A，B为稠定闭算子：
。若KerB=ImA且ImB闭，则KerA
*
=ImB
*
。
证明
因为KerB=ImA，所以（KerB）
⊥
=（ImA）
⊥
，即
。因为ImB闭，与有界算子的情形一样，可以证明ImB
*
闭，于是有KerA
*
=ImB
*
。
因为δ
p
（a）为
的稠定闭算子，所以
到
的稠定闭算子，且我们有：
命题4
为一上链复形，其中
定理5
a=（a
1
，…，a
n
）正则的充要条件是
正则。
证明
在链复形
和上链复形
之间作一链变换f：
这里，我们以J p （j）表示指标集J p 中位于j前面的元素个数。
而
定理 6S p （a）为C n 中一闭集。
证明 当a=（a 1 ，…，a n ）为n个有界线性算子时，J. L. Taylor[1]证明了a的谱是一闭集。对于我们的情况（a n 是闭算子），只要注意到：
（i）δ p （a+λ）-δ p （a）为有界线性算子且
（ii）δ p （a）为稠定闭算子。
则Taylor的证明完全可用。
本节中H为一复的Hilbert空间，a=（a 1 ，…，a n ），a i a j =a j a i （i，j=1，…，n-1），a n 为稠定闭算子，D（a n ）=D，D∈Lata i （i=1，…，n-1），在D上a i a n =a n a i 。
命题7
δ（a）为
上稠定闭算子。
即δ（a）为
上稠定闭算子。
下面定理是F.H. Vasilescu[3]一个定理在a n 为闭算子情况下的推广。
定理8
a正则的充要条件是
。
这样δ（a）［D（δ（a））］=
。易证δ（a）又是一对一的，因为δ（a）为稠定闭算子，所以
。
反过来，若
，因为对于任何p，
命题9 σ p 为一闭算子。
下面定理是Curto，R.E. [4] 一个定理在a n 为闭算子时的推广。
定理11
a正则的充要条件是
上可逆。
这样，
，则x∈Imδ
p+1
，Kerδ
p
=Imδ
p+1
，δ
p
正合，a正则。
[1]Taylor，J.L. A joint spectrum for several commuting operators ，J. Functional Analysis 6（1970），172—191.
[2]Taylor，J.L. The analytic functional calculus for several commuting operators . Acta Math. 125（1970），1—38.
[3]Vasilescu，F.H. A characterization of the joint spectrum in Hilbert spaces ，Rev. Roumaine Math. Pures et Appl. ⅩⅫ（1977），1003—1009.
[4]Curto，R.E. On the connecteness of invertible n-tuples ，Indiana University Math. J. 29，No.3 （1980），393—406.